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教师版曲线的轨迹方程


求曲线的轨迹方程
一.求轨迹方程的基本方法:
(一)直接法:求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标.凡已知条件中涉 及定点的坐标,定曲线的方程则无需建系。建系的途径通常有两种(1)以定直线为 X 轴(Y 轴) ,定点(可以是定直线上的中点,也可以是定直线上的端点)为原点建立直角坐标系; (2)写

出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}. (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0. (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式. (5)说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.去掉不满足条件的点(文字说明)或 用 x(或 y)的范围加以表述。 (二)转移法(相关点法):对于多动点的轨迹问题(其中一个动点在定曲线上) ,可以设

P( x0 , y0 ) 在定曲线 C 上,M(x,y)为所求轨迹上的动点,然后通过已知条件进行分析、整
理,得出关系式 ?

? x 0 ? g ( x, y ) ? y 0 ? h ( x, y )

将该式代入定曲线方程进行化简即可。

(三)定义法:若几何条件满足圆锥曲线的定义,则可转化为利用待定系数法求方程。 (四)交轨法:求两条动曲线的交点的轨迹方程。 (五)参数法:通过合理地设置参数建立变量间的关系. 二.题型分析 题型 1.直接法求轨迹方程 1. 已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0,⊙O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,如图所示.由动 点 P 向⊙O 和⊙O′所引的切线长相等,求动点 P 的轨迹方程. [审题视点] 由已知条件找出等量关系,直接写出 P 点坐标满足的等式化简 即得轨迹方程. 解 设 P(x, y), 由圆 O′的方程为(x-4)2+y2=6, 及已知|AP|=|BP|, 故|OP|2 -|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,则|OP|2-2=|O′P|2-6. 3 3 ∴x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,∴x= ,故动点 P 的轨迹方程是 x= . 2 2 2. 如图, 平面上定点 F 到定直线 l 的距离 | FM |? 2 ,P 为该平面上的动点, 过 P 作直线 l 的 垂线,垂足为 Q ,且 PQ ? FQ ?

1 | QF |2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A 、 B 两点,交直线 l 于点 N ,
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已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值. 解. (1)方法一:如图,以线段 FM 的中点为原点 O , [来源:学科网] 以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy . 设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则动点 Q 的坐标为 ( x,?1)

PF ? (? x,1 ? y) , PQ ? (0,?1 ? y) ,
1 1 | QF |2 ,得 2( y ? 1) ? ( x 2 ? 4) , 2 2 1 2 方法二:由 QP ? QF ? | FQ | 得, | PQ |?| PF | . 2
由 PQ ? FQ ? 所以,动点 P 的轨迹 C 是抛物线,以线段 FM 的中点为原点 O ,以线段 FM 所在的直线为

y 轴建立直角坐标系 xOy ,可得轨迹 C 的方程为: x2 ? 4 y .
(2) 方法一: 如图, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 N (? 联立方程组 ?

2 ,?1) . k

? x 2 ? 4 y, 2 x1 ? x 2 ? 4k , 消去 y 得,x ? 4kx ? 4 ? 0 ,? ? (?4k ) 2 ? 16 ? 0 , 故? ? ? x1 x 2 ? ?4. ? y ? kx ? 1,

由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得,

x1 ?

2 2 2 2 ? ??1 x1 , x 2 ? ? ?? 2 x 2 整理得, ?1 ? ?1 ? , ? 2 ? ?1 ? , k k kx1 kx2
2 1 1 2 x ? x2 2 4k ? ) ? ?2 ? ? 1 ? ?2 ? ? ?0. k x1 x2 k x1 ? x2 k ?4

?1 ? ?2 ? ?2 ? (

方法二:由已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,得 ?1 ? ?2 ? 0 . 于是,| NA | ? ?1 ? | AF | , | NB | ? 2 | BF | ①如图,过 A 、 B 两点分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1 、 ②由①,②得 ?1 ? ?2 ? 0

