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带电粒子在边界磁场中的运动


带电粒子在电磁场中的运动

带电粒子在有界磁场中 的运动

带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
带电粒子的垂直进入匀强磁场中,做匀速圆周运动 1. 洛仑兹力提供向心力
2 v2 4 ? r 2 Bqv ? m ? m? r ? m 2 ? m4? 2 f 2 r ? m v? r T

2m Ek

1 2m U mv p 2. 轨道半径 r ? ? ? ? Bq Bq Bq B q
2?r 2?m ? 3. 周期 T ? v Bq
只与B和带电粒子(q,m)有关,而 与v、r无关(回旋加速器)

4. 磁感应强度

2m Ek 1 2m U mv p B? ? ? ? qr qr qr r q

5. 圆心、半径、运动时间的确定

O

利用v⊥R ⑴圆心的确定 利用弦的中垂线 两条切线夹角的平分线过圆心 a.已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和 P -q 出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线, 两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心. b.已知入射方向和出射点的位置时,可以通过入 射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其 中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心.
O

v
M
v

v

M P
v

⑵半径的计算

几何法求半径(勾股定理、三角函数) -q 向心力公式求半径(R= mv/qB)

v

圆心确定后,寻找与半径和已知量相关的直角三角形, 利用几何知识,求解圆轨迹的半径。

带电粒子在有界磁场中的运动问题,综合性 较强,解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、 圆周运动的知识,又要用到数学中的平面几何中 的圆及解析几何知识 .但只要准确地画出轨迹图, 并灵活运用几何知识和物理规律,找到已知量与 轨道半径r、周期T的关系,求出粒子在磁场中偏 转的角度或距离以及运动时间不太难。

一.带电粒子在单直线边界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入,粒子作半圆运动后垂直 原边界飞出; ②如果与磁场边界成夹角θ进入,仍以与磁场边界 夹角θ飞出(有两种轨迹,图中若两轨迹共弦,则 θ1=θ2)。
A

v
B
M

r

vr

O



2? ? 2?

B

P

v

θ

v θ

N

6.如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度
的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为 +q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O 射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴 影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是 正确的?

A

A.
O M 2R R

2R

B. 2R
O

B
R

N

M

2R

N

M
2R

O

N

C.
O
M

D.
M 2R O R 2R N

2R

2R

N

解: 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个 方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中 运动的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为 圆心、以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的 运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如 图斜线示

2R

M

2R

O

R

N

7.水平线MN的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀 强磁场,在MN线上某点O的正下方与O点相距为L的质子源S,可

在纸面内1800范围内发射质量为m、电量为e、速度v=BeL/m的
质子,质子的重力不计,试说明在MN线上多大范围内有质子 穿出。 M O N

BeL m mv m ?L r? ? eB eB

B S

O点左右距离O点L的范围内有质子穿出.

M

O B S

N

二.带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q P B P Q Q

v
S
圆心在磁场原边界上

v
圆心在过入射点跟边 界垂直的直线上

v
圆心在过入射点跟跟速度 方向垂直的直线上
①速度较小时,作圆弧 运动后从原边界飞出; ②速度增加为某临界值 时,粒子作部分圆周 运动其轨迹与另一边 界相切; ③速度较大时粒子作部 分圆周运动后从另一 边界飞出

S

S

①速度较小时,作圆 ①速度较小时,作半圆运 周运动通过射入点; 动后从原边界飞出; ②速度增加为某临界值时, ②速度增加为某临界 时,粒子作圆周运 粒子作部分圆周运动其 动其轨迹与另一边 轨迹与另一边界相切; 界相切; ③速度较大时粒子作部分 ③速度较大时粒子作 周运动后从另一边界飞 部分圆周运动后从 出 另一边界飞出

量变积累到一定程度发生质变,出现临界状态.

1.如图所示,一质子和一α粒子从a点同时以相同的动 能沿垂直于磁场边界,垂直于磁场的方向射入磁场宽 度为d的有界磁场中,并都能从磁场的右边界射出则 A、质子和α粒子同时射出 B、质子和α粒子从同一位置射出
C、质子和α粒子不同时射出 D、质子和α粒子从不同位置射出 解:先分析两者半径是否相同

·· · · v a ··· ···· ····

r1 m1 q2 1 2 2mEk p m ? ? ? ?1 r? ? ? r2 m2 q1 4 1 qB qB q 再分析两者运动时间是否相同

t?

