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2016北京宏志中学高二数学(理)暑假作业 答案


北京宏志中学高二理科数学暑假作业 参考答案

暑假作业(一)A 1.B 2.B 3.C 4.{-1,0} 5.C 6.D 7.D 8.D 9.0 10.{(0,1),(-1,2)} 11.-1<a<2 4m 12.实数 m 的值为 8 13.(1)C (2) 1+m2 暑假作业(一)B 1.B 2.C 3.D 4.2 5.A 6.C 7.C 8.A

9.{2,4,6} 10.[0,1)∪(3,+∞) 11.23 12.A∪B={-7,-4,-8,4,9} 13.(1)B={x|4<x<5} (2)a=-1 暑假作业(二) 1.C 2.A 3.C 4.充分不必要 5.B 6.A 7.B 8.B 9.充分不必要 1 4? 10.? ?-2,3? 11.m>9 12.m≤4 13.(1)(?UB)∩A={x|3≤x<4} 1 1? ?1 3- 5? (2)? ? ?-2,3?∪? ?3, 2 ? 暑假作业(三) 1.C 2.D 3.D 4. “所有的三角形都不是直角三角形” 5.D 6.D 7.C 8.C 3 ? 9.(-∞,0)∪? ?4,+∞? 10.①②④ 11.[1,+∞) 12.-2<a≤2 13.{a|a>2 或 a<-2} 暑假作业(四)A 1.C 2.B 3.B 4.(1,3] 5.A 6.B 7.B 8.C 1 3 1 9.[2,+∞) 10.[- ,0)∪( ,1] 11. 4 4 2015 2 ? ?x -2x,x≥0, ? 12 . (1)f[g(2)] = 0 g[f(2)] = 2 (2)f[g(x)] = 2 ?x -4x+3,x<0 ? ?x2-2,x≤-1或x≥1, ?
? 2 ? ?3-x ,-1<x<1

g[f(x)] =

13.(1)f(x)=x2+2x g(x)=-x2+2x (2)(-∞,0] 暑假作业(四)B 4 1.B 2.A 3.C 4. 5.C 6.B 7.D 8.B 3 1 x 9.[- ,+∞) 10. +1 11.(-∞,1] 4 3 12.(1)(-3,0)∪(2,3) (2)①[-1,1] ②[1,4] (3)(-∞,0] 13.(1)B (2)A 暑假作业(五) 1 2 1.B 2.C 3.B 4.(- , ) 5.A 6.A 7.D 8.D 2 3 9.C 10.[3,+∞) 11.(-∞,2] 12.[2,+∞) 13.(-1,1)

c c (2)函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 c 当 c∈[1,2)时,f(x)的最大值为 2+ x 2 当 c∈(2,4]时,f(x)的最大值为 1+c 当 c=2 时,f(x)的最大值为 3 15.(1)略 (2)(-∞,3] 16.(1)f(1)=0 (2)略 (3)[1+ 10,+∞) 暑假作业(六)A 1.B 2.D 3.B 4.- 2 5.D 6.A 7.A 8.A 9.1 10.-2 11.1207 12.(1)m=1 (2)f(x)是奇函数 (3)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增 3 ? ?4x -2ax,-1≤x<0, ? 13.(1)f(x)= 3 ?-4x +2ax,0≤x≤1. ? (2)存在 a=8 使得 f(x)的图像的最高点在直线 y=12 上 暑假作业(六)B 1.C 2.C 3.B 4.-3 5.C 6.B 7.B 8.D 3 9. 10.2 11.(-2,0)∪(3,+∞) 2 12.(1)m=0 (2)-1<a<0 13.(1)略 (2)f(x)=x2-6x+8 (3)f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2013)=1 暑假作业(七) 1.A 2.D 3.D 4.(-∞,-3] 5.B 6.C 7.C 8.A 9.C 10.-2 -4 11.y=-x2+2x+8 12.-1 或 3 1 13.-3 或 14.f(x)=x2+x 5 21 1 15.(1)[- ,15] (2)a=- 或-1 4 3 1 2 16.(1)f(x)= x +x (2)m=12,t=8 2 暑假作业(八)A 1.B 2.D 3.C 4.2 5.B 6.C 7.A 8.D 9.-1 10.log23 11.3 2 12.(1)1 (2)-43 13.(1)略 (2)a=6,b=8,c=10 暑假作业(八)B 1.C 2.B 3.D 4.a2b4 5.B 6.D 7.C 8.A ab+3 9.3 10. 11.①③④ ab+1 12.(1)略 (2)3x<4y<6z 13.(1)y=at2-3t+3 (2)a=16 x=64 暑假作业(九) 1.B 2.B 3.B 4.[-1,2)∪(2,3] 5.B 6.D 7.C 8.B 9.B 10. 3 11.0 和 1 1 1 12.( ,0) 13.-1 和 0 [- ,3] 4 1-a 14.(-∞,0]∪[1,2] 1 1 15.(1)f ( ) +f (- ) =0 (2)(-∞,-2]∪[4,+∞) 2013 2013 4 16.(1)a=1 (2)λ= 3 暑假作业(十) 1.C 2.D 3.D 4.③ 5.C 6.A 7.D 8.C 14.(1)b=4