B1 ,则有 | NA | ? | AA1 | ? | AF | .
| NB | | BB1 | | BF |

题型 2. 定义法求轨迹方程 1、已知圆 x2+y2=25,动直线 l 过点(2,0) ,求 l 被该圆截得的弦中点的轨迹方程 2.已知 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a, c, b 依次构成等差数列, 且 a ? c ? b , AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程. 解:如右图,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意, a, c, b 构成等差数列,? 2c ? a ? b , A
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C

y

O

B x

即 | CA | ? | CB |? 2 | AB |? 4 ,又 CB ? CA ,? C 的轨迹为椭圆的左半部分 . 在 此 椭 圆 中 , a ? ? 2, c ? ? 1 , b? ? 3 , 故 C 的 轨 迹 方 程 为

x2 y2 ? ? 1( x ? 0, x ? ?2) . 4 3
3.一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心 M 的 轨迹方程,并说明它是什么曲线. [审题视点] 由曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程. 解 如图所示,设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,将圆的 方程分别配方得:(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R +2.①当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10-R.②,将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|= 12>|O1O2|,∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(-3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1(-3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆.∴2c x2 y2 =6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,∴圆心轨迹方程为 + =1, 36 27 轨迹为椭圆. 在利用圆锥曲线定义求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据 曲线的方程,写出所求的轨迹方程,若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹,则利用 圆锥曲线的定义列出等式,化简求得方程,同时注意变量范围. 4、已知圆 C1:(x+3) +y =1 和圆 C2:(x-3) +y =9,动圆 M 同时与圆 C1 及
2 2 2 2

圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B,根据两圆外 切的充要条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点 M 到两定点 C2、C1 的距离的差是常数 2,且小于|C1C2|=6. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大,到 C1 的距离小),这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为(x,y),其轨迹方程为 y2 x - 8 =1(x≤-1).
2

5.已知 y 轴右侧一动圆 C1 与一定圆 C2 : ( x ? 2) ? y ? 4 外切,也与 y 轴相切.
2 2

(1)求动圆 C1 圆心 M 的轨迹 C; (2)过点 T(-2,0)作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B

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两点,求一点 E ( x0 ,0) ,使得 ?AEB 是以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形。 解(1)由题意知动点 M 到定点(2,0)与到定直线 x ? ?2 的距离相等,则动点 M 的轨迹是 以定点 (2,0) 为焦点, 定直线 x ? ?2 为准线的抛物线。 所以点 M 的轨迹方程为 y 2 ? 8x. 又点 M 在原点时,圆并不存在,所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点, 以(2,0)为焦点的抛物线,除去原点. (2)设直线 l : x ? my ? 2, 代入y 2 ? 8x, 得y 2 ? 8my ? 16 ? 0, (1)

? ? 64m2 ? 64 ? 0, 解之得m ? 1或m ? ?1(?).
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则y1 , y2是方程(1) 的两个实数根,由韦达定理得

y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? 16 ,所以,线段 AB 的中点坐标为 F (4m 2 ? 2,4m),
| AB |? 1 ? m 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 8 1 ? m 2 ? m 2 ? 1, ……8 分



? x 轴上存在一点 E,使△AEB 为以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形,
∴ EF ? AB ,且 EF ? AB 直线 EF 的方程为: y ? 4m ? ?m( x ? 4m 2 ? 2) 令 y ? 0 得 E 点坐标为 (4m 2 ? 2,0) ,则 | EF |? 4 m 2 ? 1 所以

4 m2 ? 1 ?

1 ? 8 1 ? m 2 ? m 2 ? 1. 解之得 m ? ? 2 ,则 E 点坐标为(10,0) 2
2 2

三.坐标转移法求轨迹 1、 已知圆 C 的方程为: x ? y ? 4. (Ⅰ)直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若 | AB |? 2 3, 求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行与 x 轴的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 N,若向量

OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
解: (Ⅰ)①直线 l 垂直于 x 轴时,直线方程为 x =1,l 与圆的两个交点坐标为(1, 3 )和 (1,- 3 ) ,其距离为 2 3 满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方和为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 设圆心到此直线的距离为 d,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d =1 故所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0

?1 ?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 , 4

综上所述, 所求直线方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x =1

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(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,Q 点坐标为(x,y)则 N 点坐标是 (0, y0 )

? OQ ? OM ? ON, ? ( x, y ) ? ( x0 ,2 y 0 )即x0 ? x, y 0 ?
又? x0 ? y 0 ? 4,? x ?
2 2 2

y 2

y2 x2 y2 ? 4( y ? 0) ∴Q 点的轨迹方程是 ? ? 1, ( y ? 0) 4 4 16

轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆,除去短轴端点. 2、如图所示,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N.
2 2

