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三角函数诱导公式(老师)


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戴氏教育教师讲义
学员姓名: 辅导课目: 年级: 教师:朱雪婷 授课时间: 第( )次讲课

教学主管签字:

课题:任意角的三角函数与诱导公式 1.任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 教学目标 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正 切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π /2 ±α , π ±α 的正弦、余弦、正切)。

从近几年的新课程高考考卷来看,试题内容主要考察三 重点,难点 角函数的图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的 三角函数及诱导公式,在处理一些复杂的三角问题时,同 角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键

1.高考中,题型一般情况下是 1 道选择题和 1 道解答题 中小过程; 考点及考试要求 2.热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这 也是新课标教材的热点内容。

教学内容
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2

要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。一条射线由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位 置 OB ,就形成角 ? 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的 端点 O 叫做叫 ? 的顶点。 为了区别起见,我们规定 :按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 ,按顺时针 方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一 个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合。 那么, 角的终边 (除 端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终 边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α 具有同终边的所有角,它们彼此相差 2kπ (k ∈Z),即β ∈{β |β =2kπ +α ,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的 各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,如α ∈{α |

? 5? ? 5? ≤α ≤ }=[ , ]。 6 6 6 6

3.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角, 记作 1 rad , 或 1 弧度, 或 1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π ,-2π 等等, 一般地, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数 是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角 ? 的弧度数的绝对值是: ? ? 径。 角度制与弧度制的换算主要抓住 180? ? ? rad 。 弧度与角度互换公式: 1rad = 180 °≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ、 1 °=
?
[键入文字][键入文字][键入文字]

l ,其中,l 是圆心角所对的弧长, r 是半 r

?
180



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0.01745(rad)。 弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是圆心角的弧度数), 扇形面积公式: S ?
1 1 l r ? | ? | r 2。 2 2

4.三角函数定义 在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) , 它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 . 过 P 作 x 轴 的 垂 线 , 垂 足 为 M , 则 线 段 OM 的 长 度 为 a , 线 段 MP 的 长 度 为 b . 则
sin ? ? MP b OM a MP b ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? 。 OP r OP r OM a

利用单位圆定义任意角的三角 数,设 ? 是一个任意角,它的终边与 圆交于点 P( x, y ) ,那么: (1) y 叫做 ? 的正弦 , 记做 sin ? ,
sin ? ? y ;

函 a的终边 P(x, y)) O x 即 y 单位

(2) x 叫做 ? 的余弦,记做

cos? ,即 cos? ? x ;
(3)
y 叫做 ? 的正切,记做 x

tan ? ,即 tan ? ?

y ( x ? 0) 。 x

5.三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地 表示出角的各种三角函数值的一种图示 方法。利用三角函数线在解决比较三角 函数值大小、解三角方程及三角不等式 等问题时,十分方便。 以坐标原点为圆心,以单位长度 1 为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆 (注意:这个单位长度不一定就是 1 厘 米或 1 米)。当角 ? 为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点 P( x, y ) ,
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y a角的终 P T 边 O M A x

4 过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ,根据三角函数的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ;
| OM |?| x |?| cos ? | 。

我们知道,指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在 坐标轴时,以 O 为始点、 M 为终点,规定: 当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有正值 x ;当线段 OM 与

x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有正值 x ;其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无
论那种情况都有
OM ? x ? cos ?

同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点, 规定:当线段 MP 与 y 轴同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段
MP 与 y 轴反向时, MP 的方向为负向,且有正值 y ;其中 y 为 P 点的横坐标。

这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin ? 。像 MP、OM 这种被看作带有方向 的线段,叫做有向线段。 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 ? 的终 边交于点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段
OA、AT ,我们有

tan ? ? AT ?

y x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正 弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。

6.同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时,经常把“切”、“割”用“弦”表示,即化弦 法,这是三角变换非常重要的方法。 几个常用关系式:sinα +cosα ,sinα -cosα ,sinα ?cosα ;(三式之间可 以互相表示)

同理可以由 sinα -cosα 或 sinα ?cosα 推出其余两式。

?? ? ② 1 ? sin ? ? ?1 ? sin ? . 2? ?
[键入文字][键入文字][键入文字]

2

③当 x ? ? 0,

? ?

??

? 时,有 sin x ? x ? tan x 。 2?