9.B 10.(-2,1) 11.-2 12.(-1,-1) 13.10<abc<12 x+1,-1≤x≤0, ? ? 1 14.f(x)=?1 15.(0, ]∪[3,+∞) 2 3 ( x - 2 ) - 1 , x >0. ? ?4 16.(1)m≥2e (2)(-e2+2e+1,+∞) 暑假作业(十一) 1.D 2.C 3.A 4.3x-y+2=0 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B 10.1 1 11.0 12.3x+y=0 13.-cos x 14.(1)13x-y-32=0 (2)切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为 y=4x-18 或 y=4x-14 3 15.(1)f(x)=x- (2)证明略 定值为 6 x 16.(1)x0=1 (2)a≥ e 暑假作业(十二) 1.B 2.A 3.C 4.(-∞,-3)∪(6,+∞) 5.A 6.B 7.D 8.C 1 9.C 10.9 11.(0, ) 12.-4 13.(-1,0)∪(1,+∞) 2 - 14.(1)a=4,b=4 (2)极大值为 4(1-e 2) 15.(1)a=2 (2)①当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1, +∞); a a ②当 0<a<2 时,则函数 f(x)的单调递增区间为(0, ),(1,+∞),单调递减区间为( ,1); 2 2 ③a=2 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); a ④a>2 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),( ,+∞) 2 a 单调递减区间为(1, ) 2 16.(1)f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0),f(x)有极小值 1 (2)g(x)=sin x+1 (3)[1,+∞) 暑假作业(十三) 1.D 2.B 3.D 4.(0,1) 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.6 cm 3 cm 4 cm 11. 3-1 12.[-4 2,9] 13.1 14.(1)f(x)=x3+2x2-4x+5 (2)f(x)在[-3,1]上的最大值为 13 π 15.(1)f(x)的单调递增区间为(- ,0), 2 π 1 单调递减区间为(0, ) (2)k≤- 2 2 16.(1)S1 的最大值为 4 (2)l 的范围是[8,4 5] 专题一 突破高考解答题——函数与导数 1 1.(1)f(x)=x+ (2)(-∞,2] x 2.(1)(0,1) (2)[2ln 3-5,2ln 2-4) 3.(1)①当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) 2a 2a ②当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间为( ,+∞),单调递增区间为(0, ) 2a 2a (2)略 1 4 3 4.(1)(-1, ) (2)(-1,- ) (3)[- ,0] 3 11 8

f(b)-f(a) ?a+b? 5.(1) y=x-1 (2)略 (3) >f ? 2 ? b-a 暑假作业(十四) 1.A 2.D 3.C 3π 4.(- ,0) 5.D 2 6.B 7.D 8.D