? ? 2?m m? m T? ? ? 2? 2? qB qB q

t1 m1 q2 1 2 1 ? ? ? ? t2 m2 q1 4 1 2

2.在真空中宽d的区域内有匀强磁场B,质量为m,电量为 e, 速率为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场,入射方向与C D夹角θ,为了使电子能从磁场的另一侧边界EF射出,v应 E 满足的条件是: C A.v>eBd/m(1+sinθ) B.v>eBd/m(1+cosθ) C.v> eBd/msinθ D.v< eBd/mcosθ

v

θ D

?


O

d ? r (1 ? cos? )
v2 ? qvB ? m r

B

F

思考:能从EF射出,求电子在磁 场中运动的最长时间是多长?

eBr eB d ?v ? ? m m (1 ? cos? )

? ? ? 2?m (? ? ? )m t? ? 2? eB eB

3.如图所示,相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面 的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入,已知 粒子速率一定,射入时速度方向与OM间夹角的范围为0<θ<90?, 不计粒子的重力,则: (1).θ越大,粒子在磁场中运动的时间? (2).θ越大,粒子在磁场中运动的路径? (3)θ越大,粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离?
M

P

θ v0
O N Q

四.带电粒子在矩形边界磁场中的运动

v
o

B

d
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出;② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出;③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。

①速度较小时粒子做部分圆周运动 后从原边界飞出;②速度在某一范 围内从上侧面边界飞;③速度较大 时粒子做部分圆周运动从右侧面边 界飞出;④速度更大时粒子做部分 圆周运动从下侧面边界飞出。 量变积累到一定程度发生质变,出现临界状态(轨迹与边界相切)

θ v a

B

圆心在 过入射 点跟速 c 度方向 垂直的 直线上

b

矩形边界分析半径的两种常见思路
[例2]如图所示,在正方形空腔的范围内,有方向垂直纸面向里的 匀强磁场.电子从孔A沿平行于ab边的方向,以各种不同的速率 射入磁场.现在比较两个电子的速率.其中一个打在bc边的中点 M,设其速率为V1;另一个从c孔穿出,设其速率为V2,则 4 :5 V1:V2=_______

N

N

O

O

2、空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,图中的正方形 为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的 方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷,它们的电荷量、质 量均不同,但其比荷相同,且都包含不同速率的粒子。不计 重力。下列说法正确的是 A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B. 入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C.在磁场中运动时间相同的粒子,其运动轨迹一定相同 D.在磁场中运动时间越长的粒子,其轨迹所对的圆心角一定 越大

O

t?

?
360

BD

T

相同比荷的粒子在相同的 磁场中具有相同的周期。

3、穿过无限大双边界磁场: [例3]如图,磁场垂直纸面向里,磁感应强度大小为B,磁场上下边 界间距为2L,左右无边界。有一正离子(m,q)以θ 角从正中射 入磁场,若离子不从上边界射出磁场,求离子射入磁场时速度的范 围。

自己作图的时候,可以先作圆,后作边界。

4、如图所示,一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸 面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场,在ad边中点O方向 垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300 、大小为v0的带 电粒子,已知粒子质量为m、电量为q,ab边足够长,ad边 长为L,粒子的重力不计。求:粒子能从ab边上射出磁场的 v0大小范围。

a
O

b
V0

d

c

L ? r1 (1 ? sin 30 0 ) 2

L r1 ? 3

qBr1 qBL v1 ? ? m 3m

a




b

r2 ? L
qBr2 qBL v2 ? ? m m

600

O

300

θ d

V
0

c

qBL qBL ?v? 3m m

五.带电粒子在圆形边界磁场中的运动
O’

r
v

r r v
?

2?

r
?
B
O

v
2?

v

O

B

入射速度方向指向匀 强磁场区域圆的圆心, 刚出射时速度方向的 反向延长线必过该区 域圆的圆心.

1.圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场,磁感强 度为B,现有一电量为q、质量为m的正离子从a点沿圆形区域 的直径射入,设正离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹 角为600,求此离子在磁场区域内飞行的时间及射出的位置。 O’

y

v
y P(x y)

600 1 2?m ?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB
1 x ? R cos 60 ? R 2
0

v

O

? o
B

x

3 y ? R sin 60 ? R 2 x
0

P(

1 3 R, R) 2 2

2.在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场.从磁场边缘A点 沿半径方向射人一束速率不同的质子,对这些质子在磁场中的 运动情况的分析中,正确的是: A.运动时间越长的,在磁场中通过的距离越长 B.运动时间越短的,其速率越大 BC C.磁场中偏转角越小的,运动时间越短 D.所有质子在磁场中的运动时间都相等

v0

O4

T?

