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第一章1.1-1.1.3第1课时并集与交集


第一章

集合与函数概念

1.1

集合

1.1.3 集合的基本运算 第 1 课时 并集与交集

[学习目标]

1.理解两个集合的并集与交集的含义,

会求两个简单集合的并集与交集(重点). 2.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算, 体会直观图示对理解抽象概念 的作用(重点). 3.能够利用交集、并集的性质解决有关 问题(重点、难点).

[知识提炼· 梳理] 1.集合的并集 并集的三种语言表示: (1)文字语言:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集. (2)符号语言:A∪B={x|x∈A 或 x∈B}.

(3)图形语言:如图所示.

温馨提示 “x∈A ,或 x∈B” 包括了三种情况: ①x∈A,但 x?B;②x∈B,但 x?A;③x∈A,且 x∈B.

2.集合的交集 交集的三种语言表示: (1)文字语言:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集. (2)符号语言:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (3)图形语言:如图所示.

温馨提示 当集合 A 与 B 没有公共元素时,A∩B= ?.

3.集合的并集、交集的常用运算性质 A∪A=A;A∪?=?;A∪B=B∪A;(A∪B)∪C= A∪(B∪C);A∪B?A;A∪B=A?B?A;A∩B=A?A? B;A∩B=A∪B?A=B.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合 A∪B 的元素个数等于集合 A 与集合 B 的元 素个数和.( )

(2)当集合 A 与 B 没有公共元素时, 则集合 A 与 B 没 有交集.( )

(3)已知 A={1,2,3},A∪B?A,则 B 中最多有 3 个元素,最少有 1 个元素.( )

解析:(1)错,A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与 集合 B 的元素个数和. (2)错,当集合 A 与 B 没有公共元素时,集合 A 与 B 的交集为?,即 A∩B=?. (3)错,B 中最多有 3 个元素,也可能 B=?. 答案:(1)× (2)× (3)×

2.已知集合 M={-1,-2,-3,-4},N={-3, 3},下列结论成立的是( A.N?M C.M∩N=N ) B.M∪N=M D.M∩N 是单元素集合

解析:由已知得 M∩N={-3}. 答案:D

3.满足条件 M∪{-1}={-1,0,1}的集合 M 的个 数是( A.1 ) B.2 C.3 D.4

解析:由已知的 M={0,1}或{-1,0,1},共 2 个. 答案:B

4.若集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4}, 则 A∩B=______________. 解析:如图所示,A∩B={x|-2≤x<-1}.

答案:{x|-2≤x<-1}

5.已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P, 则 a 的取值范围为____________. 解析:由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}. 由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},所以-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1

类型 1 集合并集的简单运算(自主研析) [典例 1] (1)设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3, 5,7,8},那么 M∪N 等于( )

A. {3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}

(2)已知 A={x|x≤-2 或 x>5},B={x|1<x≤7},则 A ∪B 等于______________.

[自主解答] (1)由定义知 M∪N={3,4,5,6,7, 8}. (2)将 x≤-2 或 x>5 及 1<x≤7 在数轴上表示出来, 据并集的定义,图中阴影部分即为所求,所以 A∪B= {x|x≤-2 或 x>1}.
答案:(1)A (2){x|x≤-2 或 x>1}

归纳升华 1.用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接 观察或用 Venn 图表示出集合运算的结果. 2.用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果, 此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.

[变式训练] (1)已知集合 A={x|(x-1)(x+2)=0};B ={x|(x+2)(x-3)=0},则集合 A∪B 是( A.{-1,2,3} C.{1,-2,3} )

B.{-1,-2,3} D.{1,-2,-3}

(2)设集合 A={m|m-2>0},B={m|-1≤m<5},则 A ∪B=______________.

解析:(1)因为 A={1,-2},B={-2,3}, 所以 A∪B={1,-2,3}.故选 C. (2)A={m|m-2>0}={m|m>2},将集合 A、B 表示在 数轴上,如图所示,由图可知 A∪B={m|m≥-1}.

