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二阶矩阵与平面向量 综合检测 (5)


综合检测(五)
?-1 1.求矩阵 M=? ? 5 【解】 0? ?的特征值和特征向量. 6?

矩阵 M 的特征多项式

?λ+1 0 ? ?=(λ+1)(λ-6). f(λ)=? ?-5 λ-6? 令 f(λ)=0,解得矩阵 M 的特征值 λ1=-1,λ2=6.将 λ1=-1 代入方程组 y=0, ??λ+1?x+0· ? ?-5x+?λ-6?y=0, ? 7? 易 求得 ? ? 为属于 λ1 =- 1 的一 个特征 向量 . 将 λ2 = 6 代入方 程组 ?-5? y=0, ??λ+1?x+0· ?0? ? 易求得? ?为属于 λ2=6 的一个特征向量.综上所述,M= ?1? ?-5x+?λ-6?y=0, ?-1 ? ? 5 0? ? 7? ?的特征值为 λ1=-1,λ2=6,属于 λ1=-1 的一个特征向量为? ?,属 6? ?-5?

?0? 于 λ2=6 的一个特征向量为? ?. ?1? ?1 2.已知矩阵 M=? ?2 个特征向量. 【解】 矩阵 M 的特征多项式为 -2? ?=(λ-1)(λ-x)-4 λ-x ? 2? ?的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一 x?

?λ-1 f(λ)=? ?-2

因为 λ1=3 为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1 由(λ-1)(λ-1)-4=0 得 λ2=-1, ?x? 设 λ2=-1 对应的一个特征向量为 α=? ?, ?y? ?-2x-2y=0, 则由? 得 x=-y ?-2x-2y=0 令 x=1,则 y=-1.

? 1? 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α=? ?. ?-1? ? 1 3.已知矩阵 M=? ?-1 -2? ? 3? ?2? ?,向量 α=? ?,β=? ?. ?4? -3 ? ?-5?

(1)求向量 2α+3β 在矩阵 M 表示的变换作用下的象; ?1? (2)向量 γ=? ?是矩阵 M 的特征向量吗?为什么? ?2? 【解】 ? 1 ? ?-1 ? 3? ?2? ?12? (1) 因 为 2α + 3β = 2 ? ? + 3 ? ? = ? ? , 所 以 M(2α + 3β) = ?4? ? 2? ?-5?

-2??12? ? 8 ? ?? ?=? ?,所以向量 2α+3β 在矩阵 M 表示的变换作用下的象为 -3 ?? 2? ?-18?

? 8 ? ? ?. ?-18? ? 1 ?1? (2)向量 γ=? ?不是矩阵 M 的特征向量.理由如下:Mγ=? ?2? ?-1 -2??1? ?? ?= -3 ??2?

?-3? ?-3? ?1? ?1? ? ?, 向量? ?与向量 γ=? ?不共线, 所以向量 γ=? ?不是矩阵 M 的特征向量. ?2? ?2? ?-7? ?-7? ? 1 4.已知矩阵 A=? ?-1 【解】 2? ?7? ?,设向量 β=? ?,试计算 A5β 的值. ?4? 4?

?λ-1 -2? 2 ?=λ -5λ+6=0, 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)=? λ-4? ?1

解得 λ1=2,λ2=3. ?2? 当 λ1=2 时,得 α1=? ?; ?1? 当 λ2=3 时, ?1? 得 α2=? ?, ?1? 由 β=mα1+nα2, ?2m+n=7 得? , ?m+n=4 得 m=3,n=1, ∴A5β=A5(3α1+α2)

=3(A5α1)+A5α2
5 =3(λ5 1α1)+λ2α2

?2? ?1? ?435? =3×25? ?+35? ?=? ?. ?1? ?1? ?339? ?1 5.已知矩阵 A=? ?a 点 P′(0,-3) (1)求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及特征向量. 【解】 ?1 (1)∵? ?a -1??1? ? 0? ?? ?=? ?, 1 ??1? ?-3? -1? ?,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到 1 ?

? 0 ? ? 0? ? =? ? , ∴? ?a+1? ?-3? ∴a=-4. ? 1 (2)∵A=? ?-4 -1? ?, 1 ?

