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8函数的奇偶性习题课


函数的奇偶性 基础知识
要点梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果对于任意 的 x∈A,都有 f(-x)=f(x) ,那么称函数 y=f(x)是偶 函数. 如果对于任意的 x∈A 都有 f(-x)=-f(x), 那么称函 数 y=f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴 对称.

主学习

2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 , 偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶 函数; ②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数 .

[难点正本

疑点清源]

1.函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(- x)= f(x)(或 f(- x)=- f(x)),那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数 ).其中包含两个必备条件: ①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题; ②判断 f(x)与 f(- x)是否具有等量关系.在判断奇偶 性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)+f(- x)= 0(奇函数 )或 f(x)- f(- x)= 0(偶函数 )) 是否成立.

2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单 调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性,则其单调性恰恰相反. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(- x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0,则必有 f(0)=0. f(0)=0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶, 内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)= 0,定义域是关 于原点对称的任意一个数集).

基础自测

②③ . 1.下列函数中,所有奇函数的序号是 ________
① f(x)= 2x4+ 3x2;② f(x)= x3- 2x; x2+ 1 ③ f(x)= ;④f(x)= x3+ 1. x 解析 由奇偶函数的定义知:①为偶函数;②③为奇函
数;④既不是偶函数,也不是奇函数. 2 2.若函数 f(x)= x +m 为奇函数,则实数 m=_____. -1 2 +1

3.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0

-1,0)∪(1,+∞) . 的 x 的取值范围是( ___________________
解析 画草图,由 f(x)为奇函数的性质知:f(x)>0 的

x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).

4.已知 f(x)= ax2+ bx 是定义在[a- 1,2a]上的偶函数,

1 那么 a+ b 的值是 3 . ? ?a-1=-2a? 解析 依题意得? , ? ?b=0
1 ? ?a= ? 3 ∴? , ? ?b=0 1 1 ∴a+b= +0= . 3 3

题型分类 深度剖析
题型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3-x2+ x2-3; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3 必须先判定函数定义 思维启迪 确定函数的奇偶性时,
域是否关于原点对称.若对称,再验证 f(-x)=± f(x)或 其等价形式 f(-x)± f(x)=0 是否成立.



2 ? ?3-x ≥0? (1)由? 2 ? ?x -3≥0

,得 x=± 3.∴f(x)的定义域为{-3,3}.

又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

?1-x ? ≥0? 1 + x (2)由? ? ?1+x≠0

,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 2 ? ?4-x ≥0? (3)由? ,得-2≤x≤2 且 x≠0. ? ?|x+3|-3≠0 ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x . ?x+3?-3 ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数.

探究提高

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:

(1)定义域关于原点对称, 这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(- x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的 运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (f(x)+ f(- x)= 0(奇函数 )或 f(x)- f(- x)= 0(偶函数))是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数, 分段函数奇偶性的判断, 要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(- x)= f(x)或 f(- x)=- f(x)成立, 只有当对称的两个区间 上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

题型二 例2

函数的奇偶性与单调性 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)

= x2- x- 1,求 f(x)的解析式; ex a (2)设 a>0, f(x)= + x是 R 上的偶函数,求实数 a a e 的值; (3)已知奇函数 f(x)的定义域为[- 2,2],且在区间 [- 2,0]内递减,求满足 f(1- m)+f(1- m2)<0 的实 数 m 的取值范围. 思维启迪

(1)f(x)是一个分段函数,当 x<0 时,转化为

f(x)=-f(-x). (2)可用定义法,也可以用特殊值代入,如 f(1)=f(-1), 再验证. (3)可考虑 f(x)在[-2,2]上的单调性.



(1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,

∴f(0)=0,当 x<0 时,-x>0, 由已知 f(-x)=(-x)2-(-x)-1=x2+x-1=-f(x). ∴f(x)=-x2-x+1.

