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2010届上海市高三十四校联考模拟考试数学试卷


上海市 2009 年高三十四校联考模拟试卷
数学试题(理科)
一、填空题(本大题满分 60 分,共 12 小题,每小题满分 5 分)

x ?1 ? 0 的解集为 __ . x?2 3 4 2.设 sin ? ? , cos ? ? ? , 则2? 的终边所在的象限是 5 5
1.不等式

__

r />. _____ .

3.以原点为顶点,x 轴为对称轴且焦点在 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上的抛物线方程是 4.二项式 5.设 z ?

?

15

3 x ? y 展开式中所有的理系数之和为

?

15

__ __

.

1 3 ? i, 那么z ? z 2 ? z 3 ? z 4 ? z 5 ? z 6 = 2 2

_____

.

6.设 l 为平面上过点(0,1)的直线,l 的斜率等可能地取 ? 2 2 ,? 3,? 坐标原点到 l 的距离,则随机变量ξ 的数学期望 Eξ = 7.若数列 {an }满足 ________ .

5 5 ,0, , 3,2 2 , 且? 表示 2 2

2 an?1 。则“数列 {an } 是等方比 ? p( p为正常数, n ? N * ),则称{an }为“等方比数列” 2 an

数列”是“数列 {an } 是等方比数列”的

______

条件.

8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ? ,半径为 18cm 的扇形,则圆锥母线与底面所成角的余弦值 为 ___ .

4 3

9.已知 f ( x)是定义在 上的函数,且 f (1) ? 1, 对任意的x ? R 都有下列两式成立: R

f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5; f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1.若g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x, 则g (6) 的值为
10.如图,在杨辉三角中,斜线上方的数组成数列:1,3,6,10,?, 记这个数列的前 n 项和为 Sn,则 lim

_________ .

n3 = n ?? S n

______

.

11.符号 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,如[2.3]=2,

[?1.3] ? ?2, 定义函数 x} ? x ? [ x] ,那么下列命题中所有正确命题的序号为 {
① 函数 {x} 的定义域是 R; ③方程 {x} ? ② 函数 {x} 的值域为 R; ④函数 {x} 是周期函数;

____

.

3 有唯一解; 2

⑤函数 {x} 是增函数.
1

12. 矩阵的一种运算 ? ?

? a b ? ? x ? ? ax ? by? ?a b? ??? ? ? ? ? ? y ? ? cx ? dy ?, 该运算的几何意义为平面上的点 ( x, y ) 在矩阵 ? c d ? 的作 ? ? ? ?c d ? ? ? ? ? ? ? ?1 a ? ? 的作用下变换成曲线 ? ? b 1?

用下变换成点 (ax ? by, cx ? dy), 若曲线x 2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 在矩阵 ? ?

x 2 ? 2 y 2 ? 1, 则a ? b 的值为

______

.

二、选择题(本大题满分 16 分,共 4 小题,每小题满分 4 分) 13.无穷等比数列 1, A. 2 ? 2

2 1 2 , , , ?各项的和等于 2 2 4
B. 2 ?

2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

14.已知非零向量 AB与 AC满足? A.三边均不相等的三角形 C.等腰(非等边)三角形

? AB AC ? ? ? BC ? 0, 且 AB ? AC ? 1 , 则△ABC 的形状是 ? ? | AB | | AC | ? | AB | | AC | 2 ? ?
B.直角三角形 D.等边三角形

15.对任意正整数 n,定义 n 的双阶乘 n! !如下:当 n 为偶数时,

n!!? n(n ? 2)(n ? 4)?6 ? 4 ? 2;当n为奇数时 n!!? n(n ? 2)(n ? 4)?5 ? 3 ?1 ; ,
现有四个命题:

! ! ! ① (2009!)(2008!) ? 2009 , ② 2008!!? 2 ? 1004! , ③2008! !个位数为 0, ④2009! !个位数为 5
其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

16.三个半径为 1 的球互相外切,且每个球都同时与另外两个半径为 r 的球外切。如果这两个半径为 r 的 球也互相外切,则 r 的值为 A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

三、解答题(本大题满分 74 分,共 5 小题) 17. (本题满分 12 分) 如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点。 (1)求异面直线 AE 和 PB 所成角的大小; (2)求三棱锥 A—EBC 的体积.