? ?4x+2y≤80, 9.?y-x≤10, x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N
2x+3y≤60,
* *

b a 10. < 11.①④ a-c b-d

12.an+bn<cn 13.5 张 暑假作业(十五) 1.A 2.B 3.B 4.(0,8) 5.B 6.A 7.B 8.C -21 9.-1 10.(-7,3) 11. 4 12.(1)M={x|0<x<2} (2)[-2,2] 1-k a 13.(1) 2 (2) 1+a 2-2k+k2 暑假作业(十六) 1.C 2.D 3.C 4.6 5.A 6.B 7.A 8.B 9.B 10. 2 11.2 2 12. 2 13.20 14.略 15.(1)k=50 (2)建 8 层时,每平方米的平均综合费用为 1225 元 16.a 为 6,b 为 3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 暑假作业(十七) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.A 9.C 1? 10.a>c>b 11.loga(1+a)>loga? ?1+a? 3 3 12.a≥0,b≥0 且 a≠b 13. 14.略 15.略 2 16.(1)an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2) (2)略 暑假作业(十八) 1.A 2.A 3.A 4. 2 5.D 6.C 7.A 8.B 1 9.A 10. 3 11.- +2i 12.2 13.3+4i 2 14.(1)a=b=3 (2)z=1-i 时,|z|min= 2 15.(1)m=5 或 m=-3 (2)m≠5 且 m≠-3 (3)m=-2 (4)m<-3 或 m>5 -3- 41 -3+ 41 (5)m= 或 m= 4 4 1 ? 16.(1)|z|=1 ? ?-2,1? (2)略 (3)1 暑假作业(十九) 排列与组合 一、选择题 1.4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法 共有( ). A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 2.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目 乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( ).

A.36 种 B.42 种 C.48 种 D.54 种 3.10 名同学合影,站成了前排 3 人,后排 7 人.现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前 排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( ). 5 2 2 2 2 3 A.C2 A B . C A C . C A D.C2 7 5 7 2 7 5 7A5 4.从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入 选的不同选法的种数为( ). A.85 B.56 C.49 D.28 5.某学校为了迎接市春季运动会,从 5 名男生和 4 名女 生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( ). A.85 B.86 C.91 D.90[来源:Zxxk.Com] 6.(2012 北京高考)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三 位数,其中奇数的个数为( ). A.24 B.18 C.12 D.6 7.如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂一 种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( ).

A.288 种 B .264 种 C.240 种 D.168 种 二、填空题 8.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号 参加团体比赛, 则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法 有________种(用数字作答). 9.(2012 重庆高考)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其 他三门艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 __________(用数字作答). 10.广州亚运会火炬传递在 A,B,C,D,E,F 六个城市之间进行,以 A 为起点,F 为终点,B 与 C 必须接连传递,E 必须在 D 的前面传递,且每个城市只经过一次,那么火炬 传递的不同路线共有__________种. 三、解答题 11.在某次中外海上联合搜救演习中,参加演习的中方有 4 艘船、3 架飞机;外方有 5 艘船、2 架飞机.若从中、外两组中各选出 2 个单位(1 架飞机或 1 艘船都可作为 1 个单位, 所 有的船只两两不同, 所有的飞机两两不同), 则选出的 4 个单位中恰有 1 架飞机的不同选法 共有多少种? 12.要从 5 名女生,7 名男生中选出 5 名代表,按下列要求,有多少种不同选法? (1)有 2 名女生入选; (2)至少有 1 名女生入选; (3)至多有 2 名女生入选; (4)女生甲必须入选; (5)男生 A 不能入选; (6)女生甲、乙两人恰有 1 人入选.

参考答案[来源:Zxxk.Com] 一、选择题[来源:学科网 ZXXK] 1.B 解析:先从 4 人中选 2 人选修甲课程,有 C2 4 种方法,剩余 2 人再选修剩下的 2
2 门课程,有 22 种方法,∴共有 C2 4 ×2 =24 种方法.

2.B 解析:甲排第一位,丙排最后一位,其余 4 位排列有 A4 4=24 种;甲排第二位, 丙排最后一位,则有 3×A3 = 3 × 3 × 2 × 1 = 18 种,共有 24 + 18 = 42( 种). 3
2 2 3 3.C 解析:从后排抽 2 人的方法种数是 C7 ;前排的排列方法种数是 A5 C3 .由分步计 2 2 数原理,不同调整方法种数是 C7 A5 .

