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高二数学期末综合复习试题1


高二数学期末复习试题
一、选择题 1、若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

2011 年 1 月 8 日

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2



A. ?2 B. 2 C. ?4 D. 4 2、一个口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球,这

4 个球除颜色外完全相同,从中摸出 2 个球,则 1 个是白 球,1 个是黑球的概率是 ( ) A.

2 3

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

3、已知双曲线

x2 y2 的直线与双曲线的右支 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a2 b2

有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 4、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这
2

样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 x2 5、设 A、B 两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),条件甲: AC ? BC ? 0 ; 条件乙:点 C 的坐标是方程 4 + y2 = 1 (y?0)的解. 则甲是乙的( 3 )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不是充分条件也不是必要条件 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OA ? (1,2,3) , OB ? (2,1, 2) , OP ? (1,1, 2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 6、已知 取得最小值时,点 Q 的坐标为 ( )

1 3 1 ( , , ) A. 2 4 3

1 2 3 ( , , ) B. 2 3 4

4 4 8 ( , , ) C. 3 3 3

4 4 7 ( , , ) D. 3 3 3

7.在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点, A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c 则下列 若 向量中与 B1 M 相等的是 A. ? ( )

1 1 1 a? b? c 2 2 2

B.

1 1 1 a? b? c 2 2 2

C.

1 1 a? b?c 2 2

D.-

1 1 a? b?c 2 2

8、抛物线 y=ax2 (a<0)的焦点坐标为 ( ) 1 1 a a (A)(0, - ) (B)(0, ) (C)(- , 0) (D)( , 0) 4 4 4a 4a 9、一海豚在水池中自由游弋,水池为长 30 m,宽 20 m 的长方形,则海豚嘴尖离岸边不

超过 2 m 的概率为( A 23/75 B 52/75
n?5 s?0 WHILE s ? 15 s ? s?n n ? n ?1 WEND PRINT n END
11、1.已知双曲线

) C 24/65

D 21/65
( )

10、下边程序执行后输出的结果是

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a2 b2
( ) D

PF1 ? 4 PF2 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
A.

4 3

B.

5 3
第二轮 8 5
[来源:Zxxk.Com]

C. 2

7 3
第五轮 6 6
[来源:学&科&网]

12、甲、乙两位同学进行投篮训练,共投了 6 轮,每轮每人各投 10 次,投中的次数如下表 学生 甲 乙 第一轮 7 6 第三轮 7 6
[来源:Z,xx,k.Com]

第三轮 7 4

第六轮 7 9 )

设甲、乙两人各轮投中球数的平均数分别为 X 甲 、 X 乙 A、 X 甲 > X 乙 C、 X 甲 < X 乙 二、填空题: 13、 F1 , F2 分别为椭圆 则 b 的值是
2

,标准差分别为 S 甲 、S 乙 ,则( , S 甲 <S 乙 , S 甲 <S 乙

, S 甲 >S 乙 , S 甲 >S 乙

B、 X 甲 > X 乙 D、 X 甲 < X 乙

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,点 P 在椭圆上, ?POF2 是面积为 3 的正三角形, a2 b2


? ? ? ? ? ? ? ? 14、14、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围

是 . 15、某桥的桥洞是抛物线,桥下水面宽 16 米,当水面上涨 2 米后达警戒水位,水面宽变为 12 米,此 时桥洞顶部距水面高度为_________米。(精确到 0.1 米 16、有人收集了 10 年中某城市的居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)x(亿元)
^

与某种商品的销售额 y(万元)的有关数据,发现 y 与 x 具有相关关系,回归方程为 y =1.4x-15.8, 若这种商品的销售额为 99(万元),估计这座城市居民的年收入为__________亿元.

三、解答题:
2 17、 给定两个命题 P : 对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;Q : 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0

2

有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18、设函数 f(x) = x 2 -bx+

c2 4

(1) 若 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,求对任意 x ? R ,f(x)>0 恒成立的概率. (2) 若 b 是从区间[0,8]任取的一个数,c 是从区间[0, 6]任取的一个数,求函数 f(x)的图像与 x 轴有 交点的概率. 19、某班 50 名学生在一模数学考试中,成绩都属于区间[60,110]。将成绩按如下方式分成五组: 第一组[60,70);第二组[70,80);第三组 [80,90);第四组[90,100);第五组[100,110]。 部分频率分布直方图如图所示,及格(成绩不 小于 90 分)的人数为 20。 (1)请补全频率分布直方图; (2)在成绩属于[70,80)∪[90,100)的学生中任取 两人,成绩记为 m, n ,求 | m ? n |? 10 的概率;

x2 y 2 20、 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab= 3 ;(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为 21 , 交 a b 2
y 轴于点 P,线段 PF 交双曲线于点 Q,且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程. 21、如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱 形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,

O

N 为 BC 的中点,以 A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间
向量解答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
A B N C D M

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

22、已知椭圆 C :

x2 y 2 3 3 ? 2 ? 1(0 ? m ? n) 的离心率为 ,1). ,且经过点 P( 2 2 2 m n

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? t (k ? 0) 交椭圆 C 于 A、B 两点,D 为 AB 的中点, kOD 为直线 OD 的斜 率,求证: k ? kOD 为定值;(3)在(2)条件下,当 t ? 1 时,若 OA与OB 的夹角为锐角, 试求 k 的取值范围。

??? ??? ? ?