2?m ?k qB

A

?
B

O3 O2 O1

半径越大,偏向角θ越小. 圆心角等于偏向角θ ? t? T ?? 2?

mv r? ?v qB

3.在直角坐标系xOy中,有一半径为R的圆形磁场区域,磁感强 度为B,磁场方向垂直xOy平面指向纸内,该区域的圆心坐标为 (R,0)。如图所示,有一个质量为m、带电量为-q的离子, 由静止经匀强电场加速后从点(0,R/2)沿x轴正方向射入磁 场,离子从射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离,不计重 力影响。求: ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速电场 的加速电压。

60 1 2?m ?m t? T? ? 0 360 6 qB 3qB
0

y
R/2 ?
·

B
? O 1

r ? 2R 2 2 1 2 qU ? mv U ? 2qB R 2 m

qBr 2qBR v? ? m m

O

R

x

r
600 O2

r

4、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向 为垂直于纸面向里的匀强磁场,与区域边缘的最短距离为L的 O'处有一竖直放置的荧屏MN,今有一质量为m的电子以速率v 从左侧沿OO'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上 之P点,如图所示,求O'P的长度和电子通过磁场所用的时间
M
L

v

A



B

?
B P

O '

N

2 tan( ) A 2eBrm v 2 tan? ? ? 2 2 2 2 2 m v ? e B r 2 ? 1 ? tan ( ) ? 2 R 2 2( L ? r )eBrmv O' P ? ( L ? r ) tan ? ? 2 2 2 2 2 m v ?e B r

r eBr tan( ) ? ? 2 R mv ?

?

M

L

v



B

?
B P

O'

R

N

2eBrmv ? ? arctan( 2 2 2 2 2 ) m v ?e B r
?R

O1

m 2eBrmv t? ? arctan( 2 2 2 2 2 ) v eB m v ?e B r

5.一匀磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在 以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电 粒子,由原点O开始运动,初速为v,方向沿x正方向.后来,粒子经 过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为300,P到O的距离为 L,如图所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy 平面上磁场区域的半径R. 300 y 2 解:

v L ? 3r qvB ? m r m v 3m v ?B ? ? qr qL
0

P L r r A vR

0

3 R ? 2r cos30 ? L 3

5.如图所示,一个质量为m、电量为q的正离子,在小孔S处 正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存 在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。要使 带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出,求正离子在 磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量 损失,不计粒子的重力。 解:粒子经过与圆筒发生n(n=2,3,4……) 次与圆筒碰撞从原孔射出,其在圆筒磁场 中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧,

B
R
O . v
0
·

2? 每段圆弧的圆心角为 ? ? ? ? (n ? 1)
正离子在磁场中运动的时间

2? ?? ? (n ? 1) 2?m (n ? 1)?m t ? (n ? 1) T ? (n ? 1) ? 2? 2? qB qB

S

n?2

r ? R tan

?
R

B

n ?1 2? ? ?? ? (n ? 1)

r
O’

O . v
0
·

?

r

2? ?总 ? (n ? 1)(? ? ) ? (n ? 1)? n ?1

S

t?

?总r
v

?

(n ? 1)?R tan v

?
n ?1
n?2

6.如图所示,在半径为R的圆筒内有匀强磁场,质量为m、 带电量为q的正离子在小孔S处,以速度v0向着圆心射入,施 加的磁感应强度为多大,此粒子才能在最短的时间内从原孔射 出?(设相碰时电量和动能均无损失)

解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒 碰撞从原孔射出,其运动轨迹具 有对称性.当发生最少碰撞次数 n=2时

B
R

r
O’

O . v
0
·

r r ? R cot30 ? 3R 2 m v0 m v0 v B? ? qvB ? m qr 3qR r 1 ?m 3?R t ? 3? T ? ? 6 qB v0
0

? ? 60

0

?

S

当发生碰撞次数n=3时

? ? 90
r' ? R

0

B

R

v qvB ? m r

2

m v0 m v0 B' ? ? qr' qR

r
O’

O . v
0
·

r

S

1 2?m 2?R t' ? 4 ? T ' ? ? ?t 4 qB' v0
可见发生碰撞次数越多,所用时间越长,故当n=2时所用 时间最短

r ? R cot300 ? 3R
v qv0 B ? m r m v0 m v0 B? ? rq 3Rq
2?m 2 3?R T? ? qB v0
1 1 2 3?R 3?R t ? 3? T ? ? 6 2 v0 v0
2 0

B
R

r
O’

O . v
0
·

?

r

S

思考:求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间.

7.一带电质点,质量为m,电量为q,重力忽略不计,以平行于ox 轴的速度v从y轴上的a点射入.如图中第一象限所示的区域。为 了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox的速度射出,可在适当的 地方加一垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场 仅分布在一个圆形区域内,求这圆形磁场区域的最小半径.

v qvB ? m r
mv r? qB

2

y

a
O

v
b
O’

x

2r 2m v R? ? 2 2qB

v


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