2

18. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,已知 a ? 2 3, c ? 2,

sin C 0 cos A

sin B b 0

0 ? 2c ? 0, 求?ABC的面积S . 1

19. (本题满分 14 分) 设 m、n 为正整数,且 m ? 2, 二次函数 ? x 2 ? (3 ? mt) x ? 3mt的图象与 轴的两个交点间的距离 y x 为 d1 , 二次函数 ? ? x 2 ? (2t ? n) x ? 2nt的图像与 轴的两个交点间的距离为 y x

d 2 .如果d1 ? d 2 对一切实数 恒成立, 求m 、n 的值. t
20. (本题满分 18 分) 冬天,洁白的雪花飘落时十分漂亮。为研究雪花的形状,1904 年,瑞典数学家科克(Koch Heige Von) 把雪花理想化,得到了雪花曲线,也叫科克曲线。它的形成过程如下: (i)将正三角形(图①)的每边三等分,并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形,然后 去掉底边,得到图②; (ii)将图②的每边三等分,重复上述作图方法, 得到图③; (iii)再按上述方法无限多次继续作下去,所得到的 曲线就是雪花曲线. 将图①、图②、图③??中的图形依次记作 M1、M2、?、Mn?设 M1 的边长为 1。求: (1)写出 Mn 的边数 an 、边长 bn、周长 Ln; (2)求 Mn 的面积 Sn; (3)观察上述求解的结果,数列 {Ln }, {S n } 有怎样的特性?它们的极限是否存在? 若存在,求出极限。并归纳雪花曲线的特性. 21. (本题 20 分) 我们知道,判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别,那么直线与椭圆的位置关系 有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题. (1)设 F1、F2 是椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 L : 2x ? y ? 5 ? 0 的距离分别 25 9

为 d1、d2,试求 d1·d2 的值,并判断直线 L 与椭圆 M 的位置关系.
3

x2 y2 (2)设 F1、F2 是椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a b
L : mx ? ny ? p ? 0(m、n 不同时为 0)的距离分别为 d1、d2,且直线 L 与椭圆 M 相切,试求 d1·d2 的值.
(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件,并证明. (4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线,请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明).

数学(理)参考答案
一、填空题(本大题满分 60 分,共 12 小题,每小题满分 5 分) 1. (??,?2) ? ?1,??? 5. 2.第四象限 6. 必要不充分 10. 6 3. y 2 ? ?6 x 。 7. 2 11.①⑤ 4. 0 8.

4 7

2 3

9. 1

12. 2

二、选择题(本大题满分 16 分,共 4 小题,每小题满分 4 分) 13.B 14.D 15.C 16.D

三、解答题(本大题满分 74,共 5 小题) 17.解: (1)取 BC 的中点 F,连接 EF、AF,则 EF//PB,∠AEF 就是异面直线 AE 和 PB 所成角或其补角; ∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC,

? AF ? 3 , AE ? 2 , EF ? 2 ; 2? 2 ? 2 1 ? ?AEF ? arccos ; ???? 6分 4
所以异面直线 AE 和 PB 所成角的大小为 arccos

cos?AEF ?

2?2?3

?

1 4

1 . 4 1 1 3 3 PA ? 1, V A? EBC ? VE ? ABC ? ? 4 ?1 ? . 2 3 4 3

(2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为

b2 ? c2 ? a2 ? 0. 18. 解:由行列式得: b sin C ? 2c sin B ? cos A ? 0 ,由正、余弦定理得: bc ? 2cb ? 2bc
? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,? A ?
2

?
3

.又? a ? 2 3, c ? 2,?b ? 4 .? S ? ?

1 bc sin A ? 2 3 . 2

19. 解:设二次函数 y ? x ? (3 ? mt) x ? 3mt的图象与 轴的两个交点分别为x1 ,0), ( x2 ,0) , x (
4

二次函数 y ? ?x 2 ? (2t ? n) x ? 2nt的图像与 轴的两个交点分别为x3 ,0), ( x4 ,0) x (

则d1 ?| x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (m t ? 3) 2 ? 12m t d 2 ?| x 2 ? x 4 |? ( x3 ? x 4 ) 2 ? 4 x3 x 4 ? (n ? 2t ) 2 ? 8nt ???? 4分 ? d1 ? d 2 对一切实数t恒成立, ? (m t ? 3) 2 ? 12m t ? (n ? 2t ) 2 ? 8nt对一切实数t恒成立 即 : (m 2 ? 4)t 2 ? (6m ? 4n)t ? 9 ? n 2 ? 0对一切实数t恒立 ?m 2 ? 4 ? 0 ? ?? ????8分 ?? ? (6m ? 4n) 2 ? 4(m 2 ? 4)(9 ? n 2 ) ? 0 ? ?m 2 ? 4 ? ??? ? ????12分 ?(m n ? 6) 2 ? 0 ?
又∵m、n 为正整数,? m ? 3, n ? 2或m ? 6, n ? 1 . 20.解: (1) an ? 3 ? 4 n?1 , bn ? ( )

1 3

n ?1

, Ln ? 3 ? ( )

4 3

n ?1

.

