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北京市西城区2011年高三二模试卷数学文


北京市西城区 2011 年高三二模试卷

数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2011.5

小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题 选择题: 目要求的一项. 目要求的一项. 1.已知集合 A

= {0,1} , B = {?1, 0, a + 3} ,且 A ? B ,则 a 等于 (A) 1 (B) 0
2

(C) ?2

(D) ?3

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z = 1 + 2i+3i 所对应的点落在 (A)第一象限 (C)第三象限 3.已知 a < b ,则下列不等式正确的是 (A) (B)第二象限 (D)第四象限

1 1 > a b

(B) a > b
2

2

(C) 2 ? a > 2 ? b

(D) 2a > 2b

4.在 “ 4. ?ABC 中, AB ? BC = 0 ”是“ ?ABC 为直角三角形”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

uuu uuu r r

5.一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于
2 2

正(主)视图

2

侧(左)视图

1

1 2

俯视图

(A) 2

(B) 1

(C)

1 6

(D)

2 3

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6.函数 y = sin πx ( x ∈ R ) 的部分图象如图所示,设 O 为坐 标原点, P 是图象的最高点, B 是图象与 x 轴的交点,则

y

P x

tan ∠OPB =

O

B

(A) 10

(B) 8

(C)

8 7

(D)

4 7

3 7.若 a > 2 ,则函数 f ( x) = x ? 3ax + 3 在区间 ( 0, 2) 上零点的个数为

(A)0 个 (C)2 个
2

(B)1 个 (D)3 个

8.已知点 A( ?1, 0), B (1, 0) 及抛物线 y = 2 x ,若抛物线上点 P 满足 PA = m PB ,则 m 的最大值为 (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9. 已知 {a n } 为等差数列, a3 + a4 = 1 ,则其前 6 项之和为_____. 10.已知向量 a = (1, 3) , a + b = (0, 3) ,设 a 与 b 的夹角为 θ ,则 θ = _____. 10 11.在 ?ABC 中,若 B = 2 A , a : b = 1: 3 ,则 A = _____.

? x ≥ 2, ? 12.平面上满足约束条件 ? x + y ≤ 0, 的点 ( x, y ) 形成的区域为 D ,则区域 D 的面积为 ? ?x ? y ? 6 ≤ 0
________;设区域 D 关于直线 y = 2 x ? 1 对称的区域为 E ,则区域 D 和区域 E 中距离 最近的两点的距离为________. 13.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示. 13. 则 0 ? ( ?1) = ______;
开始 输入 a, b

n?λ 14. an , 其 中 λ ∈ R , 14 数 列 {an } 满 足 a1 = 1 , an +1 = n +1 n = 1, L .给出下列命题: 2,
① ?λ ∈ R ,对于任意 i ∈ N , ai > 0 ;
*

设 f ( x) = (0 ? x) x ? (2 ? x) .则 f (1) = ______.

a≥b




S=b
输出 S 结束

S =a

② ?λ ∈ R ,对于任意 i ≥ 2(i ∈ N ) , ai ai +1 < 0 ;
*

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③ ?λ ∈ R , m ∈ N ,当 i > m ( i ∈ N )时总有 ai < 0 .
* *

其中正确的命题是______.(写出所有正确命题的序号)

小题, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 15. 15.(本小题满分 13 分)

π 1 2 sin( x + ) ? 4 3. 已知函数 f ( x) = sin x
( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x) = 2 , 求 sin 2x 的 值 .

16. 16.(本小题满分 13 分) 如图, 菱形 ABCD 的边长为 6 ,∠BAD = 60 , AC I BD = O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折
o

起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM = 3 2 . (Ⅰ)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 ABC ⊥ 平 面 MDO ; (Ⅲ)求 三 棱 锥 M ? ABD 的 体 积 . B A O D 17. 17.(本小题满分 13 分) 由世界自然基金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年 的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此, 某新闻 媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表 、 所示: 支持 20 岁以下 20 岁以上 (含 20 岁) 800 100 保留 450 150 不支持 200 300 C O D C B M A

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从“支持”态度的人中抽 取了 45 人,求 n 的值;
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(Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 5 人看成一个总体,从这 5 人中任 意选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概率; (Ⅲ)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3, 9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从中任取 1 个数,求该数与总体平均数之差的绝对 值超过 0.6 的概率. 18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = e x ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 g ( x ) = f ( x ) ? ex 的单调区间; (Ⅱ)记曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) (其中 x0 < 0 )处的切线为 l , l 与 x 轴、 y 轴所围 成的三角形面积为 S ,求 S 的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 3 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的焦距为 2 3 ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设过椭圆顶点 B (0, b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D ,交 x 轴于点 E ,且

BD , BE , DE 成等比数列,求 k 2 的值.

