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高中数学三角函数专题专项练习(非常好)


【三角函数疑难点拔】 一、 忽略隐含条件 例 3. 若 sin x ? cos x ? 1 ? 0 ,求 x 的取值范围。 正解: 2 sin( x ? ? ) ? 1 ,由 sin( x ? ? ) ?
4

2 2

? (k ? Z ) 得 2 k ? ? ? ? x ? ? ? 2 k ? ? 3? ( k ? Z ) ∴

2 k ? ? x ? 2 k ? ?
4 4 4

4

2

二、 忽视角的范围,盲目地套用正弦、余弦的有界性 例 4. 设 ? 、 ? 为锐角,且 ? + ? ? 120 ? ,讨论函数 y ? cos 错解 y ? 1 ?
2

? ? cos

2

? 的最值。
1 2 cos( ? ? ? ) ,可见,当 cos( ? ? ? ) ? ? 1

1 2

(cos 2 ? ? cos 2 ? ) ? 1 ? cos( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? 1 ?
1 2

时, y max ?

3 2

;当 cos( ? ? ? ) ? 1 时, y min ?

。分析:由已知得 30 ? ? ? , ? ? 90 ? ,∴ ? 60 ? ? ? ? ? ? 60 ? ,则

1 2

? cos( ? ? ? ) ? 1 ,∴当 cos( ? ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 60 ? 时, y min ?

1 2

,最大值不存在。

三、 忽视应用均值不等式的条件 例 5. 求函数 y ?
2 2

a cos

2 2

? x b
2 2

b sin ?

2 2

( a ? b ? 0 ,0 ? x ? x 2 ab sin x cos x ? 4 ab sin 2 x

?
2 ?

) 的最小值。

错解

y ?

a cos

? x

(1 )

(2)

sin

x

4 ab (? 0 ? sin 2 x ? 1) , ∴当 sin 2 x ? 1 时,y min ? 4 ab

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析:在已知条件下, 、 (1)(2)两处不能同时取等号。正解: y ? a (1 ? tan x ) ? b (1 ? cot x ) ? a ? b ? ( a tan x ? b cot x ) ,

? a

2

? b ? 2 ab ? ( a ? b )
2

2

当且仅当 a tan x ? b cot x ,即 tan x ? 【经典题例】 例 4:已知 b、c 是实数,函数 f(x)= x
2

b a

,时, y min ? ( a ? b )

2

? bx ? c 对任意α 、β ? R 有: f (sin ? ) ? 0 , 且 f ( 2 ? cos ? ) ? 0 ,

(1)求 f(1)的值; (2)证明:c ? 3 ; (3)设 f (sin ? ) 的最大值为 10,求 f(x) 。 [思路] (1) 令α =

?
2

, f (1) ? 0 , 令β = ? , f (1) ? 0 , 因此 f (1) ? 0 , ; 证明: 得 得 (2) 由已知, ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 , 当

当 1 ? x ? 3 时, f ( x ) ? 0 , 通过数形结合的方法可得: f ( 3 ) ? 0 , 化简得 c ? 3 ; (3)由上述可知,[-1,1]是 f ( x ) 的减区 间,那么 f ( ? 1) ? 10 , 又 f (1) ? 0 , 联立方程组可得 b ? ? 5 , c ? 4 ,所以 f ( x ) ? x 例 5:关于正弦曲线回答下述问题: (1)函数 y ? log
1 2
2

? 5x ? 4

sin(

?
3

?

?x
4

) 的单调递增区间是?

[8 k ?

2 3

? x ? 8k ?

4 3

]k ? Z ;

(2)若函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? (3)把函数 y ? sin( 3 x ? 的函数解析式子是 例 6:函数 f ( x ) ?

?
8

对称,则 a 的值是

1



?
4

) 的图象向右平移

?
8

个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍(纵坐标不变) ,则所得

y ? sin( x ?

?
8

)



sin 2 x 1 ? sin x ? cos x

, (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的最大值及对应的 x 值。 1

[思路](1){x|x ? 2 k ? ? ? 且 x ? 2 k ? ? 例 7:在Δ ABC 中,已知 sin A cos
2

?
2

k ? Z } (2)设 t=sinx+cosx,则 y=t-1 y max ?
2

2 ? 1, x ? 2 k ? ?

?
4

k?Z

C 2

? sin C cos

A 2

?

3 2

sin B (1)求证:a、b、c 成等差数列; (2)求角 B 的取值范围。
sin A ? sin C ? 2 sin B ? a ? c ? 2 b ? ?
( 2 )

[ 思 路 ] ( 1 ) 条 件 等 式 降 次 化 简 得

a ? cos B ?

2

?c ?(
2

a?c 2

)

2

?
3

3( a

2

? c ) ? 2 ac
2

?

