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全国高中数学联赛江苏赛区2010年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2010 年初赛试题答案
班级 __________ 姓名 __________

一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1.方程 9 x ? |1 ? 3x |? 5 的实数解为 ________ 解:当 x ? 0 时,无解;当 x ? 0 时,原方程变形为 32 x ? 3x ? 6 ? 0 ,解得 3 x

? 2 即 x ? log 3 2 . 2.函数 y ?| sin x | ? | cos x | ( x ? R) 的单调减区间是 ________

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z . 2 4 2 2 ??? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ? 3.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 | AB |? ________ ??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? 解: AB ? AC ? AB ? BC ?| AB |2 ? 16 ,即得: | AB |? 4 .
解:与 f ( x) ? y 2 ? 1? | sin 2 x | 的单调减区间相同,即为: [ 4.函数 f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 1)2 在区间 [0, 2] 上的最大值是 ________ ,最小值是 ________ 解:求导数,列表可得:极小值 ?4 ,而端点值: f (2) ? 0 , f (0) ? ?2 ,最小值 ?4 ,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与 ?ABC 的边有公共点,其中 A (4, 0) 、
B (6, 8) 、 C (2, 4) ,则 R 的取值范围为 ________

解:画图观察,当 R 最小时,圆与直线段 AC 相切, R 最大时圆过点 B ,故 R ? [

8 5 , 10] . 5

6.设函数 f ( x) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是关于 x 的奇函数,则函数 y ? f ( x) 在区间
[0, 100] 上至少有 ________ 个零点.

解:易知: f (2k ? 1) ? 0 , k ? Z ,又可作一个函数 f ( x) 满足问题中的条件,且 f ( x) 的一个零点恰 为 x ? 2k ? 1 k ? Z ,所以至少有 50 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 ________ 解:不能有公共端点,最多 4 条,从图上知 4 条可以. 8.圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色 中的一种.其中镀 2 金 2 银的概率是 ________ 解:穷举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为
(第 7 题)

1 . 3

9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? ,

1

且 cos ? ?

10 ;已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 ________ 10

解:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144. 10. 设复数列 { xn } 满足 xn ? a ? 1, 0 , xn ?1 ? 且 解:由 xn ?1 ?
axn , 若对任意 n ? N * 都有 xn ?3 ? xn , a ? ________ 则 xn ? 1

axn axn ? 2 a 2 xn ?1 a 3 xn ? ? 2 ? xn 恒成立, ,可得: xn ? 3 ? xn ? 1 xn ? 2 ? 1 (a ? 1) xn ?1 ? 1 (a ? a ? 1) xn ? 1

即 (a2 ? a ? 1) xn ( xn ? 1 ? a) ? 0 ;因为 xn ? a ? 1 或 0,所以 a 2 ? a ? 1 ? 0 ,

1 3 所以, a ? ? ? (这里是复数,参阅选修 2-2 第三章) i. 2 2

二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : 证明:线段 AB 的中点在椭圆

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点;若 OM ? OA ? OB , 4 5 5

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2 x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 ; 4 4

解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有:

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? 3 4 3 4 由 OM ? OA ? OB ,得: M ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ; 5 5 5 5 5 5
3 4 ( x1 ? x ) 2 3 4 5 5 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ,…………………………5 分 因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 4 5 5

即(

x12 x2 3 4 3 4 xx ? y12 )( )2 ? ( 2 ? y22 )( )2 ? 2 ? ? ( 1 1 ? y1 y2 ) ? 1 ; 4 5 4 5 5 5 4

3 4 3 4 xx 即 ( )2 ? ( )2 ? 2 ? ? ( 1 1 ? y1 y2 ) ? 1 ; 5 5 5 5 4


x1 x1 ? y1 y2 ? 0 ;…………………………………………………………………………15 分 4 x1 ? x2 y1 ? y2 , ); 2 2

又因为线段 AB 的中点的坐标为 (

x1 ? x2 2 ) y ? y2 2 1 x12 xx 1 x2 2 所以 ? 2( 1 ) ? ( ? y12 ) ? ( 2 ? y2 2 ) ? 1 2 ? y1 y2 ? 1 2 2 2 4 2 4 4 (
从而线段 AB 的中点 (

x1 ? x2 y1 ? y2 x2 , ) 在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上.………………………20 分 2 2 2
2