4.C 解析:甲、乙两人中选一个人,丙没有入选,则有: 7×6 2 C1 2 × C7 =2× 2 =42(种), 甲、乙两人均入选,则有 C1 7 =7(种). 共有 4 2+7=49(种). 5.B 解析:由题意,可分三类考虑:
2 2 1 3 (1)男生甲入选,女生乙不入选: C1 3C4 + C3 C4 + C3 =31; 2 2 1 3 (2)男生甲不入选,女生乙入选: C1 4 C3 + C4 C3 + C4 =34; 2 1 2 (3)男生甲入选,女生乙入选: C3 + C1 4 C3 + C4 =21,

∴共有入选方法种数为 31+34+21=86. 6.B 解析:先分成两类:(1)从 0,2 中选数字 2,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数
2 字的三位数中奇数的个数为 C3 ×4= 12;

(2)从 0,2 中选数字 0,从 1,3,5 中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为

C ×2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18. 7.B 解析:首先给 A,D,E 三个点涂色有 A3 4 =4×3×2=24 种; A,D,E 颜色固定,当 B 与 D,E 涂色不同时,有 3 种涂法; A,D,E 颜色固定,当 B 与 D,E 其中一个涂色相同时,有 8 种涂法,共有 24×(3+8) =264(种). 二、填空题
2 3 1 1 2 8. 48 解析: 选 1 名老队员, 则有 C1 选 2 名老队员, 则有 C2 2 ? C3 ? A3 =36 种; 2 ? C3 ? C2 ? A2

2 3

=12 种.共有 36+12=48(种). 3 9. 解析: 基本事件总数为 A6 事件“相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课” 6=720, 5
3 所包含的基本事件可分为三类,第一类:三节艺术课各不相邻有 A3 3A4 =144;第二类:有两 2 2 1 1 1 3 3 节艺术课相邻有 A3 3C3 A2C2C3 =216;第三类:三节 艺术课相邻有 C2 A3A3 =72.由古典概型

144+216+72 3 概率公式得概率为 = . 720 5 10. 6 解析: 因 B 与 C 必须相邻, 故把它们捆绑在一起视为一个整体元素 B′, 则 B′, D, E 不同的排列方式有 A3 因 E 必须在 D 的前面传递, 所以不同的排列方式有 3 种.

A3 3 种. 又 2

A3 B 与 C 的排列方式有 A 种,从而不同的排列方式有 3 × A 2 2 =6(种). 2
2 2

三、解答题 11.解:若中 方选出 1 架飞机,则选法种数为 C4C3C5 =120;若外方选出 1 架飞机,则
1 2 选法种数为 C1 5C2C4 =60.故不同选法共有 120+60=180(种). 1 1 2

2 12.解:(1)选 2 名女生有 C5 种选法,其余 3 人从 7 名男生中选有 C3 7 种,由分步乘法计 2 数原理有 C5 · C3 7 =350 种选法.

(2)至少有 1 名女生入选的含义是可有 1 名女生,也可有 2 名女生,?,可有 5 名女生, 因此可分为五类:
4 第一类:含 1 名女生,有 C1 种选法; C7 3· 2 第二类:含 2 名女生,有 C5 · C3 7 种选法; 2 第三类:含 3 名女生,有 C3 种选法; C7 5· 4 第四类:含 4 名女生,有 C5 · C1 7 种选法;

第五类:含 5 名女生,有 C5 C0 5· 7 种选法;
4 2 3 2 4 5 则共有 C1 + C5 · + C5 · C7 C3 C7 C1 C0 5· 7 + C5 · 7 + C5 · 7 =771(种)选法.

(3)至多有 2 名女生入选的含义是可不含女生,可有 1 名女生,也可有 2 名女生,因此分 三类: 第一类:不含女生,只选男生,有 C5 7 种选法;
4 第二类:含有 1 名女生,有 C1 种选法; C7 5· 2 第三类:含有 2 名女生,有 C5 · C3 7 种选法.

