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分组数列及其应用


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2 0 0 4 年第 6 期 

5  

分 组 数 列 及 其 应 用 
蒋 明 斌 
( 四J I I 省蓬安中学 . 6 3 7 8 5 1 )  

( 本讲适合高中)  
1 分组数列 

/>项. 所以,  
+1 ≤ n<   +3  

把一个数列 { a   } 按照一定规律分组 , 得  到的就是原数列的分组数列 , 也叫分群数列   或群数列 . 例如 , 将正整数数列依次按第 1 组  1 个, 第2 组2 个, ……, 第k 组k 个的规律分  组得到分组数列:   ( 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 9 , 1 0 ) , …;   又如将数列 { a   } 按第 1 组1 个, 第2 组3   个, ……, 第k 组2 k 一1 个 的规律分组得到  分组数列 :   ( a 1 ) , ( a 2 , a 3 , a 4 ) , ( a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 ) , ….  


即{ 3 k i 一 3 厅 + 2 — 2 n ≤ 0 ,   L 3 k  +3 k+2—2n>0.  
解此方程组得 
一 一

1 +  ̄ T / 2 4 n-1 5 2   <  ≤ l _

。  

6  

…   2+ ‘    

6  

. ’  

因为 k ∈N  , 且 


5 J2 4   n   -1 ( 一   1 + v / 2 4 n1 + — — — —   — — 一 一 I —  +   5 ) = 1 ,  


+—





,  

、, 、, 

所  = [   1 + , — / 2 4 n   - 1 5 】 .  
因此 , 。   是第  组的第  一   个 

分组数列的基本问题是确定原数列的某   项属于分组数列的哪一组的第几个数. 若  设原数列 { a   } 的第 凡项 a   是分组数列的第 

k 组的第 m个数 , 找出 n与 k 的关系是解此  类问题的关键 . 为此 , 需要根据分组规律确定  前k 一1 组 的项数 , 建立关于 n与 k的不等   式, 通过解不等式及 n 、 k 为正整数求出n或 
k.  

数 , 其 中   = [   1 +    ̄ / 2 4 n   - 1 5 】 .  
因为第 k 组是以  

“       : “ 。  + 三 。  等 一。  + l   1 +— —  
..

d   d  

下文中要用到高斯函数[  ] , 它表示不  超过  的最大整数 .   例 1 设等差数列 { a   } 的首项为 a 。 , 公 
差为 d , 将{ a   } 按第 k 组3  个数的法则分组 
如下:   ( 8 l , 8 2 , 8 3 ) , ( 口 4 , 8 5 , …, 8 9 ) , ( 8 l o , 8 l l , …, 8 l 8 ) ,  

●  

为首项、 d为公差、 共有 3 k 个数的等差数列,   所以, 其所有项的和等于 

( n 。 +  
:  。+ 

d ) + 三  
,  

d  

其 中 J I } : 【   1 +   , / 2 4 n   - 1 5 】 .  
注: 分组数列问题有时是以数表 的形式  给出的, 这时只要将其转化为分组数列问题  即可解决.  

试问   是第几组 的第几个数?并求 出  

所在那组的各项和.   讲解 : 设n   位于第 k 组, 则前 k 一1 组共 
有 

例2 设{  } 是集合 { 2   + 2 ‘ l   0 ≤s <t  
且s 、 t ∈Z } 中所有的数从小到大排列成的数 
列, 即 
n l =3 , n 2 =5 , n 3 =6 , n 4=9 , n 5 =1 0 ,  
a ^= 1 2, ….  

3 + 6 + 9 +… +3 ( J I } 一1 ) :  
收稿 日期 : 2 0 0 4 — 0 4 —1 2  

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6  

中 等 数 学 

将数列{ n   } 各项按照上小下大、 左小右  大的原则写成如下的三角形数表:  
3  

讲解 : 这是笔者 2 0 0 2年编拟 的一个题 

5   6   9  1 0   】 2  

目, 表面上看似乎与分组数列无关, 但如果写  出数列的前几项并排成直角三角形数表 , 就  发现与例 2 类似 .  

