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半角的正弦、余弦和正切


一、选择题 1.下列各式与 tan α 相等的是( A. 1-cos 2α 1+cos 2α ) B. sin α 1+cos α

sin α C. 1-cos 2α

1-cos 2α D. sin 2α

1-cos 2α 2sin2α sin α 【解析】 sin 2α =2sin αcos α=cos α=ta

n α. 【答案】 D 1 2.若函数 f(x)=sin 2x-2(x∈R),则 f(x)是( π A.最小正周期为2的奇函数 B.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 1 【解析】 y=sin 2x-2 1-cos 2x 1 = -2 2 1 =-2cos 2x, ∴函数是最小正周期为 π 的偶函数. 【答案】 D 1 5π θ 3.如果|cos θ|=5, 2 <θ<3π,那么 sin2的值等于( 10 A.- 5 15 C.- 5 【解析】 10 B. 5 15 D. 5 1 5π 1 5π θ 3π |cos θ|=5, 2 <θ<3π,θ 为第二象限的角,则 cos θ=-5,又 4 <2< 2 , ) )

θ θ 2为第三象限的角,则 sin2=- 【答案】 C

1-cos θ =- 2

1 1+5

15 2 =- 5 .

3 7 θ 4.已知 sin θ=-5,3π<θ<2π,则 tan 2的值为( A.3 1 C.3 B.-3 1 D.-3

)

7 3 【解析】 ∵3π<θ<2π,sin θ=-5, ∴cos θ=- 3 4 3 1-?-5?2=-5,∴tan θ=4.

7 3 θ 7 ∵3π<θ<2π,∴2π<2<4π, θ 2tan 2 3 又 tan θ= =4, θ 1-tan22 θ 1 ∴tan 2=-3 或3(舍去). 【答案】 B 1 3 5.设 a=2cos 6° - 2 sin 6° ,b=2sin 13° cos 13° ,c= A.c<b<a C.a<c<b B.a<b<c D.b<c<a 1-cos 50° ,则有( 2 )

【解析】 a=sin 30° cos 6° -cos 30° sin 6° =sin(30° -6° )=sin 24° , b=2sin 13°· cos 13° =sin 26° , c=sin 25° , π y=sin x 在[0,2]上是递增的. ∴a<c<b. 【答案】 C

二、填空题 6. 2+2cos 8+2 1-sin 8的化简结果是________. 【解析】 原式=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|.

5 ∵4π<4,∴cos 4<0,sin 4<cos 4. ∴原式=-2cos 4+2cos 4-2sin 4=-2sin 4. 【答案】 -2sin 4 θ θ 7.5π<θ<6π,cos2=a,则 sin4=________. 5π θ 3π θ 【解析】 ∵5π<θ<6π,∴ 4 <4< 2 ,∴sin4<0. θ sin 4=- 【答案】 - θ 1-cos2 2 1-a 2 1-a 2 .

=-

π π 8 . (2013· 常熟高一检测 ) 函数 y = cos2(x - 12 ) + sin2(x + 12 ) - 1 的最小正周期为 ________. π π 【解析】 y=cos2(x-12)+sin2(x+12)-1= 3 1 3 1 2 cos 2x+2sin 2x- 2 cos 2x+2sin 2x = 2 1 =2sin 2x, 2π ∴T= 2 =π. 【答案】 π 三、解答题 θ 9.设 π<θ<2π,cos 2=a,求 θ (1)sin θ 的值;(2)cos θ 的值;(3)sin24的值. π θ 【解】 (1)∵π<θ<2π,∴2<2<π, θ θ 又 cos 2=a,∴sin 2= θ 1-cos22= 1-a2, π 1+cos?2x-6? 2 π 1-cos?2x+6? 2



-1

θ θ ∴sin θ=2sin 2cos 2=2a 1-a2.

θ (2)cos θ=2cos22-1=2a2-1. θ 1-cos 2 1-a θ (3)sin24= = 2 2 . 3x 3x x x π 10.已知向量 a=(cos 2 ,sin 2 ),b=(cos 2,-sin 2),且 x∈[0,2],求:a· b 及|a+b|. 3x x 3x x 【解】 a· b=cos 2 cos 2-sin 2 sin 2=cos 2x; |a+b|= 3x x 3x x ?cos 2 +cos 2?2+?sin 2 -sin 2?2 4× 1+cos 2x =2 2 1+cos 2x 2

= 2+2cos 2x= =2|cos x|.

π ∵x∈[0,2],∴cos x≥0,∴|a+b|=2cos x. 3π 11.若 π<α< 2 ,化简 1-sin α . 1+cos α+ 1-cos α 3π π α 3π 【解】 ∵π<α< 2 ,∴2<2< 4 , α α ∴cos 2<0,sin 2>0. α α α α ?sin 2+cos 2?2 ?sin 2-cos 2?2 ∴原式= α α+ α α 2|cos 2|- 2|sin 2| 2|cos 2|+ 2|sin 2| α α α α +cos ?2 ?sin -cos ?2 2 2 2 2 = + α α α α - 2?sin 2+cos 2? 2?sin 2-cos 2? ?sin α α α α sin 2+cos 2 sin 2-cos 2 α =- + =- 2cos 2. 2 2 1+sin α + 1+cos α- 1-cos α


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