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5.6(4)(5)正弦定理、余弦定理和解斜三角形


说明: 本系列课件,经多次使用,修改,其中有部分 来自网络,它山之石可以攻玉,希望谅解。 为了一个课件,我们仔细研磨; 为了一个习题,我们精挑细选; 为了一点进步,我们竭尽全力; 没有最好,只有更好! 制作水平有限,错误难免,请多指教: 28275061@qq.com 第五章 三角比 一、扩充的正弦定理 如图:已知圆 O是?ABC的外接圆,直径为 2R. 试用R与A、B、C的三角比来表示三角形 的三边长. C 解:过B作直径BD,连CD a b B D 则?BCD为直角三角形 O c A ??D ? ?A,BD ? 2R 在Rt ?BCD中 a ? 2R a ? BD sin D ? 2R sin A sin A 扩充的正弦定理 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 扩充的正弦定理 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 变形得: a ? 2R sin A b ? 2R sin B c ? 2R sin C a sin A ? 2R b sin B ? 2R c sin C ? 2R 二、扩充正弦定理的应用 例 1、设R是?ABC的外接圆的半径, S?是?ABC abc 的面积,求证: (1)  S ? ? ; 4R 2 (2) S? ? 2R sin A sin B sin C. 1 1 c abc 证: (1) S ? ? ab sin C ? ab ? ? 2 2 2R 4R 1 1 (2) S ? ? ab sin C ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin C 2 2 ? 2 R 2 sin A sin B sin C 三角形的边角、面积和外接圆半径之间有着密切关系 例2、在?ABC中, 2 2 求证:a sin 2B ? b sin 2 A ? 2absin C. 证:a 2 sin 2B ? b 2 sin 2 A ? 2a 2 sin B cos B ? 2b 2 sin A cos A 2 2 2 2 2 2 b a ? c ? b a b ? c ? a 2 2 ? 2a ? ? ? 2b ? ? 2R 2ac 2R 2bc 2 2 2 2 2 2 a ?c ?b b ?c ?a ? ab ? ? ab ? 2 Rc 2 Rc ab 2 2 2 2 2 ? (a ? c ? b ? b ? c ? a 2 ) 2 Rc 2abc ? ? 2ab sin C 2R 例3 、 在?ABC中sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4,   求?ABC的余弦值. sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 a b c ? : : ? 2:3: 4 2R 2R 2R ? a : b : c ? 2 : 3: 4 ?可设a ? 2 x,b ? 3x,c ? 4 x( x ? 0) 2 2 2 4 x ? 16 x ? 9 x 11 ? cos ?ABC ? ? 2 ? 2x ? 4x 16 结论: sin A : sin B : sin C=a : b : c sin A ? sin B ? sin C ex1 、 在?ABC中,已知 ? 1, sin B sin C 求?A的大小. 2 2 2 a ?b ?c 2 2 2 解: ? ? 1 ? b ? c ? a ? ?bc bc 2 b ? c2 ? a2 1 ? ? cos A ? ? ? ? A ? 120 2bc

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