旱 +  
,  

( 1 ) 写出这个三角形数表第四行 、 第五行  的各数 ;  
( 2 )l ( 1 0 .  

。 6  了 
'   。9  

讲解 : ( 1 ) 将上述三角形数表排成直角三  角形数表:  
口 , =   +2  

口 , =  + 2 2   1 f 3 = 2   + 2 2  
Ⅱ 4=  +   0 5 =2 1 +   0 6 =   +  

用数学归纳法可以证明, 第k 行为  
口 

+ 。 =i 0+k

, ak ( k

2 - 1 ) + 2 =i 1+  

,…

,  

口 7 =  + 2 4口 8 = 2   + 2 4口 9 = 2 2 + 2 4口 l 0 = 2 3 + 2 I  
n&  

k一1   。  

+ I   ]  +  

易得出第四行的各数为 l 7 、 l 8 、 2 0 、 2 4 , 第  钆   嘶   ~   =   =   =   ¨   五行的各数为 3 3 、 3 4 、 3 6 、 4 0 、 4 8 .   0— 2   0— 3   0— 4   ( 2 ) 注意到指数 函数+  f (  ) =   是增 函   +  +  2 , 、 l   3   4   数, 且  0  0  0  =     =   =  , : 1 0 + 2 “   > 2   +2 ( k EN+ )  
3   5   8 

设口   位于第 k 行, 按例 2 的解法可求 出  


【  
凡 一  n
n 

】 . 所 以 ,  
. . . ,  

一 2   一 3   一 4   那么, 第J I 行为  
2  +2  , 2  +2  , 2  +2  , …, 2   一  +2  .  

— — — — — — ) i — — — — 一+   T

+ T

,  

设n - ∞ 位于第 k 行. 因为 口 &  
+ 2   , 所以, 当  
+1 ( k E   N   ) 时,  
l ( 1 0:2 啪_ l - 土   +2  
. 

其 中   = [  
满足 

】 .  

=2  
+ 

+l ≤1 0 0 <  
D 
0 

+  3 

+  4  

例2 、 例3 可以统一推广为:   命题 设函数 ( s , t ) 对任意的 k EN + ,  
f ( i , k ) <  ( i + 1 , k ) ,   f ( k 一 1 , k ) <   ( 0 , k + 1 ) ,  


=  

3— 4 
+ 

4  

0 , 1 , 2 , …, k—l ,  

而 
. .

+1 <1  ̄ 0 0 <  

+1  

牟   J   k   一k 一 1 9 8 ≤ 0 ,  
L   k   + k一1 9 8 >0  


{ n   } 是集合 M={ f ( s , t ) l 0 ≤s <t , s 、 t ∈N }   中所有的数从小到大排列而成的数列. 则  


1 + 俪
2  

 

? 一  

,   ) ,  

<   ≤ 

.  

因为 k E   N+ , 所以,  
k= 1 4 , n l ∞ :2   +2   =1 6   6 4 0 .  

其 中   = 【  

】 .  

例 3 数列 { n   } 满足 n 。 = 1 , n   + 。 =n   +  


其中[ n   ] 表示不超过 n   的最大整数 .  

L   n  j  

求数列 { Ⅱ   } 的通项公式 .  

例4 图 1 是一个 向右和向下方可以无  限延伸的棋盘, 横排为行, 竖排为列 . 将正整  数按 已填好的 4 × 4 方格 的数字显现 的规律  填入方格中.   ( 1 ) 求位于第 3 行第 8 列的方格内的数 ;   ( 2 ) 数字 3 2 1 在哪一个方格内?  

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2 0 0 4 年第 6 期 

( 3 ) 写出位于左上角向右下角的对角线  上的方格内的数字组成的数列通项公式 .   ( 4 ) 求( 3 ) 中数列的前 n 项和S   .  

