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2011年高考全国新课标1卷理科数学试卷


DB

2011 年高考全国新课标 1 卷理科数学试卷
第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)复数

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i

) (C) ?i (D) i

(A) ? i

>3 5

(B) i

3 5

(0, +?) (2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是( )
(A) y ? x
3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( ) (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位 同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2? =( )
(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如左图所示,则相应的侧视图可以为( )

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(7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点,

AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为(
(A) 2 (B) 3
5

) (D)3 )

(C)2

a ?? 1? ? (8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x ?? x? ?
(A)-40 (9)由曲线 y ? (A) (B)-20 (C)20 (D)40 (

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(B)4 (C)



10 3

16 3

(D)6 ( )

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?
( (C) P2 , P 3 (D) P2 , P4 )

( 11 )设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且
( )

f (? x) ? f ( x),则
(A) f ( x ) 在 ? 0,

? ?

??

? 单调递减 2?

(B) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

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(C) f ( x ) 在 ? 0, (12) 函数 y ? 于( ) (A)2

? ?

??

? 单调递增 2?

(D) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递增 ?

1 的图像与函数 y ? 2sin? x (? 2 ? x ? 4)的图像所有交点的横坐标之和等 1-x

(B) 4

(C) 6 第Ⅱ卷

(D)8

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 C 的方程为 。过 F 1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 2



(15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱 锥 O ? ABCD 的体积为 。 的最大值为 。

B ?2 B C (16) 在 V ABC 中,B ? 60 , AC ? 3 , 则A

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

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(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值 大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验, 各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

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(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率)

(20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,-1), B 点在直线 y = -3 上, M 点满足 MB / /OA ,

uuu r

uur

uuu r uu u r uuu r uu r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

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(21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1 处 ) )的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做 答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 m、AC 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆;

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(Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

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参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) (1)C (7)B (2)B (8)D (3)B (9)C (4)A (10)A (5)B (11)A (6)D (12)D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13)-6 三、解答题 (17)解: (本小题满分 12 分)
2 2 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4
2

(14)

x2 y 2 ? ?1 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

1 。 9

1 。…………………………………………………………3 分 3 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n 。……………………………………………………5 分 3
由条件可知 a>0,故 q ? (Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2


…………………………………………………………8 分

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

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1 1 1 1 1 1 1 1 2n ………………11 分 ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 ………………………………………………………12 分 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(18)解: (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD…………………………………………………………3 分 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD…………………………………………………………5 分 解法二: 取 AB 中点为 E, 连接 DE, 因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 故 AD=AE, ADE 是 等 腰 三 角 形 , ∵ AE=EB=DE, ∴ ?AED ? ?EBD ? ?BDE ? 2?EBD ? 60 , 即
0

?ADB ? 900 ,故 BD ? AD
又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD…………………………………………………………5 分 (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间 直角坐标系 D- xyz ,则 A ?1,0,0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。

?

? ?

?

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0) …………………………………………7 分 uu u r ? ?n ? AB ? 0, 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 ? uur ? ? n ? PB ? 0,


?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3) ……………………………9 分

uur ? ? m ? PB ? 0, 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? uuu r ? ?m ? BC ? 0,

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可取 m=(0,-1, ? 3 ) 11 分 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19)解(本小题满分 12 分)

cos m, n ?

?4 2 7 …………………………… ?? 7 2 7

?

2 7 …………………………………………………………12 分 7

(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。…………………………………………………………3 分 由试验结果知, 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为

32 ? 10 ? 0.42 , 所以用 B 配方 100

生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 …………………………………………………………6 分 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间

?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54,

0.42,因此

P(X=4)=0.42, ………………………8 分

X













EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68………………………………………………12 分 (20)解:(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). …………………………………………3 分 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)?(x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

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1 2 x -2. …………………………………………………………6 分 4 1 2 1 1 ' (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 l y ? y0 ? x ( x 0 ?x ) 因 此 直 线 的 方 程 为 , 即 0 2
所以曲线 C 的方程式为 y=

x0 ? 2 x

?2 y

2 0

。……………………… 9分 ?y 0? x 0
2 | 2 y0 ? x0 |

则 O 点到 l 的距离 d ?

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
2 当 x0 =0 时取等号, 所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. …………………………………………………12

分 (21)解:(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 …………………………………………………………3 分 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。………………………………………6 分

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? x
h '( x) ?
( x ? 0 ),则

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。………………………………………8 分 x2

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( I )设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0, 即 f(x)> + .…………………… x ?1 x x ?1 x

9分 ( ii )设 0<k<1.由于当 x ? (1, 而 h (1) =0, 故当 x ?(1, 10 分 (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可
'

1 ' )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0, 故 h (x)>0, 1? k

1 1 ) 时, h (x ) >0, 可得 h (x) <0,与题设矛盾。 …………… 1? k 1? x2

得 盾。

1 1? x2

h



x



<0,









…………………………………………………………11 分 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] ………………………………………………………… 12

分 (22) (本小题满分 10 分)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即 2分

AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB
因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。………………………………5 分

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.

DB



AD=2,AB=12. …………………………………………………………8 分

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点, 连接 DH,因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. 从而 HF=AG=5,DF=

1 (12-2)=5. 2

故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 …………………………………………………………10 分 (23) (本小题满分 10 分)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos a, ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin a ? ? ? ?2 ?
分 从而 C 2 的参数方程为



s ? ?x ? 4 c o a ? ? …………………3 n? ?y ? 4 ? 4 s i a

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?

………………………………………………5 分

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

,………………………………………………7 分 。………………………………………………9 分

?
3

所以 | AB |?| ?2 ? ?1 |? 2 3 . (24) (本小题满分 10 分)解:

…………………………………………………………10 分

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。………………………………………5 分

DB

(Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 …………………………………………………………10 分 2


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