答案:(1)C (2){m|m≥-1}

类型 2 集合交集的简单运算 [典例 2] (1)已知集合 A={x∈R|3x+2>0}, B={x|x< -1 或 x>3},求 A∩B; (2)若 A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},求 A∩B. 2 解:(1)由 3x+2>0,得 x>- . 3
? ? 2? 所以 A=?x?x>-3?,又 B={x|x<-1 或 x>3}. ? ? ?

因此,结合数轴可知,A∩B={x|x>3}.

(2)如图所示,当 a<-2 时, A∩B=A={x|-2≤x≤3};

当-2≤a<3 时,A∩B={x|a<x≤3}; 当 a≥3 时,A∩B=?.

归纳升华 1.两个集合求交集,结果还是一个集合.当两个集 合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两 个集合没有交集.

2.求两个集合交集的一般方法:①明确集合中的元 素.②元素个数有限时,利用定义或 Venn 图求解;元素 个数无限时,借助数轴求解.③当所给集合中有一个不确 定时,要注意分类讨论,分类的标准取决于已知集合.

[ 变式训练 ] (1) 设集合 A = {x|x∈N , x ≤ 4} , B = {x|x∈N,x>1},则 A∩B=________. (2)集合 A={x|x≥2 或-2<x≤0},B={x|0<x≤2 或 x≥5},则 A∩B=______________.
解析:(1)因为 A={x|x∈N,x≤4}={0,1,2,3, 4},B={x|x∈N,x>1},所以 A∩B={2,3,4}.

(2)如图所示,可知 A∩B={x|x≥5 或 x=2}.

答案:(1){2,3,4} (2){x|x≥5 或 x=2}

类型 3 并集、交集的性质及应用 [典例 3] 已知集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax -2=0},且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C.

解:由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2, 所以 A={1,2}. 又 A∪B=A,所以 B?A.

(1)若 B=?,即方程 ax-2=0 无解,此时 a=0. (2)若 B≠?,则 B={1}或 B={2}. 当 B={1}时,有 a-2=0,即 a=2; 当 B={2}时,有 2a-2=0,即 a=1. 综上可知,适合题意的实数 a 所组成的集合 C={0, 1,2}.

归纳升华 1.在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇 到 A∩B=A,A∪B=B 等这类问题,解答时常借助于交、 并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如 A∩B =A?A?B,A∪B=B?A?B 等,解答时应灵活处理.

2.当集合 B?A 时,如果集合 A 是一个确定的集合, 而集合 B 不确定,运算时要考虑 B=?的情况,切不可漏 掉.

[变式训练] 已知集合 A={x|2a≤x≤a+1},B={x| -2≤x≤3},若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围.

解:因为 A∩B=A,所以 A?B.

当 A=?时,2a>a+1,即 a>1,满足 A?B. 当 A≠?时,2a≤a+1,即 a≤1 时,由图可知,

? ?2a≥-2, ? 解得-1≤a≤2, ? ?a+1≤3, 又 a≤1,所以-1≤a≤1. 综上知实数 a 的取值范围是{a|a≥-1}.

1.对并集、交集概念的理解 (1)对于并集,要注意其中“或”的意义, “或”与通 常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相 容”的.“x∈A,或 x∈B”包括下列三种情况: x∈A 但 x?B;x∈B 但 x?A;x∈A 且 x∈B.因此,A∪B 是由所 有至少属于 A、B 两者之一的元素组成的集合.

(2)A∩B 中的元素是“所有”属于集合 A 且属于集 合 B 的元素,而不是部分,特别地,当集合 A 和集合 B 没有公共元素时,不能说 A 与 B 没有交集,而是 A∩B =?.

2.集合的交、并运算中的注意事项 (1) 对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的 “交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时, 可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值能 否取到.



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