当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2006年高考试题与答案-全国卷1数学理


2006 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
第I卷
一.选择题 (1)设集合 M ? {x | x 2 ? x ? 0}, N ? {x || x |? 2} ,则 (A) M ? N ? ? (C) M ? N ? M ( B) M ? N ? M (D) M ? N ? R

(2)已知函数 y ? e x

的图像与函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 (A) f (2x) ? e 2 x ( x ? R) (C) f (2 x) ? 2e x ( x ? R) (B) f (2 x) ? ln 2 · ln x ( x ? 0 ) (D) f (2 x) ? ln x ? ln 2 ( x ? 0 )

(3)双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m= (A) ?

1 4

(B)-4

(C)4

(D)

1 4

(4)如果复数 (m 2 ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m= (A)1 (5)函数 f ( x) ? tan( x ? (A) (k? ? (B)-1 ( C) 2 (D)- 2

?

), k ? Z 2 2 3? ? , k? ? ), k ? Z (C) ( k? ? 4 4

?

, k? ?

?

4

) 的单调增区间为
(B) (k? , (k ? 1)? ), k ? Z (D) ( k? ?

?
4

, k? ?

3? ), k ? Z 4

(6) △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 若 a、 b、 c 成等比数列, 且 c ? 2a, 则 cos B ?

(A)

1 4

(B)

3 4

( C)

2 4

(D)

2 3

(7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 (A)16 ? (B)20 ? (C)24 ? (D)32 ? (8)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

(A)

4 3

(B)

7 5

( C)

8 5

(D)3

(9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0. 如果平面向量 b1、b2、b3 满足

| bi |? 2 | ai |, 且ai 顺时针旋转 30°后与 bi 同向,其中 i=1,2,3,则
(A) ? b1 ? b2 ? b3 ? 0 (C) b1 ? b2 ? b3 ? 0 (B) b1 ? b2 ? b3 ? 0 (D) b1 ? b2 ? b3 ? 0

(10)设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2 a3 =80,则

a11 ? a12 ? a13 =
(A)120 (B)105 (C)90 (D)75 (11)用长度分别为 2、3、4、5、6(单位:cm)的 5 根细木棒围成一个三角形(允许连接, 但 不允许折断) ,能够得到的三角形的最大面积为 (A) 8 5 cm2 (C) 3 55 cm2 (B) 6 10 cm2 (D)20cm2

(12)设集合 I ? {1,2,3,4,5} ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中 最大的数,则不同的选择方法共有 (A)50 种 (B)49 种

(C)48 种

(D)47 种

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在横线上. (13)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等 于 .

(14)设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x、y 满足下列条件

?2 x ? y ? ?1, ? ? ? ?3x ? 2 y ? 23, ? ? ? ? y ? 1,
则 z 的最大值为 .

(15)安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不 安排在 5 月 1 日和 2 日. 不同的安排方法共有 ( 16 ) 设 函 数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ). 种.(用数字作答) 若 f ( x) ? f ?( x) 是 奇 函 数 , 则

?=

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) △ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 求出这个最大值.

B?C 取得最大值,并 2

(18) (本小题满分 12) A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由 4 只 小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效. 若在一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效 的概率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求 ? 的分布列和数 学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图, l1 、 l 2 是相互垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 l1 上,C 在

l 2 上,AM = MB = MN.
(Ⅰ)证明 AC ? NB ; (Ⅱ)若 ?ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
?

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 (0,? 3 ) 和 F2 (0, 3) 为焦点、离心率为 的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的交点 分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB . 求:

3 2

(Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)| OM |的最小值. (21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? x e ? ax . 1? x (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1 ,求 a 的取值范围. (22) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项的和 4 1 2 S n ? a n ? ? 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3, ? 3 3 3 (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?
n 3 2n , n ? 1,2,3,?, 证明: ? Ti ? . 2 Sn i ?1

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
一.选择题 (1)B (7)C 二.填空题 (13) (2)D (8)A (3)A (9)D (4)B (10)B (5)C (11)B (6)B (12)B

?
3

(14)11

(15)2400
B?C ? A ? ? , 2 2 2

(16)

? 6

三.解答题 (17)解:由 A ? B ? C ? ? , 得 所以有

cos

B?C A ? sin . 2 2

cos A ? 2 cos

B?C A ? cos A ? 2 sin 2 2
? 1 ? 2 sin 2 A A ? 2 sin 2 2

? ?2(sin

A 1 2 3 ? ) ? . 2 2 2

当 sin

A 1 ? B?C 3 ? , 即A ? 时, cos A ? 2 cos 取得最大值 . 2 2 3 2 2

(18 分)解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只” ,i= 0,1,2, B1 表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只” ,i= 0,1,2,

依题意有

1 2 4 2 2 4 P( A1 ) ? 2 ? ? ? , P( A2 ) ? ? ? . 3 3 9 3 3 9 1 1 1 1 1 1 P( B0 ) ? ? ? . P( B1 ) ? 2 ? ? ? . 2 2 4 2 2 2
所求的概率为 P = P(B0·A1)+ P(B0·A2)+ P(B1·A2) =

1 4 1 4 1 4 ? ? ? ? ? 4 9 4 9 2 9 4 ? . 9
4 ) 9

(Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3 且ξ ~B(3,

5 125 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? , 9 729 4 5 100 1 P (? ? 1) ? C 3 ? ? ( )2 ? , 9 9 243 4 5 80 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? , 9 9 243 4 64 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? . 9 729
ξ 的分布列为 ξ p 0 1 2 3

125 729 4 4 ? . 9 3

100 243

80 243

64 729

数学期望 E? ? 3 ?