?λ-1 1 ? 2 ?=λ -2λ-3. ∴f(λ)=? ? 4 λ-1? 令 f(λ)=0,得 λ1=-1,λ2=3, ?-2x+y=0 对于特征值 λ1 =- 1 ,解相应的线性方程组 ? 得一个非零解 ?4x-2y=0 ?x=1 ? , ?y=2 ?1? 因此 α1=? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ1=-1 的一个特征向量. ?2? ?2x+y=0 对 于 特 征 值 λ2 = 3 , 解 相 应 的 线 性 方 程 组 ? 得一个非零解 ?4x+2y=0 ?x=1 ? , ?y=-2 ? 1? 因此 α2=? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ2=3 的一个特征向量.∴矩阵 A 的 ?-2? 特征值为 λ1=-1,λ2=3,

?1? ? 1? 属于特征值 λ1=-1,λ2=3 的特征向量分别为? ?,? ?. ?2? ?-2? ?3 3? ?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α1=? ?, 6.已知矩阵 A=? ?c d ? ?1? ? 3? 属于特征值 1 的一个特征向量 α2=? ?,求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2? 【解】 ?1? ?3 3??1? ?? ?= 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α1=? ?,可知? ?1? ?c d ??1? ①

?1? 6? ?,所以 c+d=6, ?1? ? 3? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 α2=? ?, ?-2? ?3 3?? 3? ? 3? ?? ?=? ?,所以 3c-2d=-2. 可知? ?c d ??-2? ?-2? ?c+d=6, 联立①②可得? ?3c-2d=-2, ?c=2, 解得? ?d=4, ?3 即 A=? ?2 3? ?,A 的逆矩阵 A- 4?



? 2 3 1 ? = ?-1 ? 3

1 -2? ?. 1 ? 2 ?

7.已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变,纵 坐标变为原来的 2 倍,再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90° . (1)求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 B; ?3 (2)已知矩阵 M=? ?2 3? ?,求 M 的特征值和特征向量; 4?

?8? (3)若 α=? ?在矩阵 B 的作用下变换为 β,求 M50β.(结果用指数式表示) ?1? 【解】 ? 0 (1)A=? ?-1 -1? ?. 0 ? ? 1??1 0? ? 0 ?? ?=? 0??0 2? ?-1 2? ?; 0?

?0 B=A =? ?1 ?2
-1

(2)设 M 的特征值为 λ, ?λ-3 则由条件得? ? -2 -3? ?=0, λ-4?

即(λ-3)(λ-4)-6=λ2-7λ+6=0. 解得 λ1=1,λ2=6. 当 λ1=1 时, ?3 由? ?2 3??x? ?x? ?? ?=? ?, 4??y? ?y?

? 3? 得 M 属于 1 的特征向量为 α1=? ?; ?-2? ?3 当 λ2=6 时,由? ?2 3??x? ?x? ?? ?=6? ?, 4??y? ?y?

?1? 得 M 属于 6 的特征向量为 α2=? ?. ?1? (3)由 Bα=β, ?0 得 β=? ?1 ?2 -1? 8? ?-1? ?? ? ?=? ?, 0 ??1? ? 4? ?

?-1? ? 3? ?1? 设? ?=mα1+nα2=m? ?+n? ? ?1? ? 4? ?-2? ? 3m+n? ?, =? ?-2m+n? ?3m+n=-1, 则由? ?-2m+n=4. ?m=-1, 解得? ?n=2. 所以 β=-α1+2α2. 所以 M50β=M50(-α1+2α2) =-M50α1+2M50α2 ? 3? ?1? =-? ?+2×650×? ? ?1? ?-2?

?2×6 -3? ?. =? 50 ?2×6 +2? ?1? 8. 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ=8 及与其对应的一个特征向量 α1=? ?, ?1? 并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4). (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 α2 的坐标之间的 关系; (3)求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. 【解】 ?a b? ?, (1)设矩阵 M=? ?c d ?

50

?a+b=8, ?a b??1? ?1? ?8? ?? ?=8? ?=? ?,故? 则? ?c d ??1? ?1? ?8? ?c+d=8. ?a b??-1? ?-2? ?? ?=? ?, 由题意得? ?c d ?? 2 ? ? 4 ? ?-a+2b=-2, 故? ?-c+2d=4.