1 4 2 则共有 C5 + C5 · C7 C3 7 + C5 · 7 =546 种选法.[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
4 (4)一定有女生甲,只需在其余的 4 女 7 男中任选 4 人即可,故有 C11 =330 种选法. 5 (5)男生 A 不能当选,除去男生 A,剩下的 6 男 5 女中选 5 个,有 C11 =462 种选法.[来

源:学科网 ZXXK] (6)女生甲、乙恰有 1 人入选,有 C1 2 种可能,其 余 4 人从除女生甲、女生乙以外的 10
1 4 人中选,有 C4 =420 种选法. C10 10种可能,∴共有 C2 ·

暑假作业(二十) 二项分布及其应用 一、选择题 1.某道路的 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒.某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是( ). 35 25 35 65 A. B. C. D. 192 192 576 192 3 2.某人射击一次击中目标的概率为 ,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率 5 为( ). 81 54 36 27 A. B. C. D. 125 125 125 125 2 3 3.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工 3 4 为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ). 1 5 1 1 A. B. C. D. 2 12 4 6 4.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他 用两种方法来检测, 方法一: 在 10 箱中各任意抽查一枚; 方法二: 在 5 箱中各任意抽查两枚, 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2,则( ). A.p1=p2 B.p1<p2 C.p1>p2 D.以上三种情况都有可能 5. 电灯泡使用时数在 1 000 小时以上的概率为 0.2, 则 3 只灯泡在使用 1 000 小时后最多 有 1 只坏了的概率是( ). A.0.401 B.0.410 C.0.014 D. 0.104[来源:Z_xx_k.Com] 6.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好任意去试拨,他第一次失败,第二次

成功的概率是( ). 1 2 8 9 A. B. C. D. 10 10 10 10 7.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码 并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖.现有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖 的概 率是( ). 16 96 624 4 A. B. C. D. 625 625 625 625 二、填空题[来源:Z#xx#k.Com] 8. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 16 ,则该队员每次罚球的命中率为__________. 25 9.如图,EFGH 是一个以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内 接正方形.将一颗豆子随机地 扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内,”则

(1)P(A)=__________; (2)P(B|A)=__________. 3 4 10.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率为 和 ,且各次射击相互独立.按甲、乙、 4 5 甲??的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时甲射击了两次的概 率是__________. 三 、解答题 11.“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是用三种不同 的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏,“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”; 双方出示的手势相同时, 不分胜负. 现 假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (1)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; (2)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 X, 求 X 的分布列. 12.(2012 天津高考)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者 选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 ; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 E(ξ).

参考答案 一、选择题 25 35 45 35 1.A 解析:三处都不停车的概率是 P(ABC)= × × = . 60 60 60 192 2.A 3.B 解析:记两个零件中恰有一个一等品的事件为 A, 2 1 1 3 5 则 P(A)= × + × = . 3 4 3 4 12 4.B 解析: p1=1-0.9910=1-0.980 15,
2 ? C99 ? p2=1- ? 2 ? =1-0.985, ? C100 ? 5

∴p1<p2. 5. D 解析: 3 只灯泡在 1 000 小时后最多有 1 只坏了这个事件, 也就是 3 只灯泡中至 少 有 2 只灯泡的使用时数在 1 000 小时以上,相当于 3 次独立重复试验有 2 次或 3 次发生的概 率,
2 3 故 P= C3 ×0.22×(1-0.2)+ C3 3 ×0.2 =0.104.

6.A 解析:设 A 为“第一次失败”,B 为“第二次成功”, 9 则 P(A)= , 10 1 P(B|A)= , 9 1 ∴P(AB)=P(A)P(B|A)= . 10 7.B 解析:据题意取出两球号码之积是 4 的倍数的情况为(1,4),(2,4),(3,4),(2,6), 6 2 ?2?3×3= (4,6), (4,5)共 6 种情况, 故中奖的概率为 2 = , 故 4 人中有 3 人中奖的概率为 C3 4 ?5? 5 5 C
6

96 . 625 二、填空题 3 16 3 8. 解析:设该队员每次罚球的命中率为 p,则 1-p2= ,解得 p= . 5 25 5 2 1 9. 解析:该题为几何概型,圆的半径为 1,正方形的边长为 2, π 4 π ∴圆的面积为 π,正方形面积为 2,扇形面积为 . 4 2 故 P(A)= , π 1 2 P(A∩B) π 1 P(B|A)= = = . P(A) 2 4 π 19 10. 解析:停止 射击时甲射击了两次,分两种情况:①甲未中、乙未中、甲命中的 400 3?? 4? 3 3 概率是? ?1-4??1-5?×4=80; 3?? 4?? 3? 4 1 ②甲未中、乙未中、甲未中、乙命中的概率是? ?1-4??1-5??1-4?×5=100. 3 1 19 停止射击时甲射击了两次的概率是 + = . 80 100 400 三、解答题