求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x-x1, 2y-y1).∵点 N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2.∴ y-y1 =1,即 x-y+y1-x1=0,② x-x1

3 1 x = ? 1 ? 2x+2y-1, 由①、②联立,解得? 1 3 y = 1 ? ? 2x+2y-1. 上,

又 Q 在双曲线 x2-y2=1

?3 1 ?2 ?1 3 ?2 2 ∴x1 -y2 1=1,即?2x+2y-1? -?2x+2y-1? =1, ? ? ? ? 整理得 2x2-2y2-2x+2y-1=0,
3、 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 (?c , 0) 、 F2 (c , 0) , Q 是椭 a2 b2

P 是线段 FQ 圆外的动点,满足 | FQ 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并 1 1 |? 2a. ,点
且满足 PT ? TF2 ? 0 , | TF2 | ? 0 ,求点 T 的轨迹 C 的方程. 解: 解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 2

x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 .
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解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 .又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为
? ?x ? ? ? 线段 F2Q 的中点. 设点 Q 的坐标为( x , y ) ,则 ? ? ?y ? ? ? x? ? c , x? ? 2 x ? c, 2 因此 ? ? y? ? y ? ? 2 y. . 2



由 | F1Q |? 2a 得 ( x? ? c) 2 ? y ? 2 ? 4a 2 . ②将①代入②,可得 x 2 ? y 2 ? a 2 . 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2 ? y 2 ? a 2 . 四、 参数法:是指先引入一个中间变量 (参数) , 使所求动点的横、 纵坐标 x, y 间建立起联系, 然后再从所求式子中消去参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 注意:通常以长度、角度和斜率作参数. 1.直线 l: y=mx+1 与椭圆 C: 2x2+y2=2 交于 A、 B 两点, 以 OA、 OB 为邻边作平行四边形 OAPB (O 为坐标原点),求点 P 的轨迹方程; 1)解:设 P(x,y) ,则 OP 中点为 E(
? y ? mx ? 1 x y , )由 ? 消去 y 得(2+m2)x2+2mx-1=0 ? 2 2 ? 2 2 ?2 x ? y ? 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2)则

x1 ? x 2 y ? y2 x ? x2 m 2 =- , 1 =m 1 +1= 2 2 2 2 2?m 2 ? m2 x m m 2 ?? 即 AB 的中点为 E(- , )于是 2 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2
y 2 ? 2 2 ? m2

消去 m,得点 P 的轨迹方程为 2x2+y2-2y=0 2. 在 △ ABC 中 AC ? 2 3 , B 是 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 在 x 轴上方的顶点, l 是双曲线 5 4

x2 ? y 2 ? ?2 位于 x 轴下方的准线,当 AC 在直线 l 上运动时。求△ABC 外接圆的圆心 P 的
轨迹 E 的方程; 解: ( 1)由椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 及双曲线方程 x2 ? y 2 ? ?2 可得点 B(0, 2), 直线 l 方程是 5 4

y ? ?1 ? AC ? 2 3, 且 AC 在直线 l 上运动。可设 A(m ? 3, ?1), C(m ? 3, ?1),
则 AC 的垂直平分线方程为 x ? m ① ②

AB 的垂直平分线方程为 y ?

1 m? 3 m? 3 ? (x ? ) 2 2 2

P 是△ABC 的外接圆圆心,? 点 P 的坐标 ( x, y ) 满足方程①和②

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由①和②联立消去 m 得 y ?

x2 ,故圆心 P 的轨迹 E 的方程为 x2 ? 6 y 6

3、.已知椭圆

x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ? 1 .P 是 l 上点,射线 OP 交椭圆于点 R,又 12 8 24 16

点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨 迹是什么曲线. 解析:由题设知点 Q 不在原点.设 P、R、Q 的坐标分别为(xP,yP),(xR,yR),(x,y),其 中 x,y 不同时为零. 当点 P 不在 y 轴上时, 由于点 R 在椭圆上及点 O、 Q、 R 共线, 得方程组
2 2 ? xR yR ? 2 48x 2 ? ?1 x R ? 2 ①③ ? ? 解得 ? ? 24 16 2 x ? 3 y 2 由于点 P 在直线 l 上及点 O、 ? ? 2 ? yR ? y ? y 2 ? 48 y R 2 ? ? x x 2x ? 3y 2 ? R ?