? x 2 ? x ? 1 ( x ? 0) ? ? ? f ( x) ? ?0 ( x ? 0). ? 2 ? ? ? x ? x ? 1 ( x ? 0)

(2)方法一 ∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)在 R 上恒成立. e-x a ex a 即 a + -x= a + x, e e (a2-1)e2x+1-a2=0 对任意的 x 恒成立, 2 ? ?a -1=0? ∴? ,解得 a=1. ? a >0 ?

方法二 ∵ f(x)是 R 上的偶函数, ∴ f(- 1)= f(1), 11 e a ∴ ·+ ae= + , ae a e ? ? 1? 1?1 ∴?a- ?e+ ? - a?= 0, a? e ?a ? ? ? 1?? 1 ? 2 ? = 0, ∴a- = 0.又 a>0, ∴ a= 1. ? e - 1 ∴ a- ?? ? a?? a ? 经验证当 a= 1 时,有 f(- x)= f(x). ∴ a= 1. (3)∵f(x)的定义域为 [- 2,2],
? ?- 2≤1- m≤ 2? ∴有 ? 2 ? ?- 2≤1- m ≤2

, ①

解得- 1≤m≤ 3. ∴ f(1- m)<- f(1- m2)= f(m2- 1)?1- m>m2- 1, 即- 2<m<1. 综合 ①②可知,- 1≤ m<1.

又 f(x)为奇函数,且在 [- 2,0]上递减, ∴在 [- 2,2]上递减,



探究提高 (1)奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图 象关于 y 轴对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, 偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (3)奇函数 f(x)在 x= 0 处有意义,一定有 f(0)= 0.但是在 用 f(0)= 0 求出参数后,要注意验证. (4)f(x)是偶函数? f(- x)= f(x)= f(|x|). 在应用特殊值求参数时,求出参数后要注意验证.

探究提高

判断函数的周期只需证明 f(x + T) = f(x)

(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数的 周期性常与函数的其他性质综合命题, 是高考考查的重 点问题.

变式训练 3 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2) =-f(x),则 f(9)= 0 .

解析 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的函数. ∴f(9)=f(2×4+1)=f(1). ∵f(x+2)=-f(x),令 x=-1, 得 f(1)=-f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,∴f(9)=0.

答题规范 1.等价转换要规范 试题: (14 分 )函数 f(x)的定义域 D= {x|x≠ 0},且满 足对于任意 x1, x2∈ D.有 f(x1· x2)=f(x1)+ f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)= 1, f(3x+ 1)+f(2x- 6)≤ 3, 且 f(x)在(0, +∞ )上是增函数,求 x 的取值范围.

规范解答 解 (1)令 x1= x2= 1, [2 分 ] [4 分 ] 有 f(1× 1)= f(1)+f(1),解得 f(1)= 0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1= x2=- 1, 有 f[(- 1)× (- 1)]= f(- 1)+f(- 1),解得 f(- 1)=0. 令 x1=- 1, x2= x,有 f(- x)= f(- 1)+ f(x), ∴ f(- x)= f(x).∴f(x)为偶函数. [8 分 ]

(3)f(4× 4)=f(4)+f(4)= 2, f(16× 4)=f(16)+ f(4)= 3. 由 f(3x+1)+ f(2x-6)≤ 3, 变形为 f[(3x+ 1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵ f(x)为偶函数,∴f(- x)=f(x)= f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x- 6)|]≤f(64).[10 分 ] 又∵ f(x)在 (0,+ ∞)上是增函数, ∴ |(3x+ 1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x- 6)≠0. 7 1 1 解得- ≤ x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴ x 的 取 值 范 围 是 {x| - ≤ x< - 或 - <x<3 或 3 3 3 3<x≤ 5}. [14 分] [9 分]