11.解:(1)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头 ,石头),(石 头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀), (布,布),共有 9 个基本事件. 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有 3 个. 3 1 所以,在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率 P= = . 9 3 (2)X 的可能取值分别为 0,1,2,3. 8 0 ?2?3 P(X=0)= C3 · ?3? =27, ?1?1· ?2?2 4 P(X=1)= C1 3· ?3? ?3? =9, 2 ?1?2 ?2?1 2 P(X=2)= C3 · ?3? · ?3? =9, ?1?3= 1 . P(X=3)= C3 3· ?3? 27 X 的分布列如下: X 0 1 2 3 P[

来 源: 学 科 网
ZX XK ]

8 27

4 9

2 9

1 27

1 12.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 3 2 . 3 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4), 1?i?2?4-i 则 P(Ai)= Ci4 ? ?3? ?3? . ?1?2?2?2 8 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)= C2 4 ?3? ?3? =27. (2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B= A3∪A4.由 于 A3 与 A4 互斥,故[来源:Z*xx*k.Com] P(B)=P(A3)+P( A4) 1 4 ?1?4 ?1?3?2? = C3 4 ?3? ?3?+ C4 ?3? =9. 1 所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 P(ξ=0)=P(A2)= ,[来源:Z*xx*k.Com] 27 40 P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 2 4

40 17 81 81 8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=0× +2× +4× = . 27 81 81 81 暑假作业(二十) P

8 27

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2015· 河南新乡一模,7)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的 2 3 概率分别为3和4,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一 个一等品的概率为( 1 A.2 5 B.12 1 C.4 ) 1 D.6

【答案】

B 记两个零件中恰有一个一等品的事件为 A,则

3? ? 2? 3 5 2 ? P(A)=P(A1)+ P(A2)=3×?1-4?+?1-3?×4=12. ? ? ? ? ?2?k 2.(2014· 福建厦门质检,7)设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=m?3? (k=1, ? ? 2,3),则 m 的值为( 17 A.38 27 B.38 17 C.19 ) 27 D.19

【答案】

B 由分布列的性质得

2 27 ?2?2 ?2?3 38m P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=m×3+m?3? +m×?3? = 27 =1,∴m=38. ? ? ? ? 1 3.(2014· 广东中山质检,5)已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=2k,k=1, 2,?,则 P(2<ξ≤4)等于( 3 A.16 1 B.4 1 C.16 A 1 D.5 )

【答案】 3 16.

1 1 由分布列的知识得 P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=23+24=

4.(2015· 湖北黄石一模,8)已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η)和 D(η)分别是( A.6 和 2.4 C.2 和 5.6 )

B.2 和 2.4 D.6 和 5.6

【答案】 B 若两个随机变量 η, X 满足一次关系式 η=aX+b(a, b 为常数),

当已知 E(X),D(X)时,则 E(η)=aE(X)+b,D(η)=a2D(X).由已知随机变量 X+η =8,所以 η=8-X. 因此, E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2, D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 5.(2015· 河南郑州模拟,8)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ<2a -3)=P(ξ>a+2),则 a=( 5 A.3 B.3 7 C.5 D.3 因为 ξ 服从正态分布 N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2).所以 )

【答案】 D

7 2a-3+a+2=6,a= ,故选 D. 3 6.(2013· 湖北,9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同 样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( )

126 A.125

6 B.5

168 C.125

7 D.5

【答案】

B 由题意可知,涂漆面数为 3 的有 8 个,涂漆面数为 2 的有 36

8 36 54 6 个,涂漆面数为 1 的有 54 个,所以所求均值 E(X)=125×3+125×2+125×1=5. 1 7.(2015· 四川成都质检,8)若随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=m)=3,P(ξ=n) =a,若 E(ξ)=2,则 D(ξ)的最小值等于( A.0 B.2 C.4 D.无法计算 【答案】 A 1 1 2 由3+a=1,m×3+n×a=2,得 a=3,m+2n=6. )