20. 20.(本小题满分 13 分) 若函数 f ( x ) 对任意的 x ∈ R , 均有 f ( x ? 1) + f ( x + 1) ≥ 2 f ( x ) , 则称函数 f ( x ) 具有性质 P . (Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质 P ,并说明理由. ① y = a x ( a > 1) ; ② y = x3 .
*

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 具有性质 P ,且 f (0) = f ( n) = 0 ( n > 2, n ∈ N ) , 求证:对任意 i ∈ {1, 2,3,L , n ? 1} 有 f ( i ) ≤ 0 ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意 x ∈ [0, n] 均有 f ( x ) ≤ 0 .若成立给出证明,若不成立给 出反例.

北京市西城区 2011 年高三二模试卷
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参考答案及评分标准

数学(文科)
小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题 号 答 案

2011.5

1 C

2 B

3 C

4 A

5 D

6 B

7 B

8 C

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9.

3

10. 120

o

11. 30

o

12. 1 ; 2 5

13. 1 ; ?1

14. ①③

注:12、13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 14 题只选出一个正确的命题给 2 分,选出错误的命题即得 0 分. 解答题: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) 15. 解 : 解 : Ⅰ ) 由 题 意 , sin x ≠ 0 , ( ……………2 分 所 以 , x ≠ k π (k ∈ Z) . 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x x ≠ k π, k ∈ Z} . ( Ⅱ ) 因 为 f ( x ) = 2 ,所以 2 sin( x + ……………3 分 ……………4 分 ……………5 分

π 1 ) ? = 2sin x , 4 3

2(

2 2 1 sin x + cos x) ? = 2 sin x , 2 2 3 1 , 3 1 , 9

……………7 分

cos x ? sin x =

……………9 分 ……………12 分 ……………13 分

将上式平方,得 1 ? sin 2 x = 所以 sin 2 x =

8 . 9

16.(本小题满分 13 分) 16. (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB .
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……………2 分

因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD . (Ⅱ)证明:由题意, OM = OD = 3 , 因为 DM = 3 2 ,所以 ∠DOM = 90o , OD ⊥ OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ⊥ AC . 因为 OM I AC = O , 所以 OD ⊥ 平面 ABC , 因为 OD ? 平面 MDO , 所以平面 ABC ⊥ 平面 MDO . ……………9 分 D ……………10 分 ……………8 分 A O …………7 分 ……………6 分 B M C ……………4 分

(Ⅲ)解:三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积. 由(Ⅱ)知, OD ⊥ 平面 ABC , 所以 OD = 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

……………11 分 ……………12 分

1 1 3 9 3 , ?ABM 的面积为 BA × BM × sin120o = × 6 × 3 × = 2 2 2 2
所求体积等于 × S ?ABM × OD =

1 3

9 3 . 2

……………13 分

17. 17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得 所以 n = 100 . (Ⅱ)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则

800 + 100 800 + 450 + 200 + 100 + 150 + 300 = , 45 n

……………2 分 ……………3 分

200 m = ,解得 m = 2 .………5 分 200 + 300 5

也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1), 1, B2), 1, B3), 2 ,B1), 2 ,B2), 2 ,B3), 1, (A (A (A (A (A (A A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共 10 个. ………7 分

其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2), (A2 ,B3),(A1, A2), 所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 (Ⅲ)总体的平均数为 x = …………8 分

7 . 10

……………9 分

1 (9.4 + 8.6 + 9.2 + 9.6 + 8.7 + 9.3 + 9.0 + 8.2) = 9 ,………10 分 8
……………12 分
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那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2,

所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为

1 . 8

……………13 分

18. 18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 g ( x) = e ? ex ,
x

所以 g ′( x) = e ? e ,
x

……………2 分 ……………3 分

由 g ′( x) = e ? e = 0 ,得 x = 1 ,
x

所以,在区间 ( ?∞,1) 上, g ′( x ) < 0 , 函数 g ( x ) 在区间 ( ?∞,1) 上单调递减; 在区间 (1, +∞) 上, g ′( x ) > 0 , 函数 g ( x ) 在区间 (1, +∞) 上单调递增; 即函数 g ( x ) 的单调递减区间为 ( ?∞,1) ,单调递增区间为 (1, +∞) . (Ⅱ)因为 f ′( x ) = e x , 所以曲线 y = f ( x) 在点 P 处切线为 l : y ? e
x0

……………4 分

……………5 分

= e x0 ( x ? x0 ) .
x x

……………7 分 ……………9 分 ……………10 分 ……………12 分

切线 l 与 x 轴的交点为 ( x0 ? 1, 0) ,与 y 轴的交点为 (0, e 0 ? x0 e 0 ) , 因为 x0 < 0 ,所以 S =

1 1 2 (1 ? x0 )(1 ? x0 )e x0 = (1 ? 2 x0 + x0 )e x0 , 2 2

1 2 S ′ = e x0 ( x0 ? 1) , 2

在区间 (?∞, ?1) 上,函数 S ( x0 ) 单调递增,在区间 (?1, 0) 上,函数 S ( x0 ) 单调递减. ……………13 分 所以,当 x0 = ?1 时, S 有最大值,此时 S = 所以, S 的最大值为 19、 、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 2c = 2 3 , 解得 a = 2, c =
2 2