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7.相关公式 同角三角函数基本关系式 sin2α +cos2α =1 sinα =tanα cosα tanα cotα =1 诱导公式 (奇变偶不变,符号看象限) sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα sin(2π +α )=sinα cos(2π +α )=cosα tan(2π +α )=tanα π sin( 2 +α )=cosα sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα π (二) sin( 2 -α )=cosα π cos( 2 -α )=sinα π tan( 2 -α )=cotα 3π sin( 2 -α )=-cosα 3π cos( 2 -α )=-sinα 3π tan( 2 -α )=cotα sin(-α )=-sinα 两角和与差的三角函数 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ sin (α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin (α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ

π cos( 2 +α )=- sinα π tan( 2 +α )=-cotα 3π sin( 2 +α )=-cosα 3π cos( 2 +α )=sinα 3π tan( 2 +α )=-cotα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα

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6 tan(α +β )= tan(α -β )= 二倍角公式 sin2α =2sinα cosα cos2α =cos2α -sin2α =2 cos2α -1=1-2 sin2α 2tanα tan2α = 1-tan2α 公式的变形 升幂公式:1+cos2α =2cos2α 降幂公式:cos2α = 1+cos2α 2 1—cos2α =2sin2α sin2α = 1-cos2α 2 tanα +tanβ 1-tanα tanβ tanα -tanβ 1+tanα tanβ

正切公式变形:tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ) tanα -tanβ =tan(α -β )(1+tanα tanβ ) 万能公式(用 tanα 表示其他三角函数值) sin2α = 2tanα 1+tan2α cos2α = 1-tan2α 1+tan2α b (tanφ = a ) tan2α = 2tanα 1-tan2α

插入辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2 sin(x+φ )

π 特殊地:sinx±cosx= 2 sin(x± 4 ) 熟悉形式的变形(如何变形) 1±sinx±cosx 1-tanα 1+tanα 1±sinx 1±cosx tanx+cotx 1+tanα 1-tanα

π 若 A、B 是锐角,A+B= 4 ,则(1+tanA)(1+tanB)=2 在三角形中的结论 若:A+B+C=π , A+B+C π = 2 则有 2

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC A B B C C A tan2 tan2 +tan2 tan2 +tan2 tan2 =1

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-? sin cos -sin ? cos ?

? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

-sin ? cos ?

cos ? sin ?

(1)要化的角的形式为 k ?180 ? ? ( k 为常整数); (2)记忆方法:“函数名不变,符号看象限”; (3)sin(kπ +α )=(-1)ksinα ;cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z);

?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? (4) sin ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ; cos ? x ? ? ? sin ? ? x ? 。 4? 4? 4? ? ?4 ? ? ? ?4 ?
典例解析 题型 1:象限角 例 1.已知角 ? ? 45? ;(1)在区间 [?720?, 0? ] 内找出所有与角 ? 有相同终
k k ? ? ? ? 边的角 ? ;(2)集合 M ? ?x | x ? ? 180? ? 45?, k ? Z ? , N ? ? x | x ? ? 180? ? 45?, k ? Z ? 那 2 4 ? ? ? ?

么两集合的关系是什么? 解析:(1)所有与角 ? 有相同终边的角可表示为: 45? ? k ? 360? (k ? Z ) , 则令
? 720? ? 45? ? k ? 360? ? 0? ,

得 ? 765? ? k ? 360? ? ?45? 解得 ?
765 45 ?k?? 360 360

从而 k ? ?2 或 k ? ?1 代回 ? ? ?675? 或 ? ? ?315? (2)因为 M ? ?x | x ? (2k ? 1) ? 45?, k ? Z ?表示的是终边落在四个象限的平 分线上的角的集合; 而集合 N ? ?x | x ? (k ? 1) ? 45?, k ? Z ?表示终边落在坐标轴或 四个象限平分线上的角的集合,从而: M ? N 。 点评:(1)从终边相同的角的表示入手分析问题,先表示出所有与角 ? 有 相同终边的角,然后列出一个关于 k 的不等式,找出相应的整数 k ,代回求出所 求解;(2)可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论。 例 2.(2001 全国理,1)若 sinθ cosθ >0,则θ 在( A.第一、二象限 B.第一、三象限 )