1 2 1 2 D(ξ)=3×(2-m)2+3×(2-n)2=3×(2n-4)2+3×(2-n)2=2(n-2)2≥0,则 D(ξ)的最小值等于 0. 8.(2014· 山西太原二模,7)已知随机变量 X 的分布列为

X P 则 E(6X+8)=( )

1 0.2

2 0.4

3 0.4

A.13.2 B.21.2 C.20.2 D.22.2 【答案】 B 由随机变量的期望公式可得 E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4= 2.2, E(6X+8)=6E(X)+8 =6×2.2+8=21.2. 1 9.(2015· 安徽芜湖二模,7)如果 X~B(20,p),当 p=2且 P(X=k)取得最大值 时,k 的值为( ) D.11

A.8 B.9 C.10 【答案】 C

1 ?1?k ?1?20-k ?1?20 当 p=2时,P(X=k)=Ck =Ck ,显然 20?2? ·?2? 20·?2? ? ? ? ? ? ?

当 k=10 时,P(X=k)取得最大值. 10.(2014· 吉林长春二模,8)一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取 球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)=( ?3?10?5?2 ? ? A.C10 12?8? ? ? ?8? 9 2 9 ?5? ?3? ?8? ?8? C.C11 ? ? ? ? 【答案】 D )

9 2 9 ?3? ?5? ?8? ?8? B.C12 ? ? ? ? ?3?10?5?2 ? ? D.C9 11?8? ? ? ?8?

“X=12”表示第 12 次取到红球,前 11 次有 9 次取到红球,

2 次取到白球,因此 3 9 ?3?9?5?2 ?3?10?5?2 ?8? ?8? =C9 ? ? . P(X=12)=8C11 11?8? ? ? ? ? ? ? ?8? 11 . (2015· 山东临沂一模, 8) 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X = n) = 5? a ?1 (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P?2<X<2?的值为( ? ? n(n+1) 2 3 4 5 A.3 B.4 C.5 D.6 )

a ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n(n+1) a a a a ∴2+6+12+20=1, 5 ∴a=4, 5? 5 1 5 1 5 ?1 ∴P?2<X<2?=P(X=1)+P(X=2)=4×2+4×6=6. ? ? 【答案】 D 12.(2015· 湖南长沙模拟,5)一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把钥匙 依次分给 n 名学生依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开 柜门需要试开的次数为( A.1 n+1 C. 2 B.n n-1 D. 2 C 1 已知每一位学生打开柜门的概率为n, )

【答案】

1 1 1 ∴打开 柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为 1×n+2×n+?+n×n n+1 = 2 ,故选 C. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.(2015· 浙江宁波二模,15)先后抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点 数不同的条件下,至少有一枚是 6 点的概率是________. 【解析】 设事件 A=“至少有一枚是 6 点”,事件 B=“两枚骰子点数不

同”, 先后投掷两枚骰子共有 36 种不同情况, 且是等可能的, 则事件 B 共有 6×5 30 5 10 5 =30 种不同情况, 事件 AB 共有 10 种不同情况, 即 P(B)=36=6, P(AB)=36=18, 5 P(AB) 18 1 由条件概率得 P(A|B)= = 5 =3. P(B) 6 【答案】 1 3

14.(2014· 山东滨州二模,13)若随机变量 X 的概率分布密度函数是 φμ ,σ (x) = (x+2) 1 e- (x∈R),则 E(2X-1)=________. 8 2 2π 【解析】 σ=2,μ=-2,E(2X-1)=
2

2E(X)-1=2×(-2)-1=-5. 【答案】 -5

15.(2014· 河南信阳一模,15)如图所示,A,B 两点由 5 条连线并联,它们在 单位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在 单位时间内都通过的最大信息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=________.

