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史密斯圆图及应用


史密斯圆图及其应用
简化阻抗和导纳的计算,同时满足工程上的其他需要

– 阻抗------反射系数
– 反射系数-----阻抗、导纳

– 阻抗匹配

归一化阻抗与反射系数之间的关系
Z ( z) 1 ? ?( z) ~ Z (z) ? ? Z0 1 ? ?( z) Z 1 ? ?1 ~

ZL ? L ? Z 0 1 ? ?1 ~ Z ( z) ? 1 ?( z) ? ~ Z (z) ? 1 ~ ZL ?1 ?1 ? ~ ZL ?1 ? ( z ) ? ?1e ? j 2 ? z

史密斯(Smith)圆图 即根据这些公式绘出 的极坐标圆图

一、阻抗圆图
阻抗圆图的组成

– 等反射系数圆族
– 等相位线族

– 等电阻圆族
– 等电抗圆族

阻抗圆图——等反射系数圆族
– 无耗传输线上离终端距离为z处的反射系 数
? ( z ) ? ?1 e ? ? u ? j? v ? ?? ??
2 u 2 2 v j (?1 ? 2 ? z )

? ?1 cos(?1 ? 2 ? z ) ? j sin(?1 ? 2 ? z )

阻抗圆图——等反射系数圆族
– 在Γ=Γu+jΓv复平面上等反射系数模的轨迹是以坐

标原点为圆心、|Γ1|为半径的圆
– 不同的反射系数模,就对应不同大小的圆

– |Γ|≤1 ? 所有的反射系数圆都位于单位圆内
– 反射系数模和驻波系数一一对应, 又称为等驻波系 数圆族 – 坐标原点为匹配点; 最外圆为全反射圆

通常把短 路点处的

电长度取
为0

阻抗圆图——等相位线
离终端距离为z处反射系数的相位为

? ? ?1 ? 2 ? z ? arctg

?v ?u

– 等相位线是由原点发出的一系列的射线 – 满足“顺源逆负”原则

– 传输线上移动距离与圆图上转动角度的关系

电长度
? ? ? 2 ?? l ? 4?

?

?l ? 4?

?l

?

? 4???

Δl=?/2,Δ?=0.5, Δφ=2π,一圈

阻抗圆图----等阻抗圆
? ( z ) ? ? u ? j? v
? ( z ) ? 1 ? ? u ? j? v Z 1 ? ? u ? j? v ? 1 ? (? ? ? )
2 u 2 v

Z ( z) ?

1 ? ?( z ) 1 ? ?( z )

(1 ? ? u ) ? ?
2

2 v

? j

2? u
2 (1 ? ? u ) 2 ? ? v

? r ? jx

阻抗圆图----等阻抗圆
r?
2 2 1 ? (? u ? ? v )

(1 ? ? u ) ? ?
2

2 v

x?

2? u
2 (1 ? ? u ) 2 ? ? v

(? u ?

r r ?1

r ?1 1 2 1 2 2 ( ? u ? 1) ? (? v ? ) ? ( ) x x

) ?? ?(
2 2 v

1

)2

圆方程

阻抗圆图----等电阻圆
等电阻圆族
(? u ? r r ?1 ) ?? ?(
2 2 v

1 r ?1

)2

? r ? – 圆心在 ? ,0? , ?1? r ?

– 半径为

1 r ?1

阻抗圆图----等电阻圆
r
0 0.2

圆心

? r ? ,0? ? ? r ?1 ?

半径

? 1 ? ? ? ? r ?1?

(0,0) (1/6,0)

1 5/6

0.5
1 2 4 ?

(1/3,0)
(0.5,0) (2/3,0) (0.8,0) (1,0)

2/3
0.5 1/3 0.2 0

阻抗圆图----等电阻圆
j?i jX r=const

C

R
r=0.5 1 2 4 0.5 0.2 1

4 2

D

?r

r=0

(a)

阻抗圆图----等电阻圆
?等电阻圆都相切于(1,0)点,即D点 ?r=0圆为单位圆,表明?复平面上单位圆为 纯电抗圆,对应的反射系数为1 ?随着r的增大,等电阻圆半径逐渐减小,当 r??时,等电阻圆缩小为一个点,D点

阻抗圆图----等电抗圆
等电抗圆

(? u ? 1) ? (? v ? ) ? ( ) x x
2 2

1

1

2

? 1? – 圆心 ? 1, ? ? x?