答案: 一、 二、 三、17、解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?
2

?a ? 0 ?? ? 0

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?
不 正 确 , 有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 ;如果 P 正确,且 Q 4

1 1 ? ?a?4 ;如果 Q 正确,且 P 不正确,有 4 4

a ? 0或a ? 4, 且a ?

1 1 ? a ? 0 .所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? ,4 ? ? ? 4 ?4 ?

18、解:(1).设事件 A 为“对任意 x x ? R, f ?x ? ? 0 恒成立”。 当 b>0,c>0 时, ?x ? R, f ?x ? ? 0 恒成立的充要条件是: ? ? b ? c ? 0 即 b ? c
2 2

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

? b, c 的取值均为 1,2,3,4,5,6

?基本事件总数为:6×6=36
而事件 A 包含的基本事件个数为:5+4+3+2+1=15

19、(1)

[80,90)对应纵坐标为 0.038, (2) 32/69

[90,100)对应纵坐标为 0.032

20、解:设直线 l: y=

21 21 c ), (x-c),令 x=0,得 P(0, ? 2 2

2c 2 ? ?x ? 1 ? 2 ? 3 c ? | PQ | 设λ = , ? 2 ,Q(x,y),则有 ? 21 | QF | ? c ? 21 2 ?y ? ?? c 1? 2 6 ?

又 Q(

2 21 21 2 2 2 2 c) = a b , c, ? c )在双曲线上, ∴b2( c)2-a2(- 3 6 6 3
?a 2 ? 1 4 b2 7 a2 b2 ? , (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 1) ? 1 , 解得 2 =3,又由 ab= 3 ,可得 ? 2 9 a 12 b a ?b ? 3 ?
2

∵a2+b2=c2,∴

∴所求双曲线方程为 x ?

y2 ? 1. 3

21、解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 2 2 ,0), D( ? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , ,0) ,(3 分) 2 2 2 4 4 ???? ? ??? ? ???? 2 2 2 2 2 (1) MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) (5 分) 4 4 2 2 2 ? ? ??? ? ???? ? 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? OP ? 0, n ? OD ? 0
z

O ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? M ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) (7 分) D A ???? ? ? 2 2 x N C P y B ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4 ? MN‖ 平面OCD (9 分) ??? ? ???? ? 2 2 (2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (? , , ?1) 2 2 ??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 (13 分) ∴ c o ? ? ??? ???? ? ∴? ? s , ? ? 3 3 AB ? MD 2 ??? ? ? (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ??? ? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1, 0, ?2) , 得 d ? ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3

? n2 ? m2 3 ? , ? ? n2 4 22、解:(1)根据题意有: ? ? 3 ? 1 ?1 ? 4m 2 n 2 ?
?m 2 ? 1 ? 解得: ? 2 ?n ? 4 ?

?椭圆 C 的方程为 x 2 ?

y2 =1 4

? y ? kx ? t ? (2)联立方程组 ? 2 y 2 ?1 ?x ? ? 4
消去 y 得: (4 ? k ) x ? 2kx ? t ? 4 ? 0
2 2 2



设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 中点坐标为 ( x0 , y0 ) 则有:

x0 ?

x1 ? x2 ?kt 4t ? , y0 ? kx0 ? t ? 2 2 4?k 4 ? k2
y0 4 4 ? ? ,故k ? kOD ? ? ? k ? ?4 为定值 x0 k k
2 2

? kOD ?

(3)当 t ? 1 时,①式为 (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 故 x1 ? x2 ?

?2k 3 , x1 ? x 2 ? ? 2 2 4?k k ?4

? y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1

? x1 x2 ? y1 y2 ?
??? ??? ? ?

1 ? 4k 2 k2 ? 4
??? ??? ? ?

若 OA与OB 的夹角为锐角,则有 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

1 ? 4k 2 1 1 ? 0 ,解得 ? ? k ? , 且k ? 0 2 2 2 k ?4 ??? ??? ? ? 1 1 ?当k ? (? , 0) ? (0, ) 时, OA与OB 的夹角为锐角 2 2



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