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8 C.第一、四象限 D.第二、四象限

解析:答案:B;∵sinθ cosθ >0,∴sinθ 、cosθ 同号。 当 sinθ >0,cosθ >0 时,θ 在第一象限,当 sinθ <0,cosθ <0 时, θ 在第三象限,因此,选 B。 例 3.(2001 春季北京、安徽,8)若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( A.第一象限 象限 答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°,∴B>90°-A, ∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B。 B.第二象限 ) C.第三象限 D. 第四

例 4.已知“ ? 是第三象限角,则

? 是第几象限角? 3

3 解法一:因为 ? 是第三象限角,所以 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ?k ? Z ? , 2



2k ? ? 2k ? ? ? ? ? ? ? ?k ? Z ? , 3 3 3 3 2

∴当 k=3m(m∈Z)时,

? 为第一象限角; 3

? 当 k= 3m+1 (m∈Z) 时, 为第三象限角, 3 ? 当 k= 3m+2 (m∈Z) 时, 为第四象限角, 3


? 为第一、三、四象限角。 3

解法二:把各象限均分 3 等份,再从 x 轴的正向的上方起 依次将各区域标
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上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并依次循环一周,则 ? 原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域 即为

? 的终边所在的区域。 3

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由图可知,

? 是第一、三、四象限角。 3
? 所在的象限是常考题之一,一般解 n

点评:已知角 ? 的范围或所在的象限,求

法有直接法和几何法,其中几何法具体操作如下:把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正向的上方起,依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,并循环一周,则 ? 原来 是第几象限的符号所表示的区域即为 题型 2:三角函数定义 例 5.已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的三个三角函数值。 解析:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | , x ? a, y ? 2a 。 当 a ? 0时, sin ? ?

? (n∈N*)的终边所在的区域。 n

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a

cos ? ?

x a 5a , tan ? ? 2 。 ? ? r 5 5a x a 5a y 2a 2a 2 5 , cos? ? ? ; ?? ? ? ?? r ? 5a 5 r 5 5 | a | ? 5a

当 a ? 0时, sin ? ?
tan ? ? 2 。

例 6.已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ? 值。

2m ,求 cos? ,sin ? 的 4

解析:由题设知 x ? ? 3 , y ? m ,所以 r 2 ?| OP |2 ? (? 3)2 ? m2 , 得 r ? 3 ? m2 , 从而 sin ? ?

m 2m m , ? ? r 4 3 ? m2

解得 m ? 0 或 16 ? 6 ? 2m2 ? m ? ? 5 。 当 m ? 0 时, r ? 3, x ? ? 3 , cos ? ?
x y ? ?1, tan ? ? ? 0 ; r x

x 6 y 15 当 m ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? ; r 4 x 3

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x 6 y 15 当 m ? ? 5 时, r ? 2 2, x ? ? 3 , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? 。 r 4 x 3

题型 3:诱导公式 例 7.(2001 全国文,1)tan300°+ A.1+ 3 B.1- 3
cos4050 的值是( sin 4050

) D.-1+

C.-1- 3

3
解析: 答案: B tan300°+ =-tan60°+
cos4050 cos(3600 ? 450 ) = tan(360 °- 60 ° ) + sin 4050 sin(3600 ? 450 )

cos 450 =1- 3 。 sin 450

例 8.化简: (1) (2)

? sin(180 ? ? ) ? sin(?? ) ? tan(360 ? ? ) ; tan(? ? 180 ) ? cos(?? ) ? cos(180 ? ? )
sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) 。 sin(? ? n? ) cos(? ? n? )
sin ? ? sin ? ? tan ? tan ? ?? ? ?1 ; tan ? ? cos ? ? cos ? tan ?

解析:(1)原式 ?

(2)①当 n ? 2k , k ? Z 时,原式 ? ②当 n ? 2k ? 1, k ? Z 时,原式 ?

sin(? ? 2k? ) ? sin(? ? 2k? ) 2 ? 。 sin(? ? 2k? ) cos(? ? 2k? ) cos ?

sin[? ? (2k ? 1)? ] ? sin[? ? (2k ? 1)? ] 2 ?? 。 sin[? ? (2k ? 1)? ]cos[? ? (2k ? 1)? ] cos ?

点评:关键抓住题中的整数 n 是表示 ? 的整数倍与公式一中的整数 k 有区 别,所以必须把 n 分成奇数和偶数两种类型,分别加以讨论。 题型 4:同角三角函数的基本关系式

例 9.已知 合。

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定使等式成立的角 ? 的集 1 ? sin ? 1 ? sin ?