(19)解法: (Ⅰ)由已知 l2⊥MN,l2⊥l1,MN ? l1 = M, 可得 l2⊥平面 ABN. 由已知 MN⊥l1,AM = MB = MN, 可知 AN = NB 且 AN⊥NB 又 AN 为 AC 在平面 ABN 内的射影, ∴ AC⊥NB (Ⅱ)∵ Rt △CAN = Rt △CNB, ∴ AC = BC,又已知∠ACB = 60°, 因此△ABC 为正三角形。 ∵ Rt △ANB = Rt △CNB。 ∴ NC = NA = NB,因此 N 在平面 ABC 内的射影 H 是正三角形 ABC 的中心,连结 BH,∠ NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角。 在 Rt △NHB 中, cos?NBH ?

HB ? NB

3 3 2 2

AB AB

?

6 . 3

解法二: 如图,建立空间直角坐标系 M-xyz, 令 MN = 1, 则有 A(-1,0,0) ,B(1,0,0) ,N(0,1,0) 。 (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线,l2⊥l1, ∴l2⊥ 平面 ABN, ∴l2 平行于 z 轴, 故可设 C(0,1,m) 于是 AC ? (1,1, m), NB ? (1,?1,0),

? AC ? NB ? 1 ? (?1) ? 0 ? 0,
∴AC⊥NB. (Ⅱ)? AC ? (1,1, m), BC ? (?1,1, m).? | AC |?| BC | . 又已知∠ABC = 60°,∴△ABC 为正三角形,AC = BC = AB = 2. 在 Rt △CNB 中,NB = 2 ,可得 NC = 2 ,故 C ? (0,1, 2 ). 连结 MC,作 NH⊥MC 于 H,设 H(0,λ , 2? ) (λ > 0).

? HN ? (0,1 ? ?,? 2?), MC ? (0,1, 2 ).
1 ? HN ? MC ? 1 ? ? ? 2? ? 0, ? ? ? . 3
1 2 2 2 1 2 ? H (0, , ),可得HN ? (0, ,? ), 连结BH , 则BH ? (?1, , ). 3 3 3 3 3 3

? HN ? BH ? 0 ?

2 2 ? ? 0, ? HN ? BH , 又MC ? BH ? H , 9 9

∴HN ⊥平面 ABC,∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角. 又 BN ? (?1,1,0).

? cos?NBH ?
(20)解:

BH ? BN | BH || BN |

?

4 3 2 3

? 2

?

6 . 3

(Ⅰ)椭圆的方程可写为

y2 x2 ? ? 1, a2 b2

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 式中 a ? b ? 0, 且? 3 3 ? ? 2 ? a
得 a ? 4, b ? 1 ,所以曲线 C 的方程为
2 2

x2 ?

y2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0) 4

y ? 2 1 ? x 2 (0 ? x ? 1), y? ? ? 2x 1? x2
2

设 P( x0 , y0 ) ,因 P 在 C 上,有 0 ? x0 ? 1, y 0 ? 2 1 ? x0 , y ? | x ? x0 ? ?

4 x0 ,得切线 AB y0

的方程为

y?

4 x0 ( x ? x0 ) ? y 0 . y0

设 A(x,0)和 B(0,y) ,由切线方程得

x?

1 4 ,y ? . x0 y0

由 OM ? OA ? OB 的 M 的坐标为(x,y) ,由 x0 , y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方 程为

1 4 ? 2 ? 1( x ? 1, y ? 2). 2 x y
(Ⅱ)∵ | OM |2 ? x 2 ? y 2

y2 ?

4 1? 1 x2
2

? 4?

4 x ?1
2

∴ | OM | ? x ? 1 ?
2

4 ?5? 4?5?9 x ?1
2

且当 x ? 1 ?
2

4 , 即x ? 3 ? 1 时,上式取等号, x ?1
2

故 OM 的最小值为 3。 (21)解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??,1) ? (1,??). 对f ( x) 求导数得

f ?( x) ?

ax2 ? 2 ? a ?ax e (1 ? x) 2
2x e ?2 x , f ?( x)在(??,0), (0,1)和(1,+∞)均大于 0, (1 ? x) 2

(i)当 a=2 时, f ?( x) ?