6 ac ? 2 ac 8 ac

?

1 2

, ? ? ∴……,得 B 的取值范围 ( 0 ,

?
3

]

2 ac
14.设 x ? cos ? ? sin ? ,且 sin 19.已知 x ? ( 0 ,

8 ac
3

? ? cos ? ? 0 ,则 x 的取值范围是

(0,

2] ;

?
2

) ,证明不存在实数 m ? ( 0 ,1) 能使等式 cos x +msin x =m(*)成立;

(2)试扩大 x 的取值范围,使对于实数 m ? ( 0 ,1) ,等式(*)能成立; (3)在扩大后的 x 取值范围内,若取 m ? 提示:可化为 m ? tan( 最值问题典型错例 例 5. 求函数 y ?

3 3

,求出使等式(*)成立的 x 值。

x 2

?

?
4

) ? 1 (2) x ? ( ?

? ?
, 2 2

) (3) x ? ?

?
6

sin x 13 ? 4cos x
2
2

的最大值和最小值。
2

错解:原函数化为 4 s x s x 9 ? ,关于 sin x 的二次方程的判别式 ? ( 1 ??y 9 ? ,即 yi n ?i ? y 0 n ? ) 4 4?y 0 ?

?

1 12

?y?

1 12

,所以 y m a x ?

1 12

, y m in ? ?

1 12

。剖析:若取 y ? ?
2

1 12

,将导致 sin x ? ?

3 2

的错误结论,此题错在忽

视了隐含条件 |sin x|?1。正解:原函数化为 4 s x s x 9 ? ,当 y ? 0 时,解得 snx?0 ,满足 sin x ? 1 i yi n ?i ? y 0 n 当 y ? 0 时 , 解 得 sinx ?

1? 1?144y 8y

2

, 又 s x R | i x 1, 则 有 i ?, ? n s n|

?1 ? 144 y 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 1 ? 144 y ?1 ??1 ? 8y ?



?1 ? 144 y 2 ? 0 ,解得 ? ? 2 13 ? 1 ? 1 ? 144 y ?1 ??1 ? 8y ?

1

? y?

1 13

,所以 y m a x ?

1 13

, y m in ? ?

1 13

难点 【例】已知

化简与求值
3 5

?
2

<β <α <

3? 4

,cos(α -β )=

12 13

,sin(α +β )=-

,求 sin2α 的值_________.

2 2 [例 1]不查表求 sin 20°+cos 80°+ 3 cos20°cos80°的值.

2 2 2 解法一:sin 20°+cos 80°+ 3 sin 20°cos80°=

1 2

(1-cos40°)+

1 2

(1+cos160°)+
1 2

3 sin20°cos80°

=1 - sin40 ° )+
3 2

1 2

cos40 ° +

1 2

cos160 ° +

3 sin20 ° cos(60 ° +20 ° )=1 -
1 2

cos40 ° +
1 4

1 2

(cos120 ° cos40 ° - sin120 °
3 4

3 sin20 ° (cos60 ° cos20 ° - sin60 ° sin20 ° )=1 -

cos40 ° -

cos40 ° -

sin40 ° +

3 4

sin40 ° -

sin 20° =1-
3 4
2

2

cos40°-

3 4

(1-cos40°)=
2

1 4

解法二:设 x=sin 20°+cos 80°+

3 sin20°cos80°,y=cos220°+sin280°-

3 cos20°sin80°,则

2

x+y=1+1- 3 sin60°=
∴x=y=
1 4
2

1 2

,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100°=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0
2

,即 x=sin 20°+cos 80°+
2

3 sin20°cos80°=

1 4

.
1 2

[例 2] 关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定满足 f(a)= 解:由 y=2(cosx-
a 2

的 a 值, 并对此时的 a 值求 y 的最大值.

)-

2

a

2

? 4a ? 2 2

及 cosx∈[-1,1]得: ,∴1-4a=
1 2

f(a) ? ?

?1 ? 2a ? 1 ?? ? 2 ?1 ? 4 a ? a
2

(a ? ?2) (?2 ? a ? 2) (a ? 2)

,∵f(a)=

1 2

? a=

1 8

? [2,+∞ ) ,故-

a

2

-2a-1=

1 2

,解得:a=-1,此时,

2

y=2(cosx+

1

)+

2

1 2

,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5.

2 难点训练

1.(★★★★★)已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、 tanβ , 且α , ∈(- β A.
1 2

2

? ? ? ? ? , ), tan 则 的值是( 2 2 2

)

B.-2

C.

4 3

D. )=
3 5
.
2

1 2 5 13

或-2 ,则 sin(α +β )=_________.

3.设α ∈(

?
4

,

3? 4

),β ∈(0,

?
4

),cos(α -

?
4

,sin(

3? 4

+β )=

4.不查表求值:

2 sin 130 ? ? sin 100 ? (1 ? 1 ? cos 10 ?