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解析:∵ =

1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? )2 , ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? cos2 ? cos2 ?

|1 ? sin ? | |1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2sin ? ? = = 。 | cos ? | | cos ? | | cos ? | | cos ? |

又∵ ∴

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2sin ? 2 sin ? ? ? 0, | cos ? | cos ?

即得 sin ? ? 0 或 | cos? |? ? cos? ? 0
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所以,角 ? 的集合为: {? | ? ? k? 或 2k? ?

?
2

? ? ? 2k? ?

3? , k ? Z }。 2

例 10.(1)证明: (2)求证:

2?cos ? ? sin ? ? cos ? sin ? ? ? ; 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

解析:(1)分析:证明此恒等式可采取常用方法,也可以运用分析法,即 要证
A C ? ,只要证 A?D=B?C,从而将分式化为整式 B D

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cos? ? cos2 ? ? sin ? ? sin 2 ? 证法一:右边= ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ?
=

?cos ? ? sin ? ??1 ? cos ? ? sin ? ?
1 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? 2?1 ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? ? 2?cos? ? sin ? ??1 ? cos? ? sin ? ? ? 2 1 ? sin ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 sin ? cos? ?

=

2?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? 左边 ?1 ? sin ? ? cos? ?

证法二:要证等式,即为

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2?cos? ? sin ? ? ?cos? ? sin ? ??1 ? sin ? ? cos? ? ? ?1 ? sin ? ??1 ? cos? ? 1 ? sin ? ? cos?

只要证 2( 1 ? sin ? )( 1 ? cos ? )= ?1 ? sin ? ? cos? ? 即证: 2 ? 2sin ? ? 2cos ? ? 2sin ? cos ?

2

? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 2 sin ? cos ? ,

即 1= sin 2 ? ? cos2 ? ,显然成立, 故原式得证。 点评:在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时,需要仔细观察题目 的特征,灵活、恰当地选择公式,利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁 得多。(2)同角三角函数的基本关系式有三种,即平方关系、商的关系、倒数 关系。 (2)证法一:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 ∴左边=
cos x(1 ? sin x) cos x(1 ? sin x) 1 ? sin x ? ? 右边。 ? cos x (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos 2 x

∴原式成立。 证法二:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。 又∵ (1 ? sin x)(1 ? sin x) ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? cos x ? cos x , ∴
cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

证法三:由题义知 cos x ? 0 ,所以 1 ? sin x ? 0,1 ? sin x ? 0 。
cos x 1 ? sin x cos x ? cos x ? (1 ? sin x)(1 ? sin x) cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? ? ? ? 0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x)cos x (1 ? sin x)cos x



cos x 1 ? sin x ? 。 1 ? sin x cos x

点评:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一 的过程,证明时常用的方法有:(1)从一边开始,证明它等于另一边(如例 5 的证法一);(2)证明左右两边同等于同一个式子(如例 6);(3)证明与 原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立。 思维总结 1.几种终边在特殊位置时对应角的集合为: 角的终边所在位置 X 轴正半轴 角的集合

?? | ? ? k ? 360?,

k ? Z?

[键入文字][键入文字][键入文字]

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Y 轴正半轴 X 轴负半轴 Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴 2.α 、

?? | ? ? k ? 360? ? 90?, k ? Z ? ?? | ? ? k ? 360? ? 180?, k ? Z ? ?? | ? ? k ? 360? ? 270?, k ? Z ? ?? | ? ? k ?180?, k ? Z ? ?? | ? ? k ?180? ? 90?, k ? Z ? ?? | ? ? k ? 90?, k ? Z ?

? 、2α 之间的关系。 2
? 终边在第一或第三象限; 2α 终边在第一或第二象 2

若α 终边在第一象限则 限或 y 轴正半轴。 若α 终边在第二象限则 限或 y 轴负半轴。 若α 终边在第三象限则 限或 y 轴正半轴。 若α 终边在第四象限则 限或 y 轴负半轴。