批阅笔记

数学解题的过程就是一个转换的过程. 解题质

量的高低,取决于每步等价转换的规范程度.如果每一步 等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定 是规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“ M”等价于“ N”,“ M” 变形为“ N”. (2)要写明转化的条件.如本例中:∵ f(x)为偶函数, ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+ 1)(2x- 6)|]≤f(64). (3) 转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x + 1)(2x - 6)|]≤ f(64)? |(3x + 1)(2x- 6)|≤ 64 ,且 (3x + 1)(2x- 6)≠ 0. 若漏掉 (3x+ 1)(2x- 6)≠ 0,则这个转化就不等价了.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个 问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函 数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(- x)=-f(x)或 f(- x)= f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为 了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行 化简,或应用定义的等价形式: f(- x)= ± f(x)? f?- x? f(- x)± f(x)= 0? =± 1(f(x)≠ 0). f? x?

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数 图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否 关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的一个必要条件.

2. 判断函数 f(x)是奇函数, 必须对定义域内的每一个 x, 均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)= -f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断, 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数 而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

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变式训练 1 判断下列函数的奇偶性. 1-x 2+ x (1)f(x)=lg ;(2)f(x)=(x-1) ; 1+x 2- x
2 ? ?x + x (3)f(x)=? 2 ? ?x - x

?x>0?,? ?x<0?;

lg?1-x2? (4)f(x)= 2 . |x -2|-2 1- x 解 (1)由 >0?- 1<x<1,定义域关于原点对称. 1+ x ?1- x ? 1+ x 1- x ? ?- 1 又 f(- x)= lg = lg? =- lg =- f(x), ? 1- x 1+ x ?1+ x ?
故原函数是奇函数. 2+ x (2)由 ≥ 0 且 2- x≠ 0?- 2≤ x<2, 2- x 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

(3)函数定义域为 (-∞ , 0)∪ (0, + ∞) , 关于原点对称, 又当 x>0 时, f(x)= x2+ x,则当 x<0 时,- x>0, 故 f(- x)= x2- x= f(x); 当 x<0 时,f(x)= x2- x,则当 x>0 时,- x<0, 故 f(- x)= x2+ x= f(x),故原函数是偶函数.
2 ? ?1- x >0, (4)由? 2 ? ?|x - 2|- 2≠ 0

得定义域为 (- 1,0)∪ (0,1),

lg? 1- x2? lg? 1- x2? 关于原点对称,∴ f(x)= =- . 2 2 x -? x - 2?- 2 lg[1-?- x?2] lg? 1- x2? ∵ f(- x)=- =- = f(x), 2 2 x ?- x? ∴ f(x)为偶函数.

变式训练 2 (1)若函数 f(x)=loga(x+ x2+2a2)是奇函
2 2 数,则实数 a 的值是________ .

分析 由奇函数的性质可得到参数 a 的方程, 然后求解 即可.
解析 方法一 由 f(x)+ f(- x)= 0, 得 loga(x+ x2+ 2a2)+ loga( x2+ 2a2- x)= 0 ? loga2a2= 0? 2a2= 1, 2 因为 a>0,所以 a= . 2 方法二 因为函数的定义域为全体实数,所以函数在原点有 2 2 2 定义,则 f(0)= 0,即 loga 2a = 0,则 2a = 1,得 a= . 2

点评 若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0. 利用这个性质求解参数的取值,方便、快捷.

(2)若偶函数 f(x)在 (-∞, 0)内单调递减,则不等式 f(- 1)<f(lg x)的解集是
解析
? 1? ?0, ?∪(10,+∞) 10? ?

.

因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),

因为 f(x)在(-∞,0)内单调递减, 所以 f(x)在(0,+∞)内单调递增. 故|lg x|>1,即 lg x>1 或 lg x<-1, 1 解得 x>10 或 0<x< . 10 点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等

式两边的函数值转化到同一个单调区间上, 然后利用函 数的单调性脱掉符号“f”.

题型三

函数的奇偶性与周期性

例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011). 思维启迪
(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x) 是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式, 进而求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和的值.

(1)证明

∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
(3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0.


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