?xp yp 24x ? ?1 xp ? ? ? Q、P 共线,得方程组 ? 12 8 解得 ? 2 x ? 3 y 当点 P 在 y 轴上时,经验证①-④式 ? ?y ? ? p ? y ? y ? 24y p ? ? x x 2x ? 3y ? ? p

②④

也成立. 由题设|OQ|·|OP|=|OR|2,得 x ? y ? x P ? y P ?
2 2 2 2
2

?x

2 R

2 ? yR

?

2

将①-④代入上式,化简整理得 242 ?x 2 ? y 2 ? ? 48?x 2 ? y 2 ? 2 2 2

?2 x ? 3 y ?

2x ? 3 y

因 x 与 xp 同号或 y 与 yp 同号,以及③、④知 2x+3y>0,故点 Q 的轨迹方程为

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2
5 2 5 3

?1

(其中 x,y 不同时为零).

所以点 Q 的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为 圆、去掉坐标原点.

10 15 和 且长轴与 x 轴平行的椭 2 3

五、交轨法求轨迹 求两曲线的交点轨迹时, 可由方程直接消去参数, 或者先引入参数来建立这些动曲线的联系, 然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法. 1、 已知直线 l1 : 2 x ? y ? k ? 0; l2 : kx ? y ? 1 ? 0, 其中 a 是常数,a≠0.

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求直线 l1 和 l 2 交点的轨迹, 解:由 ?

?ax ? by ? k ? 0, 消去 k,得 y 2 ? 2 x2 ? 1 kx ? y ? 1 ? 0 ?
y P A1 O A2 N M x

x2 y2 2、 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线 2 ? 2 ? 1 于 a b
M 、 N 两点, A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与

A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.
解:设 P( x, y) 及 M ( x1 , y1 ), N ( x1 ,? y1 ) ,又 A1 (?a,0), A2 (a,0) ,可得 直线 A1 M 的方程为 y ?

y1 ? y1 ( x ? a) ①;直线 A2 N 的方程为 y ? ( x ? a) ②. x1 ? a x1 ? a

①×②得 y 2 ?

x12 y12 ? y12 b2 2 2 2 2 ? ? ? 1 , ? ? y ? (a ? x12 ) , ③ . 又 代入③得 ( x ? a ) 1 2 2 2 2 2 a b a x1 ? a

y2 ? ?

b2 2 x2 y2 2 ( x ? a ) ? ? 1 ,此即点 P 的轨迹方程. 当 a ? b 时,点 P 的轨 ,化简得 a2 a2 b2

迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆;当 a ? b 时,点 P 的轨迹是椭圆. 作业

1.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延 长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 ). D.2x-y+5=0

解析 由题意知,M 为 PQ 中点,设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x -y+3=0 得 2x-y+5=0.答案 D

2.(2012· 福州模拟)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 ). C.双曲线 D.抛物线

B.椭圆

解析 依题意,点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的距离,故点 P 的轨 迹是抛物线.答案 D

3、已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 . 解析. ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
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即|F1Q|=2a,∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 答案.
2 2

A

x y ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 9 4 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )
4、设 A1、A2 是椭圆

x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 9 4 9 4 9 4 9 4 解析. 设交点 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)
A. ∵A1、P1、P 共线,∴

y ? y0 y ? y0 y y ? ? ∵A2、P2、P 共线,∴ x ? x0 x ? 3 x ? x0 x ? 3
2 2

x y 9 3y x2 y2 , 代入得 0 ? 0 ? 1,即 ? ?1 解得 x0= , y0 ? x x 9 4 9 4 a a 1 5、 △ABC 中, A 为动点, B、 C 为定点, B(- ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2 则动点 A 的轨迹方程为_________.
解析. 由 sinC-sinB=

1 1 a sinA,得 c-b= a,∴应为双曲线一支,且实轴长为 ,故方程为 2 2 2
答案.

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

6、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ? 0, p ? ( p ? 0 ) , 直线 l : y ? ? p ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 x 轴的交点, 过 R 、 P 分别作直线 l1 、 l2 ,使 l1 ? PF , l2 ? l l1 则动点 Q 的轨迹 C 的方程是 解:(Ⅰ)依题意知,点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥FP , ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线.

y . F O R

l2 l 1


l2 ? Q .