3 tan 370 ? )

的值. 5 12 4 1 ? tan x 4 7.扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积. 8.已知 cosα +sinβ =
3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log
2x ? 3
1 2

5.已知 cos(

?

+x)=

3

,(

17 ?

<x<

7?

),求

sin 2 x ? 2 sin

x

4 x ? 10

的最小值,并求取得最小值时 x 的值.

参考答案 难点磁场 解 法 一 : ∵ β )=
2

? 2

< β
5 13

< α



3? 4

, ∴ 0 < α
2

- β
4 5



? 4

. π < α

+ β



3? 4

, ∴ sin( α



1 ? cos (? ? ? ) ?

, cos( ? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ?
5 13 ? (? 4 5
72 65

. ∴ sin2 α =sin [ ( α - β )+( α + β ) ] =sin( α -
. 。解法二:∵sin(α -β )=
40 65

β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β ) ?

)?

12 13

? (?

3 5

)??

56 65

5 13

,cos(α +β )=-

4 5

,

∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- ∴sin2α = 难点训练
1 2 (? 72 65 ? 40 65 )? ? 56 65

sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=-

一、 1.解析: a>1, ∵ tanα +tanβ =-4a<0。 tanα +tanβ =3a+1>0,又α 、 ∈(- β

? 2

,

? 2

)∴α 、 ∈(- β
2 tan ? ??

? 2

,θ ),则

? ? ?
2

∈ ( -

? 2

,0), 又 tan( α + β )=
? ?? 2

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
? ?? 2

?

? 4a 1 ? ( 3 a ? 1)

?

4 3

, 又 tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan
2

4 2 ? , 整 理 得 ? ?? 3 2

? ??

2tan

2

? 3 tan

?2

2

=0.解得 tan

=-2.答案:B

3

3.解析:α ∈(
? sin( ? ? ? 4 )? 4 5

3 ? 3? ? ? ? , ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= . 5 4 4 4 2 4
? 4 ? 4 )? ( ). ? 3? 4 3? 4 ? ?) ? ? 2 ? ??( 3? 4 ] , ? ). sin( 3? 4 ? ?) ? 5 13 ,? cos( 3? 4 ? ?) ? ? 12 13 .

, ? ? (0,

? sin( ? ? ? ) ? sin[( ? ? ? ? cos[( ? ? ? ? cos( ? ? ? 4 ? 4 即 sin( ? ? ? ) ? 56 65 ) ? cos( )? ( 3? 4 3? 4

答案:

56 65

? ? )] ? ? ) ? sin( ? ? ? 4 ) ? sin( 3? 4 ? ?) ? ? 3 5 ? (? 12 13 )? 4 5 ? 5 13 ? 56 65 .

5 . 解 :? cos(

?
4

? x) ? 7 4
2

3 5 5? 3

,? sin 2 x ? ? cos 2 ( ? x?

?
4

? x) ?

7 25

. 4 5

三、4.答案:2 又

17 ? 12

? x ?

? ,?
?

?
4

? 2 ? ,? sin( x ?
2

?
4

)? ?

sin 2 x ? 2 sin 1 ? tan x

x

2 sin x cos x ? 2 sin 1? sin x cos x 4 5 3 5

x

?

2 sin x (sin x ? cos x ) cos x cos x ? sin x

sin 2 x sin( ? cos(

?
4

? x)

7 ? 25

? (?

) ?

28 75

?
4

? x)

7.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),则 |PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ .联立解之得 Q(
3 3 3 3

sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ -
3 3

sin θ 。 于 是 SPQRS=sin θ (cos θ - )=
3 3

3 3

sin θ )=
3 3

3 3

(
? 6

3 sin θ cos θ - sin2 θ )=

(
? 6

3 2

sin2 θ - π .∴
1 2
3 1 , ). 2 2

1 ? cos 2 ? 2 ? 6

(

3 2

sin2θ +
? 6

1 2

cos2θ -

1 2

)=

sin(2θ +

)-
3 6

3 6

.∵0<θ <
? 6

? 3

,∴

? 6

<2θ +



5 6



sin(2θ +

)≤1.∴sin(2θ +

)=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是
2 2 2

,此时,θ =
2

,点 P 为

的中点,P(

2 8.解:设 u=sinα +cosβ .则 u +( 3 ) =(sinα +cosβ ) +(cosα +sinβ ) =2+2sin(α +β )≤4.∴u ≤1,-1≤u≤1.即 D=[-

1,1



,


?M ?

t=
2x ? 3 4 x ? 10 ? 2t t
2

2x ? 3
? 4 ? 1 2t ? 4 t

,
? 1 4 2 2 8
0 .5


? 2 8 .