? 终边在第一或第三象限; 2α 终边在第三或第四象 2

? 终边在第二或第四象限; 2α 终边在第一或第二象 2

? 终边在第二或第四象限; 2α 终边在第三或第四象 2

3.任意角的概念的意义,任意角的三角函数的定义,同角间的三角函数基 本关系、诱导公式 由于本重点是任意角的三角函数角的基础,因而三学习本节
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内容时要注意如下几点:(1)熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换 求解有关问题时要注意有关范围的限制; (2)要注意差异分析,又要活用公式, 要善于瞄准解题目标进行有效的变形,其解题一般思维模式为:发现差异,寻 找联系,合理转化。 只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点 P 在终边上的位置无 关 , 仅 与 角 的 大 小 有 关 . 我 们 只 需 计 算 点 到 原 点 的 距 离 r ? x2 ? y 2 , 那 么

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sin ? ?

y x2 ? y 2

, cos ? ?

x x2 ? y 2

, tan ? ?

y 。所以,三角函数是以为自变量,以 x

单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之 间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数。 4.运用同角三角函数关系式化简、证明 常用的变形措施有:大角化小,切割化弦等,应用 “弦化切”的技巧, 即分子、分母同除以一个不为零的 cos? ,得到一个只含 tan ? 的教简单的三角函 数式。

课堂练习及作用 1. 证明:
2 sin( π ? ? ) ? cos? ? 1 tan(9 π ? ? ) ? 1 ? . tan(π ? ? ) ? 1 1 ? 2 sin2 ?

证明:左边=

?2 sin? cos? ? ? cos2 ? ? sin2 ?

=-

(sin? ? cos? ) 2 sin? ? cos? ? , (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) sin? ? cos?
? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos? , ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos?

右边=

左边=右边,∴原等式成立.

2. 已知 cosα= ,cos(α+β)=1,求证:cos(2α+β)= . 证明:∵cos(α+β)=1,∴α+β=2kπ. ∴cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos(α+2kπ)=cosα= .
1 3

1 3

1 3

3. 化简:

1 ? 2 sin 290? cos 430? . sin 250? ? cos 790?

解:

1 ? 2 sin 290? cos 430? sin 250? ? cos 790?

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戴氏温江直营总校
1 ? 2 sin(?70? ? 360?) cos(70? ? 360?) sin( 180? ? 70?) ? cos(70? ? 2 ? 360?)
1 ? 2 sin 70? cos 70? cos 70? ? sin 70?

名校冲刺

=

=

= =

(sin 70? ? cos 70?) 2 cos 70? ? sin 70?

sin 70? ? cos 70? =-1. cos 70? ? sin 70?

4. 求证:

tan(2 π ? ? ) sin(?2 π ? ? ) cos(6 π ? ? ) =tanθ. cos(? ? π ) sin(5 π ? ? ) tan(?? ) sin(?? ) cos(?? ) (? tan? )(? sin? ) cos? ? =tanθ=右边, (? cos? )(? sin? ) cos? sin?

证明:左边=

∴原等式成立.

5. 求证

(1)sin(

3π -α)=-cosα; 2 3π +α)=sinα. 2

(2)cos(

证明: (1)sin(

3π π π -α)=sin[π+( -α)]=-sin( -α)=-cosα. 2 2 2

(2)cos(

3π π π +α)=cos[π+( +α)]=-cos( +α)=sinα. 2 2 2

6. 求下列三角函数值: (1)sin
25π 4π 5π · cos · tan ; 6 3 4

(2)sin[(2n+1)π-

2π ]. 3

教师寄语:成功就在下一秒,坚持一下就能到! 电话:028-84533855 地址:温江光华大道三段建信奥林匹克花园四楼

16 解:(1)sin
π 3
25π 4π 5π π π π · cos · tan =sin(π+ )· cos(4π+ )· tan(π+ ) 6 3 4 3 6 4

=(-sin )· cos · tan =(-

π 6

π 4

3 3 3 )· · 1=- . 2 2 4

(2)sin[(2n+1)π-

3 2π 2π π ]=sin(π- )=sin = . 2 3 3 3

π 2 cos3 ? ? sin2 (2 π ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 π 2 7. 设 f(θ)= ,求 f( )的值. 3 2 ? 2cos2 (π ? ? ) ? cos(?? )

解:f(θ)=

2 cos3 ? ? sin2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=

2 cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 cos3 ? ? 2 ? (cos2 ? ? cos? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2(cos3 ? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos 2 ? ? cos? 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=

=

=

=

(cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=cosθ-1, ∴f(
π π 1 1 )=cos -1= -1=- . 3 3 2 2

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