?


x

l

∴ PQ ? QF . 故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点,

l 为准线的抛物线,其方程为: x2 ? 4 py( p ? 0) .
7、 已知 OA ? (2 2,0) , O 为坐标原点, 动点 E 满足: BE ? BA ? AE ? AB ? 6 OB ? OA ? 0 , (I) 求点 E 的轨迹 C 的方程; (II)过曲线 C 上的动点 P 向圆 O: x ? y ? 1 引两条
2 2

切线 PA、PB,切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于 M、N 两点,求Δ MON 面积的最小值.

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7.解:(1)设点E(x,y),OE ? OA ?(x ? 2 2,y),OE ? OA ?(x ? 2 2,y) 由已知得 (x ? 2 2)2 ? y2 ? (x ? 2 2)2 ? y2 ? 6 即E到两定点(?2 2,0), (2 2,0)的距离之和为定值6,且4 2 ? 6 故轨迹C是以(?2 2,0)为焦点,长轴长为6的椭圆, 其方程为 x2 ? y2 ? 1...............(4分) 9

(2)如图,设P(x0 ,y0 )(x0y0 ? 0)为曲线C上任一点由题设知O、A、P、B在以OP为直径的圆上, x 2 ? y02 2 x0 2 y ) ?(y ? 0 )2 ? ( 0 ) 2 2 2 而AB是圆O和以OP为直径的圆的公共弦 其方程为(x ? 将这两圆的方程相减得AB的方程为 :x0 x ? y0y ? 1 所以M( 1 1 ,0),N(0, ) x0 y0 1 1 OM ? ON ? 2 2 x0 y 0 1 1 1 ? ? 2 ? x 3 x0 3 2 0 ? y0 ? y02 3 9 1

所以SΔ MON ?

1 ? ? 3 当且仅当

x0 1 ? y0 时等号成立,故Δ MON面积的最小值为 3 3

8、 某海域有 A 、 B 两个岛屿, B 岛在 A 岛正东 4 海里处。经多年观察研究发现,某种鱼 群洄游的路线是曲线 C , 曾有渔船在距 A 岛、B 岛距离和为 8 海里处发现过鱼群。 以 A 、B 所在直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 (1) 求曲线 C 的标准方程; (2)某日,研究人员在 A 、 B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速 度相同) , A 、 B 两岛收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5 : 3 ,问你能否确定 P 处的位 置(即点 P 的坐标)? 解(1)由题意知曲线 C 是以 A 、 B 为焦点且长轴长为 8 的椭圆 则 c ? 2, a ? 4 ,故 b ? 2 3 又 2c ? 4 ,
A y

x2 y2 ? ?1 曲线 C 的方程是 16 12

?

O

?

B

x

(2)由于 A 、 B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 5 : 3 ,因此设此时距 A 、 B 两岛的距 离分别比为 5 : 3 即鱼群分别距 A 、 B 两岛的距离为 5 海里和 3 海里。

2 2 设 P( x, y) ,B(2,0) ,由 PB ? 3 ? ( x ? 2) ? y ? 3 ,

??x ? 2?2 ? y 2 ? 9 ? 2 y2 ?x , ? ?1 ? 16 12 ? ?? 4 ? x ? 4 ?

? x ? 2, y ? ?3

? 点 P 的坐标为 ?2,3? 或 ?2,?3?

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9.已知点 F ? 0,1? , 直线 l :y ? ?1 ,P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为 Q , 且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2) 已知圆 M 过定点 D ? 0,2? , 圆心 M 在轨迹 C 上运动, 且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两点, 设 DA ? l1 ,DB ? l2 , 求 的最大值。 解、 (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP QF ? FP FQ , ∴ ? 0, y ?1? ? ? x,2? ? ? x, y ?1? ? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

l1 l2 ? l2 l1

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . ①

圆 M 的半径为 MD ? a2 ? ? b ? 2?2 . 圆 M 的方程为 ? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? a 2 ? ? b ? 2 ?2 .
2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b 2 ? a 2 ? ? b ? 2 ? ,整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .
2 2



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ?

? a ? 2?
? 8?
2

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

2 2 2 ? 4 .∴ l1 ? l2 ? l1 ? l2 ? 2a ? 16 4

l2

l1

l1l2

a ? 64

?2

?a

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 ③ 当 a ? 0 时, 由③得, l1 l2 ? ?2 a 4 ? 64 l l
2 1

1?