– 半径

1 x

阻抗圆图----等电抗圆
圆心 x 0 ?0.2 ?0.5 ?1

? 1? ? 1, ? ? x?
(1,?5) (1,?2) (1,?1)

半径

?1? ? ? ? x?
? 5 2 1

(1,??)

?2
?4

(1,?0.5)
(1,?0.25)

0.5
0.25

??

(1,0)

0

阻抗圆图----等电抗圆
jX 4 2 1 x=0.5 R x=-0.5 -1 -2 -4 (b) 0.2 C -0.2 -2 -0.5 -1 -4 0.5 1 2 4 D ?r j?i

阻抗圆图----等电抗圆
?|?|?1,因此只有单位圆内的部分才有物理意义
?等电抗圆都相切于点,即D点x=0时,圆的半 径为无限大对应于?复平面上的实轴即直线CD ?当x??时,电抗圆缩为一个点,D点

阻抗圆图----等阻抗圆
把等电阻圆族与等电抗圆族结合到同一个圆内,则每一 个电阻圆与电抗圆的交点,都代表一个归一化输入阻 抗值。

等电阻圆与等电抗圆正交

若把等电阻圆族与等电抗圆族结合到?复平面上,则构成 的图形为Smith圆图

90 120
0.5 1 2 4 4 2 -0.2 1 0.5 -0.5 -2 0.2 -1 r=0 -4 D

60 30

150
0.2

180

C

0

210 240

330

300

270

图2-3 Smith圆图 (阻抗圆图)

阻抗圆图----特点
圆图上有三个特殊点 特殊点 位置 匹配点 中心(0,0) |?| 0 VSWR 1 r 1 x 0

?l

开路点 短路点

D点(1,0) C点(-1,0)

1 1

? ?

? 0

? 0

0 ?

阻抗圆图----特点
圆图上有三条特殊轨迹



实轴对应纯电阻轨迹,即x=0。
? 正实轴OD直线为电压波腹点(电流波节点) 的轨迹,且归一化电阻等于驻波系数值;

?

负实轴OC直线为电压波节点(电流波腹点)

的轨迹,且归一化电阻等于驻波系数的倒数



最外圆为纯电抗圆,即|?|=1的全反射圆

阻抗圆图----特点
圆图上有两个特殊的面



圆图的上半平面 x>0,感性电抗的轨迹



圆图的下半平面 x<0,容性电抗的轨迹

两个旋转方向

– –

顺时针向源 逆时针向负载

阻抗圆图----特点
Smith圆图可以直接提供如下信息

– –

直接给出归一化输入阻抗值zin ,乘以特性

阻抗即为实际值;
直接给出反射系数的模值|?|及其相位;



根据反射系数模值计算出驻波系数的值

阻抗圆图的应用
应用于下列问题的计算



已知负载阻抗ZL,确定传输线上的驻波系

数或反射系数和输入阻抗Zin;



已知负载阻抗ZL,确定传输线上第一个电
压波腹点与波节点距离负载的距离;



已知驻波系数VSWR及距离负载电压波节 点的位置,确定负载阻抗ZL

阻抗圆图的应用----阻抗变换
一个典型的包含有长度为d、特性阻抗为Z0、终端 负载为ZL的传输线的电路,采用Smith圆图分析 其阻抗特性,可以按以下步骤进行:

– 确定归一化负载阻抗zL;
– 在Smith圆图内找到该阻抗zL的位置;

阻抗圆图的应用----阻抗变换
– 根据该归一化阻抗点到中心点(匹配点)的距离确定

反射系数,其长度为反射系数的模值,与正实轴OD轴
的夹角为其相位; – 根据传输线的长度d,沿等反射系数圆顺时针旋转2?d 角度,获得?in(d);并读出该点所对应的归一化输入阻 抗zin(d); – 转换zin(d)为实际值。