所以 f ( x)在(??,1), (1,??) 为增函数。

(ii)当 0 ? a ? 2时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在(-∞,1) , (1,+∞)为增函数。 (iii)当 a ? 2时,0 ?

a?2 ? 1. a

令 f ?( x) ? 0, 解得x1 ? ?

a?2 , x2 ? a

a?2 a

当 x 变化时, f ?( x)和f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(??,?
+

a?2 ) a

(?

a?2 a?2 , ) a a
- ↘

(

a?2 ,1) a
+ ↗

(1,+∞)

+ ↗



f ( x)在(??,?

a?2 a?2 ), ( ,1), (1,+∞)为增函数, a a

f ( x)在(?

a?2 a?2 , ) 为减函数。 a a
f ( x) ? f (0) ? 1. f ( x) ? f (0) ? 1.

(Ⅱ) (i)当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅰ)知:对任意 x ? (0,1) 恒有 (ii)当 a ? 2 时,取 x0 ?

1 a?2 ? (0,1) ,则由(Ⅰ)知 2 a

(iii)当 a ? 0 时,对任意 x ? (0,1) ,恒有

1? x ? 1且e ? ax ? 1 ,得 1? x

f ( x) ?

1 ? x ? ax 1 ? x e ? ? 1. 1? x 1? x

综上当且仅当 a ? (??,2] 时,对任意 x ? (0,1) 恒有 f ( x) ? 1. (22)解: (Ⅰ)由 S n ? 得 所以

4 1 2 a n ? ? 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3, ? 3 3 3 4 1 2 a1 ? S1 ? a1 ? ? 4 ? 3 3 3
a1=2



再由①有

S n ?1 ?

将①和②相减得 整理得

4 1 2 a n ?1 ? ? 2 n ? , n ? 2,3, ? ② 3 3 3 4 1 a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? a n ?1 ) ? ? (2 n ?1 ? 2 n ), n ? 2,3, ? 3 3

an ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 ), n ? 2,3,? ,

因而数列 {an ? 2 n } 是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即

an ? 2 n ? 4 ? 4 n?1 ? 4 n ,n=1,2,3,?,
因而

an ? 4 n ? 2 n ,

n=1,2,3,?,

(Ⅱ)将 an ? 4 n ? 2 n 代入①得

Sn ?

4 1 2 ? (4 n ? 2 n ) ? ? 2 n ?1 ? 3 3 3 1 ? ? (2 n ?1 ? 1)(2 n ?1 ? 2) 3 2 ? ? (2 n ?1 ? 1)(2 n ?1 ? 1) 3 2n Tn ? Sn

3 2n ? n ?1 2 (2 ? 1) ? (2 n ? 1) 3 1 1 ? ?( n ? n ?1 ) 2 2 ?1 2 ?1 ?
所以,

?Ti ?
i ?1

n

3 n 1 1 ( i ? i ?1 ) ? 2 i ?1 2 ? 1 2 ? 1

3 1 1 ?( i ? n ?1 ) 2 2 ?1 2 ?1 3 ? . 2 ?


相关文章:
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理。2006年的高考全国卷理科试题,汇总到了一起,可以进入我的文库进行下载,祝即将参加高考的学生们都能取得好成绩!2006...
2006年高考试题——数学理(全国卷1)原卷及答案
2006年高考试题——数学理(全国卷1)原卷及答案_高考_高中教育_教育专区。高考数学真题集合 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷分第 I 卷(选择...
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理 隐藏>> 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷分第 I 卷(选择题)第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 ...
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理
2006年高考试题与答案-全国卷1数学理_高中教育_教育专区。2006 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学第I卷一.选择题 (1)设集合 M ? {x | x 2 ?...
2006高考理科数学试卷及答案全国1
2006高考理科数学试卷答案全国1_数学_高中教育_教育专区。2006 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(全国卷Ⅰ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...
2006年高考试题与答案-全国卷2数学理
2006年高考试题与答案-全国卷2数学理_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 ...第Ⅰ卷 1 至 2 页,第 Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡...
2006-2010高考理科数学试卷及答案全国1
2006-2010高考理科数学试卷答案全国1 隐藏>> 五年高考理科数学 2006——2010(全国卷 1) 2006 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)一.选择题 (1...
2007年高考理科数学试题及答案(全国卷1)
2007年高考理科数学试题答案(全国卷1)_高考_高中教育_教育专区。2007 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 I) 数学(理科)试卷(河北 河南 山西 广西) 本...
2015年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版
2015年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版_高考_高中教育_教育专区。文档贡献者 廖磊842 贡献于2015-06-18 1/2 相关文档推荐 2011年高考试题——数学... 22...
2006年高考理科数学试题及答案(全国卷2)
2006 高考理科数学试题全国 II 卷 高考理科 理科数学试题全国理科试题试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试...
更多相关标签:
2006年高考语文全国卷 | 2006高考英语全国卷1 | 2006高考数学全国卷 | 2006年高考数学全国卷 | 2006高考语文全国卷 | 2006高考英语全国卷2 | 2006年高考英语全国卷 | 2006高考语文全国卷1 |