. 16 16 ≤2 1 ? ?2 2 64 2?8 a2 ? 2 a

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立.当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

10. (13 四川 (理) ) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , a 2 b2

且椭圆 C 经过点 P ( , ) .(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

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解: 2a ? PF ? PF ? ? 4 ? 1? ? ? 1 ? ? ? 4 ? 1? ? ? 1 ? ? 2 2 所以, a ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3? 又由已知, c ? 1 , 所以椭圆 C 的离心率 e ?

2

2

2

2

2.

c 1 2 ? ? a 2 2

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . 设点 Q 的坐标为(x,y). 2

(1) 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 , 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 ? 0,1 ? ? 1两 点 , 此 时 Q 点 坐 标 为 ? ,? 0,

? 3 5? (2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . ? ? 0, 2 ? 5 ? ? ? ?
因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1, kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .


2

2

2 2 2 又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x . 2 2

2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得

2 1 1 ,即 ? ? 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22

2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
2

① 将 y ? kx ? 2 代入
2

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2
3 . 2

? 2k

2

? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ② 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? ? 2k 2 ? 1? ? 6 ? 0, 得 k 2 ?
2k ? 1 6 18 , 代入①中并化简,得 x 2 ? 2k 2 ? 1 10k 2 ? 3

由②可知 x1 ? x2 ? ? 8k , x1 x2 ? 2



因 为 点 Q 在 直 线 y ? kx ? 2 上 , 所 以 k ?

y?2 , 代入③中并化简,得 x
6 ? ,0 ? 2 ? ? ? 6?. 又 ? ? 0, 2 ? ? ? ?

10 ? y ? 2 ? ? 3 x 2 ? 18 . 由③及 k 2 ?
2

3 3 2 , 可知 0 ? x ? , 即 x ? ? ? ? ? 2 2 ?

? 3 5 ? 满足 10 y ? 2 2 ? 3 x 2 ? 18 ,故 ? 6 6 ? . ? ? 0, 2 ? ? ? x?? , ?? ? ? ? ? 5 ? ? ? 2 2 ?
2 由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 , 又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有 2

? y ? 2?

2

?9 9 ? 1 3 5?. ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? ,2 ? ? ? ? 5 4 5 ? ? ? ?2

2 2 ?1 3 5? 6 6 ?, 所以点 Q 的轨迹方程是 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,其中, x ? ? y ?? , ? ? ? ? ,2 ? ?? ?

?

2

2 ?

?2

5 ?

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11、如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 4, E , F , G, H 分别为四边的中点,且都在坐标轴 y uu u r uuu r uuu r uu u r 上,设 OP ? ?OF , CQ ? ?CF (? ? 0) . (Ⅰ)求直线 EP 与 GQ 的交点 M 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ)过圆 x2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) 上一点 N 作圆的切线与轨迹 ? 交于 S , T 两点, uur uuu r 若 NS ? NT ? r 2 ? 0 ,试求出 r 的值. 解: (I)设 M ( x, y ) ,由已知得 P(4? ,0), Q(4, 2 ? 2? ) , 则直线 EP 的方程为 y ? 轨迹 ? 的方程为
H A o E
(第 5 题)

D

G M P

C Q F B x

x ?x ? 2 ,直线 GQ 的方程为 y ? ? ? 2 ,消去 ? 即得 M 的 2? 2

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0) . 16 4
2

(II)方法一:由已知得 NS NT ? ON ,又 ON ? ST ,则 OS ? OT ,

x2 y 2 ? ? 1 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?16 ? 0 , 设直线 ST : y ? kx ? m(m ? ?2) 代入 16 4
设 S ( x1 , y1 ), T ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 由 OS ? OT 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
km( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) x1x2 ? m ? 0 ,则 5m
2 2

8km 4m2 ? 16 , x x ? .… 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
D S

y G o E C T F B x

N

2

? 16(1 ? k ) ,
2

H A

4 5 又 O 到直线 ST 的距离为 r ? , 故r ? ? (0, 2) . 5 1? k 2
经检验当直线 ST 的斜率不存在时也满足.