例1 已知均匀无耗传输线的特性阻抗为300?,终端接负载阻抗
ZL=180+j240?,求终端电压反射系数?l 解:(1)计算归一化负载阻抗值
zin ? ZL Z0 ? 180 ? j 240 300 ? 0.6 ? j 0.8
x=0.8 r=0.6 A O 3 0.25 0.125

(2)在圆图上找到r=0.6的
电阻圆与x=0.8的电抗圆 的交点A
图2-4

例2-1图

(3)确定反射系数的模值。以OA线段为半径,
O点为圆心作等反射系数圆,与正实轴交于B点,

B点对应的电阻圆的值(r=3)即为驻波系数?
? ? VSWR ? 1 VSWR ? 1 ? 3 ?1 3 ?1 ? 0.5

(4)确定终端反射系数的相位。延长射线OA与 最外圆相交

2? ? (0.25 ? 0.125) ? 90?
? l ? 0.5e
x=0.8 r=0.6 A O 3 0.25
j 90?

? j 0.5

0.125

图2-4

例2-1图

例2 已知传输线的特性阻抗为50?,负载阻抗ZL=50+j50?, 传输线长度为0.25?。求该传输线的输入阻抗和驻波系数 VSWR。 解:(1)求归一化负载阻抗
0.125 x=1 r=1 A O 0.39 B 2.6 0.25 0.162

zL ?

50 ? j 50 50

? 1 ? j1

在圆图上找出该点的位置 (A),其对应的电长度 为0.162

0.412

图2-5

例2-2

(2)作O点到A点的连线,以OA为半径画圆,即为等反射系

数圆(等驻波系数圆)。沿此圆顺时针旋转0.25电长度至B点,
对应的电长度为 0.162+0.25=0.412。 (3)读取B点的坐标 为0.5-j0.5
A O 0.39 B 2.6 0.25 0.125 x=1 r=1 0.162

Z in ? zin ? Z 0 ? ? 0.5 ? j 0.5 ? ? 50 ? ? 25 ? j 25 ? ?

0.412

图2-5

例2-2

(4)过A点的等反射系数圆与实轴的交点为2.6和
0.39 ?=2.6
O 0.39 2.6 B 0.125 x=1 r=1 A 0.25 0.162

K=0.39

0.412

图2-5

例2-2

例3

单支节匹配

? ? ? ? Yin ? 1 Yin ? Y1 ? Y2

? ? Y2 ? jB

调节l

? ? Y1 ? 1 ? Y2 ? 1 ? jB

调节d g=1的圆上

二、导纳圆图
– 归一化输入导纳与归一化输入阻抗的关系

y?

1 z

?

1? ? 1? ?

? y ? 1? ? jx ?? ?? 1? y ? y ? 1? ? jx
1? y

??

? r ? 1? ? ? z ? 1 ? r ? 1? ?
z ?1

jx jx

导纳圆图
若将阻抗圆图中的 r 用 g 代替,x 用 b 代替,?用-?代 替,则图上所标的数值不变,由此构成的圆图称为导 纳圆图 “-” 代表相位相差π 旋转180度 归一化阻抗 归一化导纳

阻抗圆图可以作为导纳圆图使用,但图上各点的物理意 义有所不同

导纳圆图与阻抗圆图的比较
圆图上的点、线、面 O点(0,0) 特 殊 点 阻抗圆图 匹配点,?=0,r=1 导纳圆图 匹配点,?=0,g=1

D点(1,0)
C点(-1,0)

开路点,?=1,r??
短路点,?=-1,r=0

短路点,?=-1,g??
开路点,?=1,g=0

OD线 特 殊 线 |?|=1的圆 上半圆 面 下半圆 OC线

电压波腹点,r=?,x=0

电流波腹点,g=?,x=0

电压波节点,r=1/?,x=0

电流波节点,g=1/?,x=0

r=0,纯电抗线 x>0,感性 x<0,容性

g=0,纯电纳线 b>0,容性 b<0,感性


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