1



x



1,



1



t



5 .x=

t

2

?3 2

.

当且仅当 2 t ? ? y min ? log

4 t

,即 t ? 2 ? log

2时 , M

max

?

. ? y ? log 5 2

0 .5

M 在 M ? 0时是减函数 2x ? 3 ?

, 1 2

0 .5

8

0 .5

2 ? log

8?

时 , 此时 t ?

2,

2,x ? ?

.

[提高训练 C 组] 一、选择题 5
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已知 sin ? ? sin ? ,那么下列命题成立的是( A B C D
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若 ? , ? 是第一象限角,则 cos ? ? cos ? 若 ? , ? 是第二象限角,则 tan ? ? tan ? 若 ? , ? 是第三象限角,则 cos ? ? cos ? 若 ? , ? 是第四象限角,则 tan ? ? tan ?

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二、填空题

1

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已知角 ? 的终边与函数 5 x ? 12 y ? 0 , ( x ? 0 ) 决定的函数图象重合, cos ? ?

1 tan ?

?

1 sin ?

的值为_________

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2 4

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若 ? 是第三象限的角, ? 是第二象限的角,则

? ??

是第

象限的角

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2 如果 tan ? sin ? ? 0 , 且 0 ? sin ? ? cos ? ? 1, 那么 ? 的终边在第
4

象限

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5

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若集合 A ? ? x | k ? ?

? ?

?

? ? x ? k ? ? ? , k ? Z ? , B ? ? x | ? 2 ? x ? 2 ? ,则 A ? B =_______________________ 3 ?

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三、解答题 1
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角 ? 的终边上的点 P 与 A ( a , b ) 关于 x 轴对称 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,角 ? 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y ? x 对称,求
sin ? cos ? ? tan ? tan ? ? 1 cos ? sin ?



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3

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6 6 求 1 ? sin ? ? co s ? 的值

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1 ? sin ? ? co s ?
4 4

参考答案 一、选择题 5 D 画出单位圆中的三角函数线 二、填空题
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1 2 4

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?

77 13

在角 ? 的终边上取点 P ( ? 1 2, 5), r ? 1 3, co s ? ? ?
2 k 1? ? ? ? ? ? 2 k 1? ? 3? 2 , ( k 1 ? Z ), 2 k 2? ?

12 13

, tan ? ? ?

5 12

, sin ? ?
?
4

5 13
?

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一、或三 二

?
2

? 2? ? 2 k 2? ? ? , ( k 2 ? Z ), ( k 1 ? k 2 ) ? ?

? ??
2

? ( k 1 ? k 2 )? ?

?
2

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特级教师 王新敞
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tan ? sin ? ?

sin ?
2

co s ?
?b a ?b
2 2

? 0, co s ? ? 0, sin ? ? 0

三、解答题 1
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解: P ( a , ? b ), sin ?
? sin ? co s ? ? tan ? tan ?

?

, co s ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ? ?
2 2

b a

Q ( b , a ), sin ? ?

a a ?b
2 2

, co s ? ?

b a ?b
2 2

, tan ? ?

a b

?

1 co s ? sin ?

? ?1 ?

b a

2 2

?

a ?b a
2

? 0

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3

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6 6 2 2 4 2 2 4 解: 1 ? sin ? ? co s ? ? 1 ? (sin ? ? co s ? )(sin ? ? sin ? co s ? ? co s ? ) 4 4 2 2

1 ? sin ? ? co s ?

1 ? (1 ? 2 sin ? co s ? )

?

1 ? (1 ? 3 sin ? co s ? )
2 2

1 ? (1 ? 2 sin ? co s ? )
2 2

?

3 2

【练习】 一 1 、 A. 函 数 [ - 1 ,

、 的 1] B.[-2,2] 值

选 域 是 C. [0,2] (

择 ) D.[0,1]

5











3 、 已 知 f ( x ) = asinx - bcosx 且 x =

为 f(x)的一条对称轴,则 a:b 的值为

.

4 、 若函 数 答 一 1、选 B. 、 案 选 与 择 解 题 析 :

,当 x≥0 时,-2≤2sinx≤2 即-2≤y≤2;当 x<0 时,y=0 包含于[-2,2].于是可知所求函数

值域为[-2,2],故应选 B.

5、选 C.解析:由 f(x)在区间[-



]上递增及 f(x)为奇函数,知 f(x)在区间[-



]































f



x











期. 5

,应选











3、答案:a:b=-1。解析:由题设得

,又 x=

为 f(x)的一条对称轴,∴

当 x=

时 f(x) 取 得 最 值 , ∴

即 , ∴ a:b= - 1 。

4、答案:

,解析:

,∴由

① , 注 意 到

,由①得:

②,再注意到当且仅当

于 是 由 ② 及



6


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