m

方法二:设 N ( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? r 2 ,且可得直线 ST 的方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 代入

x2 y 2 ? ? 1 得 ( y02 ? 4x02 ) x2 ? 8r 2 x0 x ? 4r 4 ?16 y02 ? 0 , 16 4
2

由 NS NT ? ON 得 (1 ?

x02 )( x2 ? x0 )( x0 ? x1 ) ? r 2 ,即 x0 ( x1 ? x2 ) ? x1x2 ? r 2 , 2 y0



8r 2 x0 2 ? 4r 4 ? 16 y0 2 4 5 ? (0, 2) . ? r 2 ,故 r ? 2 2 5 y0 ? 4 x0
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x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) ? ? 1 为其伴随曲线,记 ,定义 C : 1 a 2 b2 a 2 b2 双曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B .(1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭
12、 对于双曲线 C : 圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求双曲线 C 的渐近线方程;

x2 y 2 ? ?1, (2) 若双曲线 C 的方程为 弦 PQ ? x 轴, 记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M , 4 2
求动点 M 的轨迹方程; (3)过双曲线 C : x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F ,且斜率为 k 的直线 l 与双 曲线 C 交于 N1 、 N 2 两点,求证:对任意的 k ? [?2 4 , 2 4 ] ,在伴随曲线 C1 上总存在点 S , 使得 FN1 ? FN 2 ? FS . 解: ( 1 )∵ c ? a2 ? b2 , c1 ?
2 2 2 2
2

?

1

?

1

a 2 ? b2

由 c ? 2c1 ,得

a2 ? b2 ? 2 a2 ? b2 ,即

b2 3 15 ? ∴ C 的渐近线方程为 y ? ? x a ? b ? 4( a ? b )可得 2 a 5 5 (2)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , y0 ? y0 ∴直线 PA 的方程为 y ? ( x ? 2) ①直线 QB 的方程为 y ? ( x ? 2) ② x0 ? 2 x0 ? 2
4 ? x ? 由①②得 ? ? 0 x ? 2 ?y ? y 0 ? x ?
2 2 ∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线 x ? y ? 1 上∴ x2 ? x2 ? 1 4 2 4 2

42

4 y2



x2 y 2 ? ?1 4 2

(3)证明:点 F 的坐标为 F (? 2,0) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 N1 、 N 2 的坐标
? y ? k ( x ? 2) 分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) 则由 ? ? 2 2 ? ? x ? y ?1

得 x2 ? k 2 ( x ? 2)2 ? 1 ,

即 (1 ? k 2 ) x2 ? 2 2k 2 x ? (2k 2 ?1) ? 0 ,当 k ? ?1 时, ∵ ? ? 8k 4 ? 4(1 ? k 2 )(2k 2 ? 1) ? 8k 4 ? 8k 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 0
2 2 ∴ x1 ? x2 ? 2 2k2 , x1 ? x2 ? ? 2k ?21 1? k 1? k

FN1 ? FN2 ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? 2)k ( x2 ? 2) ? (1 ? k 2 )[ x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2]
2k 2 ? 1 2 2k 2 1? k 2 ? 2 ? ? 2) ? 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1 1 ? ? 1? k 2 2 2 ? [1,3 ? 2 2] 由 k ? [?2 4 , 2 4 ] 知 k ? [0, ] ,∴ 1? k 2 2 2 2 2 2 ∵双曲线 C : x ? y ? 1 的伴随曲线是圆 C1 : x ? y ? 1 ,圆 C1 上任意一点 S 到 F 的距离 ? (1 ? k 2 )(?

SF ?[ 2 ? 1,1 ? 2] ,∴ SF ?[3 ? 2 2,3 ? 2 2]


2

[ 1, ? 3

2 2 ?]

? [3

在伴随曲线 C1 上总存 k ?[?2 , 2 ] , 2 2 ? , 3 ∴对任意的 2 2]
2

?

1 4

?

1 4

在点 S ,使得 FN1 ? FN 2 ? FS

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13 、 【 2012 辽宁理 20 】 如图,椭圆 C0 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0 , a , b 为常数 ) ,动圆 a 2 b2

C1 : x2 ? y 2 ? t12 ,b ? t1 ? a 。点 A1, A2 分别为 C0 的左,右顶点,C1 与 C0 相交于 A,B,C,
D 四点。 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A/ , B/ , C / , D/ 四点,其中 b ? t2 ? a , 2 为定值。 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2

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