12.已知整数列 {an } 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求出所有的正整数 m ,使得 am ? am ?1 ? am ? 2 ? am am ?1am ? 2 . 解: (1)设数列前 6 项的公差为 d ,则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d , d 为整数; 又 a5 , a6 , a7 成等比数列,所以 (3d ? 1)2 ? 4(2d ? 1) , 即 9d 2 ? 14d ? 5 ? 0 ,得 d ? 1 ,……………………………………………………………5 分 当 n ? 6 时, an ? n ? 4 ; 由此可知: a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2; 所以,当 n ? 5 时, an ? 2n ?5 ;

?n ? 4, n ? 4 故 an ? ? n ?5 .……………………………………………………………………10 分 ?2 , n ? 5
(2)由(1)知,数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m ? 1 时等式成立,即-3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m ? 3 时等式成立,即-1+0+1=0; 当 m ? 2、 时等式不成立;……………………………………………………………15 分 4 当 m ? 5 时, am am ?1am ? 2 ? 23m ?12 , am ? am?1 ? am ? 2 ? 2m?5 (23 ? 1) ? 7 ? 2m?5 ; 而 7×2m-5≠23m-12,所以 am ? am ?1 ? am ? 2 ? am am ?1am ? 2 ; 故所求 m ? 1 或 m ? 3 .………………………………………………………………20 分 13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H ,过点 H 作平行于

CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G ;
证明: (1)点 A B、F、H 共圆; 、 (2)四边形 BFCG 是矩形. 证明: (1)由 HG // CE ,得 ?BHF ? ?BEC ; 又同弧的圆周角: ?BAF ? ?BEC ; 所以 ?BAF ? ?BHF ; 所以,点 A B、F、H 共圆;……………8 分 、 (2)由(1)的结论,得 ?BHA ? ?BFA ; 因为 BE ? AD ,所以 BF ? AC ;
3

E

A

H F C G

D

B

又因为 AD 是圆的直径,所以 CG ? AC ;…………………14 分 由 A B、C、D 共圆及 A B、F、H 共圆; 、 、 所以 ?BFG ? ?DAB ? ?BCG ;所以 B、G、C、F 共圆; 所以 ?BGC ? ?AFB ? 90? ;所以 BG ? GC ; 所以四边形 BFCG 是矩形.…………………………………20 分

14.求所有正整数 x , y ,使得 x 2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数. 解:若 x ? y ,则 x 2 ? 3x 是完全平方数; 因为 x2 ? x2 ? 3x ? x2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 ; 所以 x 2 ? 3x ? ( x ? 1)2 ,所以 x ? y ? 1 ;……………………………………………………5 分 若 x ? y ,则 x2 ? x2 ? 3 y ? x2 ? 3x ? x 2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ; 因为 x 2 ? 3 y 是完全平方数;所以 x 2 ? 3 y ? ( x ? 1) 2 ,得 3 y ? 2 x ? 1 , 由此可知 y 是奇数,设 y ? 2k ? 1 ,则 x ? 3k ? 1 , k 是正整数; 又 y 2 ? 3x ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 9k ? 3 ? 4k 2 ? 13k ? 4 是完全平方数, 且 (2k ? 2)2 ? 4k 2 ? 8k ? 4 ? 4k 2 ? 13k ? 4 ? 4k 2 ? 16k ? 16 ? (2k ? 4)2 , 所以 y 2 ? 3x ? 4k 2 ? 13k ? 4 ? (2k ? 3)2 ; 解得 k ? 5 ,从而求得 x ? 16, y ? 11 ;…………………………………………………15 分 若 x ? y ,类似 x ? y 情形,可求得 x ? 11 , y ? 16 ; 综上所述, ( x, y) ? (1, 1)、(11, 16)、(16, 11) .…………………………………………20 分

4


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