2 , e
……………14 分

2 . e

c 3 = . a 2
……………4 分 E

……………2 分 y B x O

3,
2

所以 b = a ? c = 1 ,

x2 椭圆的方程为 + y 2 = 1. 4

……………5 分

D

(Ⅱ)由(Ⅰ)得过 B 点的直线为 y = kx + 1 ,

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? x2 2 ? + y = 1, 由? 4 ? y = kx + 1, ?
所以 xD = ?

得 (4k + 1) x + 8kx = 0 ,
2 2

……………6 分

8k 1 ? 4k 2 ,所以 yD = , 1 + 4k 2 1 + 4k 2
1 . 2
2

……………8 分

依题意 k ≠ 0 , k ≠ ±

因为 BD , BE , DE 成等比数列,所以 BE = BD DE , 所以 b = (1 ? yD ) yD ,即 (1 ? yD ) yD = 1 ,
2

……………9 分 ……………10 分 ……………11 分

当 yD > 0 时, y D ? yD + 1 = 0 ,无解,
2

当 yD < 0 时, y D ? yD ? 1 = 0 ,解得 yD =
2

1? 5 , 2

……………12 分

所以

1 ? 4k 2 1 ? 5 2+ 5 2 = ,解得 k = , 2 1 + 4k 2 4
2

所以,当 BD , BE , DE 成等比数列时, k = 20. 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:①函数 f ( x ) = a x ( a > 1) 具有性质 P .

2+ 5 . 4

……………14 分

……………1 分

1 f ( x ? 1) + f ( x + 1) ? 2 f ( x) = a x ?1 + a x +1 ? 2a x = a x ( + a ? 2) , a 1 x 因为 a > 1 , a ( + a ? 2) > 0 , a
即 f ( x ? 1) + f ( x + 1) ≥ 2 f ( x ) , 此函数为具有性质 P . ②函数 f ( x ) = x 3 不具有性质 P . 例如,当 x = ?1 时, f ( x ? 1) + f ( x + 1) = f ( ?2) + f (0) = ?8 ,

……………3 分

……………4 分

2 f ( x) = ?2 ,
所以, f ( ?2) + f (0) < f ( ?1) , 此函数不具有性质 P . (Ⅱ)假设 f (i ) 为 f (1), f (2),L , f ( n ? 1) 中第一个大于 0 的值, 则 f (i ) ? f (i ? 1) > 0 , 因为函数 f ( x ) 具有性质 P , 所以,对于任意 n ∈ N ,均有 f ( n + 1) ? f ( n) ≥ f ( n) ? f ( n ? 1) ,
*

……………5 分

……………6 分

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所以 f ( n) ? f ( n ? 1) ≥ f ( n ? 1) ? f ( n ? 2) ≥ L ≥ f (i ) ? f (i ? 1) > 0 , 所以 f ( n) = [ f ( n) ? f ( n ? 1)] + L + [ f (i + 1) ? f (i )] + f (i ) > 0 , 与 f ( n) = 0 矛盾, 所以,对任意的 i ∈ {1, 2,3,L , n ? 1} 有 f (i ) ≤ 0 . (Ⅲ)不成立. 例如 f ( x) = ? ……………9 分

? x( x ? n) x为有理数, ?x
2

……………10 分

x为无理数.

证明:当 x 为有理数时, x ? 1, x + 1 均为有理数,

f ( x ? 1) + f ( x + 1) ? 2 f ( x) = ( x ? 1)2 + ( x + 1) 2 ? 2 x 2 ? n( x ? 1 + x + 1 ? 2 x) = 2 ,
当 x 为无理数时, x ? 1, x + 1 均为无理数,

f ( x ? 1) + f ( x + 1) ? 2 f ( x) = ( x ? 1) 2 + ( x + 1) 2 ? 2 x 2 = 2
所以,函数 f (x) 对任意的 x ∈ R ,均有 f ( x ? 1) + f ( x + 1) ≥ 2 f ( x ) , 即函数 f ( x ) 具有性质 P . 而当 x ∈ [0, n] ( n > 2 )且当 x 为无理数时, f ( x ) > 0 . 所以,在(Ⅱ)的条件下, “对任意 x ∈ [0, n] 均有 f ( x ) ≤ 0 ”不成立.……………13 分 (其他反例仿此给分. 如 f ( x) = ? ……………12 分

?0 ?1

( x为有理数) ( x为无理数)

, f ( x) = ?

?0 ?1

( x为整数) ( x为非整数)

, f ( x) = ?

?0 ?x
2

( x为整数) ( x为非整数)

,等.)

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