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基本初等函数 复合函数 双曲函数 反双曲函数的定义


一、主要内容
(一)函数的定义 (二)极限的概念
(三)连续的概念

基本初等函数

复合函数 初等函数

函 数 的定义
反函数 隐函数

函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性

双曲函数与 反双曲函数

反函数与直接 函数之间关系

1、函数的定义
定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数 集.如果对于每个数 x ? D,变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数, 记作 y ? f ( x ).

数集 D 叫做这个函数的定义域, 叫做自变量, x y 叫做因变量.

函数值全体组成的数集 W ? { y y ? f ( x ), x ? D} 称为函数的值域.

函数的分类
代 数 函 数

有 理 函 数

有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)

函 数

初 等 函 数

无理函数

超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若对于每一个 x ? D ,仅有一个值 y ? f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.

y
y?e
x

y

( x ? 1) ? y ? 1
2 2

o o

x

x

(2) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有

f (? x ) ? f ( x ) f (? x ) ? ? f ( x )
y

称f ( x )为偶函数; 称f ( x )为奇函数; y
y? x

y? x

3

o
o

x

偶函数

x

奇函数

(3) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D,区间I ? D,如果对于区间I上 任意两点 x1 x2,当 x1 ? x2时,恒有: 及 (1) f ( x1 ) ? f ( x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的; 或(2) f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 y
y? x
2

当 x ? 0 时为减函数; 当 x ? 0 时为增函数;

o

x

(4) 函数的有界性:
若X ? D, ?M ? 0, ?x ? X , 有 f ( x ) ? M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
y? 1 x

在( ??,0)及(0,?? )上无界; 在( ??,?1]及[1,?? )上有界.

?1

o

1

x

(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x ? D,有 ( x ? l ) ? D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.(通 常说周期函数的周期是指其最小正周期).
T ?1
y
1
y ? x ? [ x]

o

1

x

3、反函数
由y ? f ( x )确定的y ? f
y ? sinh x
?1

( x )称为反函数.

y? f

?1

( x ) ? ar sinh x

4、隐函数
由方程F ( x , y ) ? 0所确定的函数 y ? f ( x )称为隐函数.

如 y ? x ? ?e ? 0
y

5、反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x )是一一对应
y

函数, 则

y? f

?1

( x)

?1? f ( f ?1 ( x )) ? f ?1 ( f ( x ))
? x x ? Df

( f ( x ), x )

y ? f ( x)
( x , f ( x ))

?2 ? y ? f ( x )与y ? f ?1 ( x )的
图象对称于直线y ? x .

o

x

6、基本初等函数

1)幂函数

y? x

?

(?是常数)
x

2)指数函数 y ? a

(a ? 0, a ? 1)

3)对数函数 y ? log a x 4)三角函数 y ? sin x;
y ? tan x;

(a ? 0, a ? 1)

y ? cos x;
y ? cot x;

5)反三角函数 y ? arcsin x; y ? arccos x;
y ? arctan x; y ? arc cot x

7、复合函数
设函数 y ? f (u ) 的定义域 D f ,而函数u ? ?( x ) 的 值 域 为 Z?, 若 D f ? Z? ? ? , 则 称 函 数

y ? f [?( x )]为 x 的复合函数.

8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.

9、双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 sinh x ? 双曲余弦 cosh x ? e ?e
x ?x

2 e ?e
x ?x

双曲正切 tanh x ?

2 sinh x

?

e ?e
x

?x ?x

cosh x

e ?e
x

双曲函数常用公式

sinh( x ? y ) ? sinh x cosh y ? cosh x sinh y ; cosh( x ? y ) ? cosh x cosh y ? sinh x sinh y ;

cosh x ? sinh x ? 1 ; sinh 2 x ? 2 sinh x cosh x ;
2 2

cosh 2 x ? cosh x ? sinh x .
2 2

反双曲正弦 y ? arsinh x ; 反双曲余弦 y ? ar cosh x ; 反双曲正切 y ? artan x ;


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