?b=2, 联立以上两方程组可解得? c=4, ?d=4,
a=6, ?6 故 M=? ?4 2? ?. 4? ?λ-6 -2? ?=(λ-6)(λ-4)-8=λ2- (2)由(1)知矩阵 M 的特征多项式 f(λ)=? ?-4 λ-4? 10λ+16.令 f(λ)=0,解得矩阵 M 的另一个特征值 λ=2.设矩阵 M 的属于特征值 2 ?6x+2y? ?x? ?x? ?=2? ?,解得 2x+y=0. 的一个特征向量 α2=? ?,则 Mα2=? ?y? ?y? ?4x+4y? (3)设点(x,y)是直线 l 上的任一点,其在矩阵 M 的作用下对应的点的坐标为

?6 (x′,y′),则? ?4

1 1 x=4x′-8y′, ? ? 2??x? ?x′? ?? ?=? ?,即? 4??y? ?y′? 1 3 y =- x ′ + ? ? 4 8y′,

代入直线 l 的方程并

化简得 x′-y′+2=0,即直线 l′的方程为 x-y+2=0.

? 2 ? 3 9.给定矩阵 M= ?-1 ? 3

1 -3? 2 ?,N=? ? ?1 2? ? 3

1? ? 1? ?1? ?及向量 α1=? ?,α2=? ?. ?1? 2? ?-1?

(1)求证 M 和 N 互为逆矩阵; (2)求证 α1 和 α2 都是矩阵 M 的特征向量.

【证明】

(1) 因 为

? 2 ? 3 MN = ?-1 ? 3

1 -3?

2 ?? ? 2 ? ?1 3?

1? ?1 ?=? 2? ?0

0? ?2 ? , NM = ? ?1 1?

1? ? 2?

? 2 ? 3 ?-1 ? 3

1 -3? 1 ?=? ? 2 ? ?0 3?

0? ?,所以 M 和 N 互为逆矩阵. 1?

?1? (2)向量 α1=? ?在矩阵 M 的作用下,其象与其共线, ?1?

? 2 ? 3 即 ?-1 ? 3

1 1 -3? ? ? 1? ?3? 1?1? ? 1? ?? ? ?= =3? ?,向量 α2=? ?在矩阵 M 的作用下,其象与 2??1? ?1? ?1? ?-1? ?3? 3? 1 -3? 1? ? 1? ?? ? ?=? ?,所以 α1 和 α2 都是 M 的特征向量. 2??-1? ?-1? 3? 5? ?-2? ?及向量 α=? ?. 1? ? 9 ?

? 2 ? 3 其共线,即 ?-1 ? 3

?2 10.给定矩阵 M=? ?6

(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α1,α2; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=aα1+bα2; (3)利用(2)中的表达式计算 M3α,Mnα; (4)从(3)中的运算结果,你能发现什么?

【解】

?λ-2 -5? ?=(λ-2)(λ-1)-30=(λ (1)矩阵 M 的特征多项式 f(λ)=? ?-6 λ-1?

-7)(λ+4).令 f(λ)=0,解得矩阵 M 的特征值 λ1=-4,λ2=7.易求得属于特征值 ?-5? ?1? λ1=-4 的一个特征向量 α1=? ?,属于特征值 λ2=7 的一个特征向量 α2=? ?. ?1? ? 6 ? ?-2? ?-5? ?1? (2)由(1)可知? ?=a? ?+b? ?,解得 a=1,b=3,所以 α=α1+3α2. ?1? ? 9 ? ? 6 ? (3)M3α=M3(α1+3α2)=M3α1+3M3α2= ?-5? ?1? (-4)3×? ?+3×73×? ? ?1? ? 6 ? ?4 ×5+3×7 ? =? 3 3?. ?-4 ×6+3×7 ? Mnα=Mn(α1+3α2) =Mnα1+3Mnα2 ?-5? ?1? =(-4)n×? ?+3×7n×? ? ?1? ? 6 ?
n+1 n n ??-1? ×4 ×5+3×7 ? ?. =? n n ??-4? ×6+3×7 ? 3 3

(4)在 Mnα 的结果中,随着 n 的增加,特征向量 α1 对结果的影响越来越小.


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