+1 ,  

二   I

+2  一1
.  

注意到 b   为二者的等差中项 . 所以,  
b  =2 n  一2n+1 .  

( 4 ) S   = 2 ( 1   + 2   + …+  ) 一 2 ( 1 + 2 + …+ n ) +  
n ( 2 n   +1 )  
— — _   一 ’  

2 分组数列在解题中的应用 

图1  

例 5 删去正整数数列 1 , 2 , 3 , …中的所  有完 全平 方数 , 得到 一个 新数 列 { o   } . 则  

( 1 9 9 8 , “ 希望杯” 全国数学邀请赛)   讲解 : 按右上至左下方向斜向分组 :  
( 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) , …,  

{ o   } 的第 2   0 0 3 项是(  
( A ) 2   O 4 6   ( c ) 2   O 4 8  

) .  

( B ) 2   0 4 7   ( D ) 2   0 4 9  

其中第  组有 个数, 该组第一个数所在的   列即为第  列, 前后 一 1 组共有 
1 + 2 + 3 +… +(  一1 ) :  

( 2 0 0 3 , 全国高中数学联赛)   讲解: 我们解决更一般的问题 , 求新数列   { o   } 的通项公式 .  

因为( 后+1 )  一后  一1 =2 k , 后 ∈‘ Z + , 所  个数 .   以, 正整数数列 1 , 2 , 3 , …中,   与(  + 1 )   之  设第 i 行第 列的数为 o   在第  组 , 从  间有 2 J l } 个数, 它们均为{ o   } 的项, 所有这些  o   开始 , 按箭头方向每上升一个数, 列  就增  数从小到大构成数列 { “   j . 把数列 { o   } 分  加1 个数 , 上升 i 一1 个数, 就得到该组的第  组 :  


个数 , 故  = . 『 +i 一 1 . o   是第 +i 一1 组的  


( 2 , 3 ) , ( 5 , 6 , 7 , 8 ) , ( 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ) ,  


第i 个数, 等于第  i 一 2 组的最后一个数 
加上 i , 即 
:  

(   +1 ,  + 2 , …,  + 2   ) , …,  
设 0   在第 组 , 则 

其中 第  组有 2  个数 .  

止  

① 

( 1 ) 将  3 ,  = 8 代人①得位于第 3 行  第8 列的方格内的数为 4 8 .   ( 2 ) 设3 2 1 在第  组 , 则 
+1 ≤3 2 1<  
二  厶 

0   =  + n 一 [ 2 + 4 + …+ 2 (  一 1 ) ] = n + 后 ,   口   [ 2 + 4 + …+ 2 (  一 1 ) ] + 1   ~   ≤n < [ 2 + 4 +…+ 2 (  一 1 ) + 2 k ] + 1 ,   月 n  
(  一1 ) +1 ≤n<  (  +1 ) +1 .  



+l -  

解得  : 2 5 .  


k   +1   - i v x I   k   2 -
十 十


<  0






. 

f . 『 + i 一 1 = 2 5 ,  

注意到  > 0 , 解得 

故 i 。   :  上  
解得  2 1 , . 『 = 5 .  

+  3 2 1 .  



丢 + √ n 一   < 后 ≤   + √ n 一   .  
+  一

因为  ∈Z + , 且 

因此 , 3 2 1 位于第 2 1 行第 5 列.   ( 3 ) 设满足条件的数列为 { b   } . b   为第  2  一1 组的中间一个数, 此组的第一个数和   最后一个数分别为 

( 一   +   )   所  = 【   +   】 .  

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8  

中 等 数 学 

因此 , n  :n+ 1


+, 、

/   : — 二 _ =   】 .  

当n : 2   0 0 3 时,  

题为此题的另一形式:   已知 { a 1 , a 2 , …} :{ 1 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 5 ,   5 , …} , 即每个奇数  出现 次 . 证明: 存在整  

b 、 c 、 d , 使a   :b [ 、   ] +d( n ≥1 ) ,   - 2 ㈣ 2   m 3 -  ̄   +   1 】 : 2   0 4 8 .  数 且只能有一组 b 、 c 、 d的值满足上式 .  

