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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练27]


双基限时练(二十七)
1.若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 ( ) 1 A.m<2 1 C.m>2 B.m<0 1 D.m≤2

1 1 1 解析 由 x2+y2-x+y+m=0,得(x-2)2+(y+2)2=2-m. 1 1 ∵该方程表示圆,∴2-m>0,即 m<2. 答案 A )<

br />
2.方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线为圆,则有( A.A=C≠0 B.D2+E2-4AF>0 C.A=C≠0 且 D2+E2-4AF>0 D.A=C≠0 且 D2+E2-4AF≥0 答案 C )

3.圆 x2+y2-2x+6y+8=0 的周长等于( A. 2π C.2 2π B.2π D.4π

解析 将圆的方程配方得(x-1)2+(y+3)2=2, ∴圆的半径 r= 2,∴周长为 2πr=2 2π. 答案 C )

4. 过点 P(-8, -1), Q(5,12), R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( A.(5,1) C.(5,-1) B.(4,-1) D.(-5,-1)

解析 ∵圆心到 P,Q,R 的距离相等,代入各选项的坐标,知 C 成立. 答案 C )

5.圆(x+2)2+y2=5 关于原点对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 B.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5

解析 点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(-x,-y),因此圆心(- 2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0),半径不变,所以方程为(x-2)2+y2= 5. 答案 A

6.已知圆 x2-4x-4+y2=0 的圆心是 P,则点 P 到直线 x-y-1 =0 的距离是________. 解析 已知圆的圆心 P 坐标为(2,0),∴P 到直线 x-y-1=0 的距 离为 d= |2-0-1| 2 =2. 2 2 2

答案

7.点 A(1,0)在圆 x2+y2-2ax+a2+3a-3=0 上,则 a 的值为 ________. 解析 依题意得
2 ? ?1-2a+a +3a-3=0, ? 2 2 2 ??-2a? +0 -4?a +3a-3?>0, ?

? ?a=-2,或a=1, ∴? ∴a=-2. ? ?a<1,

答案

-2

8.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上两点,且|AB|=6,若以 AB

为直径的圆 M 恰经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. 解析 设圆心 M(x,y),依题意知|MC|=3,即 ?x-1?2+?y+1?2= 3.所以圆心 M 的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=9. 答案 (x-1)2+(y+1)2=9

9.已知点 P 在圆 C:x2+y2-8x-6y+21=0 上运动,求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程. 解 设点 M(x,y),点 P(x0,y0),则 x0 ? ?x= 2 , ? y 0 ? ?y= 2 ,
?x0=2x, ? ∴? ? ?y0=2y.

2 2 ∵点 P(x0,y0)在圆 C 上,∴x0 +y0 -8x0-6y0+21=0.

∴(2x)2+(2y)2-8· (2x)-6· (2y)+21=0. 21 即点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4x-3y+ 4 =0. 10. 圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0, -4), B(0, -2)两点,求圆 C 的方程. 解 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, E? ? D 则圆心 C?- 2 ,- 2 ?在直线 2x-y-7=0 上,
? ? ? D? ? E? ∴2?- 2 ?-?- 2 ?-7=0. ? ? ? ?

E 即 D- 2 +7=0.① 又∵A(0,-4),B(0,-2)在圆上,
? ?16-4E+F=0, ∴? ? ?4-2E+F=0.

② ③

由①②③解得

D=-4,E=6,F=8. ∴圆的方程为 x2+y2-4x+6y+8=0. 11.已知圆的方程是 x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0. (1)求此圆的圆心与半径; (2)求证: 不论 m 为何实数, 它们表示圆心在同一条直线上的等圆. 解 (1)x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0 可化为[x+(m-

1)x]2+(y-2m)2=9, ∴圆心为(1-m,2m),半径 r=3. (2)证明:由(1)知,圆的半径为定值 3,且圆心(a,b)满足方程组
?a=1-m, ? ? 即 2a+b=2. ? ?b=2m,

∴不论 m 为何实数,方程表示的圆的圆心都在直线 2x+y-2=0 上,且为等圆. 12.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的直 线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点?若存在,求 出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 解 不妨设直线方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程与圆的方程联立,消去 y,可得 2x2+(2b+2)x+b2+4b b2+4b-4 -4=0,∴x1+x2=-b-1,x1x2= , 2 b2+2b-4 故 y1y2=(x1+b)(x2+b)= . 2 ∵以 AB 为直径的圆过原点,故 OA⊥OB,即 kOA· kOB=-1,整理 b2+4b-4 b2+2b-4 可知 x1x2+y1y2=0,故 + =0,解之得 b=-4,或 2 2 b=1,验证知,此时 Δ>0,故存在这样的直线 l,其方程为 y=x-4, 或 y=x+1.


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