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教版高三数学数列求和教案


第五讲 数列求和
复习目标:掌握数列求和的常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法。 熟记公式: (1)等差数列求和公式 S n ? (2)等比数列求和公式 S n ? (3)1+2+3+…+n=
n(n ? 1) ; 2 n(n ? 1) 2 ] ; 4 n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? n a1 ? d 2 2

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 1), S n ? na1 (q ? 1) 1? q 1? q

(4) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) ; 6

(5) 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ 例题分析 例1

已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 10n ? n 2 (n ? N ),
求数列{bn }的前n项和Tn .

又bn ?| a n | (n ? N ),

分析 a n ? S n ? S n?1 ? 10n ? n 2 ?10(n ?1) ? (n ?1) 2 ? ?2n ? 11 , 又当 a n ? ?2n ? 11 ? 0 ? n ?
? 11 ?10n ? n 2 , 即n ? 6 , Tn ? ? 2 2 ?n ? 10n ? 50 ? (n ? 6) (n ? 6)

注:当 n ? 6 时 Tn ? S 5 ? (?S n ? S 5 ) ? 2S 5 ? S n 例2 已知数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ? 分析 1)当 n 为奇数时
S n ? [1 ? 13 ? ? ? (6n ? 5)] ? (4 2 ? 4 4 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (1 ? 6n ? 5) n ? 1 4 2 (4 n ?1 ? 1) (n ? 1)(6n ? 4) 4 n ?1 ? 16 ? ? ? ? 2 2 4 15 4 2 ?1

?6n ? 5 (n为奇数 , 求S n . n (n为偶数) ?4

2)当 n 为偶数时
S n ? [1 ? 13? ? ? (6n ?11)] ? (4 2 ? 4 4 ? ? ? 4 n?1 ? 4 n ) =
n(3n ? 5) 4 n ? 2 ? 16 ? 2 15

例3 求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…的前 n 项的和. 分析 观察数列发现每项的第一个数为 2n-1,最后一个数为 3n-2,

a n ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1) ? ? ? (3n ? 2) ?
?Sn ?

1 (5n 2 ? 3n) 2

1 [5(12 ?2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)] 2 1 5n(n ? 1)(2n ? 1) 3n(n ? 1) 1 ? [ ? ] ? n(n ? 1)(5n ? 2) 2 6 2 6

例4 分析

求和: S n ?

1 2 3 n ? ? ? ?? n ; a a 2 a3 a 注:用错位相减法前要讨论 a ? 1和a ? 1两种情况 。

当 a ? 1时, S n ? 当 a ? 1时,

1 n(n ? 1) ; 2

1 2 3 n (1) ? 2 ? 3 ? ?? n a a a a 1 1 2 3 n (2) S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 a a a a a Sn ?

(1)-(2)得 a ?1 1 1 1 1 n S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 a a a a a a ∴ Sn ?
a (a ? 1)
2

(1 ?

1 a
n

)?

n (a ? 1)a n

例5

求和: S n ?

(2n) 2 22 42 ; ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

分析

考虑到 (2n) 2 ? (2n) 2 ? 1 ? 1 ? (2n ?1)(2n ? 1) ? 1 ∴ Sn ? n ?
1 1 1 1 ? ??? = n ?1? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1

例6

已知数列 {a n } 的通项公式 a n ? lg (100 sinn?1 大?求出这个最大的和。 lg 2取0.3) (

?
4

试问: 该数列的前多少项之和最 ),

分析 考虑到 a n?1 ? a n ? lg( sinn 100

?
4

) ? lg (100sinn?1

?
4

) ? lg sin

?

1 ? ? lg 2 , 4 2

∴数列 {a n } 是等差数列,a1 ? 2, 时可解得 n ? 14..3, 作业:P.77 巩固性题组
即n ? 15,

1 1 当 a n ? 2 ? (n ? 1) lg 2 , a n ? 2 ? (n ? 1) lg 2 <0 2 2 ?当 n ? 14 时 , S14 最大且 S14 ? 28 ? 91 lg 2. 2


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