(2)当由 M n ?1生成M n时, 每条边上多了一个面积

3 2 bn 的小等边三角形,共有 a n?1 个. 4

3 3 3 2 2 2 a n ?1bn ? S n ? 2 ? a n ?2 bn ?1 ? a n ?1bn ? ? 4 4 4 3 3 3 2 2 ? S1 ? a1b2 ? a 2 b32 ? ? ? a n ?1bn (n ? 2) 4 4 4 3 ? S1 ? 4 ? S n ? S n ?1?

? Sn ?

3 1 1 1 (1 ? 3? ( ) 2 ? 3 ? 4 ? ( ) 4 ? ? ? 3 ? 4 n ?2 ( ) 2 n ?2 ) 4 3 3 3 3 3 4 4 4 4 ? ? ( ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ) 4 4 3 9 9 9 2 3 3 3 4 n ?1 ? ? ( ) . 5 20 9
(3) {Ln }, {S n } 都是等比数列,且是单调递增的数列; {Ln } 极限不存在; {S n } 极限存在,

lim S n ?
n??

2 3 . 雪花曲线的特性是周长无限增大而面积有限的图形. 5

21.解: (1) d1 ? d 2 ?

| ?4 2 ? 5 | | 4 2 ? 5 | ? ?9; 3 3

5

? x2 y2 ?1 ? ? 消去y可得59x 2 ? 50 10x ? 100 ? 0 ; 联立方程 ? 25 9 ? 2x ? y ? 5 ? 0 ?

? ? (50 10) 2 ? 4 ? 59?100 ? 0, 所以直线L 与椭圆 M 相交.
? x2 y2 ?1 ? ? (2)联立方程组 ? a 2 b 2 , 消去 ?m x ? ny ? p ? 0 ?
y可得(a 2 m 2 ? b 2 n 2 ) x 2 ? 2a 2 m px? a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 0, (*) ???? 6分 ? ? (2a 2 m p) 2 ? 4(a 2 m 2 ? b 2 n 2 )a 2 ( p 2 ? b 2 n 2 ) ? 4a 2 b 2 n 2 (a 2 m 2 ? b 2 n 2 ? p 2 ) ? 0 即p 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n n . ????8分 因为椭圆焦点 1 (?c,0), F2 (c,0), 其中c 2 ? a 2 ? b 2 ; F | ?m c ? p | | m c ? p | | p 2 ? m 2 c 2 | ? ? m2 ? n2 m2 ? n2 m2 ? n2 | a 2m2 ? b2n2 ? m2c 2 | ? ? b 2 . ????10分 2 2 m ?n d1 ? d 2 ?
x2 y2 (3)设 F1、F2 是椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a b

L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为 ) 的距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧.那么直线 L 与椭圆 0
相交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与椭圆 M 相切的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 ;直线 L 与椭圆 M 相 离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b 2 .证明如下: 由(2)得,直线 L 与椭圆 M 相交 ? (*) ? ? 0 ? p 2 ? a 2 m 2 ? b 2 n 2 中

m2 ? n2 m2 ? n2 同理可证 : 直线L与椭圆M相离 ? d1 ? d 2 ? b 2

? d1 ? d 2 ?

? m c? p

?

m c? p

?

p 2 ? m2c 2 a 2m2 ? b2n 2 ? m2c 2 ? ? b2 ; m2 ? n2 m2 ? n2

直线L与椭圆M相切 ? d1 ? d 2 ? b 2 . ????16分
命题得证.(写出其他的充要条件仅得 2 分,未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分) (4)可以类比到双曲线:设 F1、F2 是双曲线 M :

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 F1、F2 到直线 a2 b2

L : mx ? ny ? p ? 0(m, n不同时为 ) 距离分别为 d1、d2,且 F1、F2 在直线 L 的同侧。那么直线 L 与双曲线相 0
交的充要条件为: d1 ? d 2 ? b ;直线 L 与双曲线 M 相切的充要条件为: d1 ? d 2 ? b ;直线 L 与双曲线 M
2 2

相离的充要条件为: d1 ? d 2 ? b .
2

6


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