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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1指数函数(二)


3.1.2

指数函数(二)

一、基础过关 1 2 1 - 1.?3? ,34,?3? 2 的大小关系为 ? ?3 ? ? 1 2 1 - A.?3? <?3? 2<34 ? ?3 ? ? 1 2 1 - B.?3? <34<?3? 2 ? ?3 ? ? 1 - 1 2 C.?3? 2<?3? <34 ? ? ? ?3 1 - 1 2 D.?3? 2<34<?3? ? ? ? ?3 1 + 1 - 2.若( )2a 1<( )3 2a,则实数 a 的取值范围是 2 2 A.(1,+∞) C.(-∞,1) 1 B.( ,+∞) 2 1 D.(-∞, ) 2

(

)

(

)

3.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则函数 y=2ax-1 在[0,1]上的最大值是 ( A.6 B.1 C.3 3 D. 2 )

4.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如右图所示,则函数 g(x)=ax+b 的图象是 ( )

5.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长 了________天. 6.函数 y=1-3x(x∈[-1,2])的值域是________.

7.比较下列各组中两个数的大小: (1)0.63.5 和 0.63.7; (2)( 2) 1.2 和( 2) 31 32 (3)( ) 和( ) ; 23 23 1- - (4)π 2 和( ) 1.3. 3
- -1.4



a 8.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 二、能力提升 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)等于 A.2 15 B. 4 17 C. 4 D.a
2


(

)

1 1 1 10.设 <( )b<( )a<1,则 3 3 3 A.aa<ab<ba C.ab<aa<ba B.aa<ba<ab D.ab<ba<aa

(

)

1 - 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的解 2 集是________________. a - 12.已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0 且 a≠1),讨论 f(x)的单调性. a -1 三、探究与拓展 b-2x 13.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)用定义证明 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的范围.

答案
1.A 5.19 2 6.[-8, ] 3 7.解 (1)考察函数 y=0.6x. 因为 0<0.6<1, 所以函数 y=0.6x 在实数集 R 上是单调递减函数. 又因为 3.5<3.7,所以 0.63.5>0.63.7. (2)考察函数 y=( 2)x. 因为 2>1, 所以函数 y=( 2)x 在实数集 R 上是单调递增函数. 又因为-1.2>-1.4,所以( 2) 1.2>( 2) 1.4. 3 (3)考察函数 y=( )x. 2 3 因为 >1, 2 3 所以函数 y=( )x 在实数集 R 上是单调递增函数. 2 1 2 31 32 又因为 < ,所以( ) <( ) . 3 3 23 23 12 1- - (4)∵π 2=( ) <1,( ) 1.3=31.3>1, π 3 1 -1.3 -2 ∴π <( ) . 3 8.解 (1)若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增, a ∴a2-a= , 2 3 即 a= 或 a=0(舍去). 2 (2)若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, a 1 ∴a-a2= ,即 a= 或 a=0(舍去). 2 2 1 3 综上所述,所求 a 的值为 或 . 2 2 9.B 10.C 11.(-∞,-1) a 1 12.解 ∵f(x)= 2 (ax- x), a a -1 ∴函数定义域为 R, 设 x1,x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2,
- -

2.B

3.C

4.A

a 1 1 f(x1)-f(x2)= 2 (ax1- -ax2+ ) ax1 ax2 a -1 a 1 1 = 2 (ax1-ax2+ - ) ax2 ax1 a -1 ax1-ax2 a = 2 (ax1-ax2+ ) ax1ax2 a -1 a 1 = 2 (ax1-ax2)(1+ ). ax1ax2 a -1 1 a ∵1+ >0,∴当 a>1 时,ax1<ax2, 2 >0, ax1ax2 a -1 ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), ∴f(x)为增函数, a 当 0<a<1 时,ax1>ax2, 2 <0, a -1 ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), ∴f(x)为增函数, 综上,f(x)在 R 上为增函数. 13.解 (1)∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,b=1. 又 f(-1)=-f(1),得 a=1. (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 1-2x1 1-2x2 f(x1)-f(x2)= - 2x1+1 2x2+1 ?1-2x1??2x2+1?-?1-2x2??2x1+1? = ?2x1+1??2x2+1? 2?2x2-2x1? = , ?2x1+1??2x2+1? ∵x1<x2,∴2x2-2x1>0, 又(2x1+1)(2x2+1)>0,f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x)为 R 上的减函数. (3)∵t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立, ∴f(t2-2t)<-f(2t2-k). ∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),由于 f(x)为减函数, ∴t2-2t>k-2t2. 1 1 1 1 即 k<3t2-2t 恒成立,而 3t2-2t=3(t- )2- ≥- ,∴k<- . 3 3 3 3


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