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2013高考数学二轮复习专题演练2.3 平面向量


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2013 高考数学二轮复习专题演练

2.3 平面向量
一、选择题 1 1 1.(2010· 安徽,3)设向量 a=(1,0), b=?2,2?,则下列结论中正确的是 ? ? A.|a|=|b| C.a-b 与 b 垂直 解析: 项,∵|a|=1, ,A |b|= B

.a· b= D.a∥b 2 2 ( )

?1?2+?1?2= 2, ?2? ?2? 2

∴|a|≠|b|; 1 1 1 B 项,∵a· b=1× +0× = ; 2 2 2 1 1 1 1 C 项,∵a-b=(1,0)-?2,2?=?2,-2?, ? ? ? ? 1 1 ?1 1 1 1 ∴(a-b)· ?2,-2?·2,2?= - =0; b=? ?? ? 4 4 1 1 D 项,∵1× -0× ≠0,∴a 不平行 b.故选 C. 2 2 答案:C a· a 2.若向量 a 与 b 不共线,a· b≠0,且 c=a-?a·?b,则向量 a 与 c 的夹角为 ( ? b? A.0 π B. 6 π C. 3 π D. 2 )

a· a ? 解析:∵a· c=a·a-?a·?b? ? ? b? ? a2 =a· ?a·?a· 2-a2=0, a-? b? b=a π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 答案:D → → 3.(2010· 全国Ⅱ)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1, → |b|=2,则CD= 1 2 A. a+ b 3 3 3 4 C. a+ b 5 5 2 1 B. a+ b 3 3 4 3 D. a+ b 5 5 ( )

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→ → → 2→ 2 → → 2 解析:由角平分线的性质得|AD|=2|DB|,即有AD= AB= (CB-CA)= (a-b). 3 3 3 2 2 1 → → 从而CD+AD=b+ (a-b)= a+ b.故选 B. 3 3 3 答案:B → → 4. (2010·辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积 等于 A. |a|2|b|2-?a· 2 b? B. |a|2|b|2+?a· 2 b? 1 C. |a|2|b|2-?a· 2 b? 2 1 D. |a|2|b|2+?a· 2 b? 2 a· b 解析:∵cos〈a,b〉= , |a||b| ∴sin〈a,b〉= = = a· b 1-?|a||b|?2 ? ? |a|2|b|2-?a· 2 b? , |a||b| 1-cos2〈a,b〉 ( )

1→ → → → ∴S△OAB= |OA|OB|sin〈OA,OB〉 2 1 = |a||b|sin〈a,b〉 , 2 = 1 |a|2|b|2-?a· 2, b? 2

故选 C. 答案:C 5.若向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),a≠± b,则 a 与 b 一定满足( A.a 与 b 的夹角等于 α-β B.a⊥b C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b) 解析:∵a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β), a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β), ∴(a+b)· (a-b)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0, 可知(a+b)⊥(a-b). 答案:D
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)

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二、填空题 6.(2010· 陕西)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则 m =________. 解析:a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),∴a+b=(1,m-1), (a+b)∥c,∴2+m-1=0,∴m=-1. 答案:-1 7.(2010· 江西)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a-b|=________. 解析:|a-b|= ?a-b?2= a2+b2-2a· b = 12+22-2×1×2cos 60° 3. = 答案: 3 8.(2010· 浙江)已知平面向量 α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且 α 与 β-α 的夹角为 120° , 则|α|的取值范围是________.

→ → 解析:如图,数形结合知 β=AB,α=AC,|AB|=1,C 点在圆弧上运动,∠ACB=60° , AB |α| 2 3 2 3 设∠ABC=θ,由正弦定理知 = ,∴|α|= sin θ≤ ,当 θ=90° 时取最 sin 60° sin θ 3 3 大值. 2 3? ∴|α|∈?0, . 3 ? ? 2 3? 答案:?0, 3 ? ? 9.

得(x,y)=(2m,-m)+(-n,n),
?x=2m-n, ? 于是? 由 2m2-n2=2,消去 m、n 得 M 的轨迹方程为 x2-2y2=2. ? ?y=-m+n.

答案:x2-2y2=2

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三、解答题 10.

3cos γ+4cos β=-5, 同理可得, 4cos α+5cos γ=-3, 3cos α+5cos β=-4. 解①②③联立方程组可得, 4 3 cos α=0,cos β=- ,cosγ=- , 5 5 4 → → 3 → → → → 即OA· =0,OB· =- ,OC· =- . OB OC OA 5 5



② ③

3 4 (2)由(1)知 sin α=1,sin β= ,sin γ= . 5 5 1 1 3 1 4 6 如右图,S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA= ×1×1+ ×1×1× + ×1×1× = . 2 2 5 2 5 5 3x 3x 11.已知向量 a=?cos 2 ,sin 2 ?, ? ? x x π b=?cos2,-sin2?,且 x∈?0,2?, ? ? ? ? 求:(1)a· 及|a+b|; b 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2 3x x 3x x 解:(1)a· b=cos · -sin · =cos 2x. cos sin 2 2 2 2 |a+b|=

?cos3x+cosx?2+?sin3x-sinx?2 2? ? 2 2? ? 2
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= 2+2cos 2x=2 cos2x. π ∵x∈?0,2?,∴cos x≥0, ? ? ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-4λcos x 即 f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2. π ∵x∈?0,2?,∴0≤cos x≤1. ? ? ①当 λ<0 时,当且仅当 cos x=0 时, f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾. ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cos x=λ 时, 3 f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知-1-2λ2=- , 2 1 解得 λ= . 2 ③当 λ>1 时,当且仅当 cos x=1 时, 3 f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ=- , 2 5 解得 λ= ,这与 λ>1 相矛盾. 8 1 综上所述,λ= 即为所求. 2

1 ∴x1x2+ (x1x2)2=0(x1x2≠0). 4 ∴x1x2=-4. 1 2 1 2 → → ∴MA=?x1,-2x1+2?, MB=?x2,-2x2+2?. ? ? ? ? 1 2 1 2 ∵x1?-2x2+2?-x2?-2x1+2? ? ? ? ?

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1 =(x1-x2)?2x1x2+2?=0, ? ? → → → → ∴MA∥MB,即AM∥AB. → → (2)解:∵MA=-2MB,

?x1=-2x2, ? ∴? 1 2 ? 12 ? ?-2x1+2=-2?-2x2+2?. ?
2 ∴-2x2+2=x2-4,∴x2=± 2. 2

∴B( 2,-1)或(- 2,-1),∴kAB= 2 ∴AB 的方程为 y=± x-2. 2

2 2 或- . 2 2

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