注: 此题曾以不同形式在各类数学竞赛  中出现 , 如   ( 1 ) 求证 : 在正整数数列中删去所有完全 

例7 若 n 历遍所有正整数, 证明: 厂 ( n )  
: n +

【 √ 号 +   2   J 历 遍 所 有 正 整 数 , 但 数 列  

平方数后, 第n 项等于 n +( n ) , 其中( n ) 表  a   : 3 n   一 2 n的项除外.   示最接近  ̄ / n 的整数 .   ( 第2 9 届I M O候选题)   讲解 : 设正整数数列除去数列 { a   } 的所  ( 第2 7 届普特南数学竞赛 A 一 4 )   ( 2 ) 证 明: 如果正整数 A不是完全平方  有项后从小到大构成数列 { b   } , 只须证明   数, 则可找到正整数 n , 使得 

A : 【 n +  +   ] .  
( 1 9 9 2 , 圣彼得堡选拔考试)   例 6 在正奇数非减数列{ 1 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 ,   5 , 5 , 5 , …} 中, 每个正奇数  出现  次. 已知  有整数 b 、 c 、 d 存在 , 对所有的整数 n满足a  


6   : f ( n , : n + 【 √ 号 +   】 .  

因为 a l = 1 , a k + l —a k 一1 : 6 k ,  ∈Z + ,   所以, 正整数数列 1 , 2 , 3 , …中, a   与a   之 

间有 6  个数 , 它们均为 { b   } 的项 , 所有这些 

数从d , N大构成数列 { b   } . 因此 , 把数列 { b   }   分组:   b [  ̄ / n +c ] +d , 其中[  ] 表示不超过  的   ( 2 , 3 , …, 7 ) , ( 9 , 1 0 , …, 2 0 ) , …, ( 3 I l c   一   最大整数 . 则b + c + d等于(   ) .   2 I l c +1 , 3 k   一 2 k + 2 , …, 3  一 2  + 6   ) , …,   ( A ) 0 ( B ) 1  ( C ) 2 ( D ) 3 ( E ) 4   其中第  组有 6  个数 .   ( 1 9 8 0 , 美国数学竞赛)   设b   在第 组, 则前  一 1 组共有 6 +l 2   讲解 : 将数列 { 1 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , …}   +… + 6 (  一1 ) : 3 k   一 3 k 项. 于是, 有  分组 :   b   : 3 k   一 2 k + [ n 一 ( 3 k   一 3 k ) ] : n +  ,   ( 1 ) , ( 3 , 3 , 3 ) , ( 5 , 5 , 5 , 5 , 5 ) , …, ( 2 k 一1 ,   且  为满足 3  一 3  +1 ≤n的最大整数 .  
2 k 一1 , …, 2 k一1 ) , …,  

由3   一3  +1 ≤n , 有 

其中, 第  组为2 k 一 1 个2 k 一 1 . 设a   在第 
组, 则0 ,   : 2 k一1 , 且 
1 + 3 +… +( 2  一 3 ) +1   ≤n <l + 3 +… +( 2  一1 ) +1 ,  
即  ( I l c 一1   2 +1 ≤n <   +1 .  

3  3   + 丢 ≤ n .  
解 得 0 <   ≤   + √ 号 .  

注意到  > 0 , 解得  = _ i <  ≤   因为  ∈Z   , 且  = _ i + 1 .  

所 以 ,   : 【   + √ 号 1 .   故 6   : n + [   + √ 号 】 .  
因此 , 原题结论成立 .  

+ 1 一  ̄ / _  = _ i :1 .  
所以,  :[  ̄ / n 一 1 + 1 ] : [  n 一 1 ] +1 .  
因此, 0   : 2 k 一 1 : 2 [  n 一 1 ] + 1 .   故b : 2 , c :一1 , d:1 .   所以, 6 +c +d: 2 +( 一1 ) +1 :2 .  


