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第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用


专题二 三角变换与平面向量、复数
第7讲
三角函数模型与解三角形的实际应用

1.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC = 3,则 AB 等于 .

【解析】因为 A=60° ,AC=2,BC= 3,设 AB

=x,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA, 化简得 x2-2x+1=0,所以 x=1,即 AB=1.

2.(2014· 江西卷)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的 2sin2B-sin2A 边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 的值为 sin2A ( ) 1 A.9 C.1 1 B.3 7 D.2

【解析】由正弦定理得

2sin2B-sin2A 2b2-a2 b2 = = 2( ) - 1 , 2 2 a sin A a 2sin2B-sin2A 9 7 又 3a=2b,所以 = 2 × - 1 = , 2 sin A 4 2 故选 D.

3.(2014· 四川卷)如图, 从气球 A 上测得正前方的河 流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此时气球的 高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( A.240( 3-1) m B.180( 2-1) m C.120( 3-1) m D.30( 3+1) m )

60 【解析】AC=120,AB= . sin75° 60× 2 ABsin45° 所以 BC= sin30° = sin?30° +45° ? =120( 3-1), 故选 C.

4.(2014· 江苏卷 ) 若△ ABC 的内角满足 sinA + 2 sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是 .

【解析】由已知 sinA+ 2sinB=2sinC 及正弦定理

可得 a+ 2b=2c, a+ 2b 2 a2+b2-c2 a +b -? 2 ? cosC= 2ab = 2ab
2 2

3a2+2b2-2 2ab = 8ab

2 6ab-2 2ab ≥ 8ab 6- 2 = 4 , 2 a 当且仅当 3a =2b 即b= 时等号成立. 3
2 2

一、正弦定理、余弦定理的直接应用
【例 1】(1)(2014· 日照市三模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2+c2-b2= 3ac,则角 B 的值 为( ) π A.6 π 5π C.6或 6 π B.3 π 2π D.3或 3

【解析】(1)由余弦定理,得 2accosB= 3ac,即

3 π cosB= 2 ,由 0<B<π,知角 B=6.故选 A.

(2)(2014· 安徽安庆市二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为 角 A,B,C 的对边,若 a2-c2=3b,且 sinB=8cosAsinC,则 边 b 等于________.

【解析】 (2)由 sinB=8cosAsinC 及正、 余弦定理知:

b +c -a b=8c× 2bc , 3 2 2 整理得 a =4b +c ,
2

2

2

2

3 2 又 a -c =3b,所以4b =3b,解得 b=4.
2 2

二、解三角形的实际应用
【例 2】(1)(2014· 韶关四月二模)一艘船以均匀的速度由 A 点向正北方向航行,如图(1),开始航行时,从 A 点观测灯 塔 C 的方位角(从正北方向顺时针转到目标方向的水平角)为 45° , 行驶 60 海里后, 船在 B 点观测灯塔 C 的方位角为 75° , 则 A 到 C 的距离是__________海里.

【解析】(1)∠ABC=105° ,∠C=30° ,

△ABC 中,由正弦定理得, AB· sin∠ABC 60· sin105° AC= = sin30° =30( 6+ 2). sin∠C

(2)(2014· 江苏扬州三模)如图(2),在△ABC 中,已知 AB =4,AC=3,∠BAC=60° ,点 D,E 分别是边 AB,AC 上 S四边形BCED 的点,且 DE=2,则 的最小值等于__________. S△ABC

(2)设 AD=x,AE=y(0<x≤4,0<y≤3), 则因为 DE2=x2+y2-2xycos60° , 所以 x2+y2-xy=4,从而 4≥2xy-xy=xy, 当且仅当 x=y=2 时等号成立, S四边形BCED S△ADE 所以 =1- =1-1 S△ABC S△ABC × 3 × 4sin60° 2 4 2 xy =1-12≥1-12=3. 1 xy sin60° 2

三、三角函数的实际应用
【例 3】(2014· 龙岩市一模)受日月引力影响,海水会 发生涨退潮现象.通常情况下,船在涨潮时驶进港口,退 潮时离开港口. 某港口在某季节每天港口水位的深度 y(米) 是时间 t(0≤t≤24,单位:小时,t=0 表示 0:00—零时) 的函数,其函数关系式为 y=f(t)=Asin(ωt+φ)+K(A>0, π ω>0,|φ|<2). 已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律:出现

相邻两次最高水位的深度的时间差为 12 小时,最高水位 的深度为 12 米,最低水位的深度为 6 米,每天 13:00 时 港口水位的深度恰为 10.5 米. (1)试求函数 y=f(t)的表达式; (2)某货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 7 米,安 全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于 3.5 米是 安全的,问该船在当天的什么时间段能够安全进港?若该 船欲于当天安全离港,则它最迟应在当天几点以前离开港 口?

2π 【解析】(1)依题意,A+K=12,-A+K=6, =12, ω π 所以 A=3,K=9,ω=6, 13π 又 f(13)=10.5,所以 3sin( 6 +φ)+9=10.5, π 1 所以 sin(6+φ)=2, π π 又-2<φ<2,所以 φ=0, π 所以 y=f(t)=3sin6t+9.

π π 1 (2)令 3sin6t+9≥7+3.5 得 sin6t≥2, π π 5π 所以 2kπ+6≤6t≤2kπ+ 6 ,k∈Z. 所以 12k+1≤t≤12k+5,k∈Z, 因为 0≤t≤24,所以 1≤t≤5 或 13≤t≤17. 所以该船当天安全进港的时间为 1~5 点和 13~ 17 点,最迟应在当天的 17 点以前离开港口.

【例 4】(2014· 江苏镇江模拟)某农户准备建一个水平放 置的直四棱柱形储水窖(如图),其中直四棱柱的高 AA1=10 m,两底面 ABCD,A1B1C1D1 是高为 2 m,面积为 10 m2 的等 π 腰梯形,且∠ADC=θ(0<θ<2).若储水窖顶盖每平方米的造 价为 100 元,侧面每平方米的造价为 400 元,底部每平方米 的造价为 500 元.

(1)试将储水窖的造价 y 表示为 θ 的函数; (2) 该农户如何设计储水窖,才能使得储水窖的造价最 低,最低造价是多少元(取 3=1.73).

【解析】(1)如图,过 A 作 AE⊥DC,垂足为 E,

2 则 AE=2,DE=tanθ, 2 AD=sinθ. 4 令 AB=x(m),从而 CD=x+tanθ, 1 4 故2×2×(x+x+tanθ)=10, 2 2 解得 x=5-tanθ,则 CD=5+tanθ,

所以 y = (20 + 2AD×10)×400 + (10AB)×500 + (10CD)×100 2 2 = 8000 + 8000× sinθ + 5000×(5 - tanθ ) + 2 1000×(5+tanθ) 2 1 π =38000+8000(sinθ-tanθ)(0<θ<2).

2-cosθ (2)因为 y=38000+8000× sinθ , sin2θ-?2-cosθ?cosθ 所以 y′=8000 sin2θ 8000?1-2cosθ? = . 2 sin θ π 令 y′=0,则 θ=3,

π 当 θ∈(0,3)时,y′<0,此时函数 y 单调递减; π π 当 θ∈(3,2)时,y′>0,此时函数 y 单调递增. π 所以当 θ=3时, ymin=38000+8000 3=51840. 答:当∠ ADC = 60° 时,造价最低,最低造价为 51840 元.


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