练 习 题 
1 . 设数歹 U { n   { ={ 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , - ” ,  ,  , …,  ,  

} , 其中每个正整数  出现 次 . 求{ n   } 的通项公 

式及前 n 项的和 S   .  

注: 1 9 8 1 年奥地利数学竞赛第二试第一 

( 答 案 :   = [ . 1 +  ̄ n - 7 】 ,   :   一  (  

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2 O O 4 年第 6 期  

9  

●命题与解题● 

用 函数 萆调 住镪 竞赛题 
徐 文 兵 
( 清华大学附属中学, l O 0 0  ̄)  

函数的单调性是函数的一个重要性质,  

解: 不妨设 ≥Y , 则  ≥1 ,  ≥1 .   ( 1 ) 当  = 1 时, y =1 , 此 ̄ - , j - f (  , Y ) =   1 .   ( 2 ) 当   >1 时, 设[  ] =n , {  } =  一  

很多数学竞赛题都以函数的单调性作为背 
景, 因此, 运用函数的单调性是解这类题的一  个有力工具….  

本文通过一系列数学竞赛题, 介绍函数  [   ] =口 , 贝 0   =n + 口 , O ≤口 < 1 .   单调性的应用. 虽然这些题 目 有一定的难度 ,   于 是, v = ÷ < 1 , 故[ y ] _ 0 .   n + 口  但只要巧妙地构造出具有单调性的函数 , 就  可以使问题的解决简捷、 合理, 轻而易举.  
1 解与函数相关的竞赛题 
1  
n + 口 +— —  

从而,   , y ) = — 

.  

例 1 设正实数 、 Y 满足 x y = 1 . 求函数 

由 函 数g (   ) =  + ÷ 在   ≥ 1 时 单调 递  
增及 O ≤口 <1 得 
+   ≤ n + 口 +—

f ( x , y   丽 管f  雨 
的 值域 ( 其中[  ] 表示不超过  的最大整 
数)  .  
收稿 日 期: 2 0 0 3 — 0 9 — 1 5  

】 l<n +1 + —  
.  

n  

n 十 口  

n 十 l  

丌+— —  

¨ 】+ 丌+ l +—   — 

所以,  

≤   , y ) <—  

.  

+   ) (   一   ) ,   : 【  


— —

】 )  

1  3  7  l 3   2 l   3 l   5  9  l 5   2 3   l l  l 7   2 5   l 9   2 7   2 9  

2 . 数列 l , l , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , …, k , k , …, k , …, 其中   每个正整数 k 出现 3  一 1 次. 则此数列的第2   0 0 4 项   ( 答案: 3 7 )  

3 . 已 知 数 列 ÷ , { ,   1 , T 3 ,   2 , 了 1 , T 4 ,   3 , 了 2 ,  
图 2  

÷, ‘ .   …. 那么, L m “ -   是此 数列的 第 几项?  
( 答案: 第   二  一  + l 项 


( 答  1  ( 2 ) 【 —   ] 2 ( 3 )  3  
3 3 )  

4 . 把正奇数按图 2 排列, 并把第 i 行 列记作 
0 

5 . 已知正整数数列除去数列 { 2 n   一n   ( n ∈N + )  

的所有项由小到大依次构成数列 { a   } . 试求{ a  的  

( 1 ) 求满足 i +  = n+ l ( n ∈N + ) 的所有 0   的  
和:  

通项公式 .  

( 2 ) 求满足 i +  ≤n+ l ( n ∈N + ) 的所有   的  
和:  

1 答案: 。   = 2 k   一 k + [ n 一 2 k ( k 一 1 ) ] = n + 女 ,  

( 3 ) 3  ̄ 1 果 嘶= 2   0 0 5 , 求i 、   .  

其 中   = [  

] )  


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