【解析】

方法一(直接法):由已知得,ξ的可能取值为 7,8,9,10,

2 1 C2 C2 1 ∵P(ξ=7)= C3 =5, 5 2 1 1 C2C1+C2 3 2C2 P(ξ=8)= = 3 C5 10, 1 1 1 C2 C2C1 2 P(ξ=9)= C3 =5, 5 2 1 C2C1 1 P(ξ=10)= C3 =10, 5

∴ξ的概率分布列为

ξ
P

7 1 5

8 3 10

9

10

2 1 5 10 3 2 1 4 ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=10+5+10=5. 方法二(间接法):由已知得,ξ的可能取值为 7,8,9,10,故 P(ξ≥8)与 P(ξ
1 C2 2C2 4 =7)是对立事件,所以 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1- C3 =5. 5 4 【答案】 5

16.(2015· 河北邯郸一模,14)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有 数字 0,两个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次,则 向上的数之积的数学期望是________. 3 1 【解析】 随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,4,P(X=0)=4,P(X=1)=9, 1 P(X=2)=9, 1 4 P(X=4)=36,因此 E(X)=9.

【答案】

4 9

三、解答题(共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)(2015· 湖北十校联考,17)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯 关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答,然后由乙 回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停止答题,即闯关成功.已知在 6 道被选题 2 中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是3. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 ξ,求 ξ 的分布列. 解:(1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A,B,
1 2 - C4 C2 1 则 P(A)= C3 =5, 6
- 2? 2?2?2?1 ? ? 1 - ? ? ? P(B)=?1-3?3+C2 3 3? ? ? ? ? ?3?
[来源:Zxxk.Com]

7 =27, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
-- - -

1-P(AB)=1-P(A)P(B) 1 7 128 =1-5×27=135. (2)由题知 ξ 的可能取值是 1,2.
1 2 C4C2+C4 4 C4 C2 1 P(ξ=1)= C3 =5,P(ξ=2)= =5,则 ξ 的分布列为 C3 6 6 2 1 3

ξ P

1 1 5

2 4 5

18.(12 分)(2015· 安徽安庆六校联考,18)前不久,省社科院发布了 2014 年度 “安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最“幸福城市”.随后, 师大附中学生会组织部分同学, 用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福 度. 现从调查人群中随机抽取 16 名, 如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数 (以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分, 则称该人的幸福度为“极幸福”, 求从这 16 人中 随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多) 任选 3 人,记 ξ 表示抽到“极幸福”的人数,求 ξ 的分布列及数学期望. 解:(1)众数:8.6;中位数:8.75. (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是“极幸福”记
1 2 C3 12 C4C12 121 为事件 A,则 P(A)=P(A0)+P(A1)=C3 + C3 =140. 16 16

(3)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. ?3?3 27 P(ξ=0)=?4? =64, ? ? 2 27 1 1 ?3? P(ξ=1)=C3 ×4×?4? =64, ? ? 2 3 9 2 ?1? P(ξ=2)=C3 ×?4? ×4=64, ? ? ?1?3 1 P(ξ=3)=?4? =64. ? ? 则 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

27 27 9 1 64 64 64 64 27 27 9 1 所以 E(ξ)=0×64+1×64+2×64+3×64=0.75. 19.(12 分)(2014· 安徽合肥模拟,18)某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学 生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率为 0.08,只选修甲和乙 的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0.88,用 ξ 表示该学生选修的课程门数和 没有选修的课程门数的乘积. (1)记“函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数”为事件 A,求事件 A 的概率;

(2)求 ξ 的分布列. 解:(1)设该学生选修课程甲、乙、丙的概率分别为 a,b,c,依题意得

?a(1-b)(1-c)=0.08, ?ab(1-c)=0.12, ?1-(1-a)(1-b)(1-c)=0.88, ?a=0.4, 解得?b=0.6, ?c=0.5.
若函数 f(x)=x2+ξx 为 R 上的偶函数, 则 ξ=0. 当 ξ=0 时,表示该学生选修三门课程或三门课程都没选. ∴P(A)=P(ξ=0) =abc+(1-a)(1-b)(1-c) =0.4×0.6×0.5+(1-0.4)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.24. ∴事件 A 的概率为 0.24. (2)依题意知 ξ=0,2. 则 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.24 2 0.76

20.(12 分)(2014· 湖南,17)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成 2 3 功的概率分别为3和5,现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙 两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功, 预计企业可获利润 120 万元; 若新产品 B 研发成功, 预计企业可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望. 解:记 E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.
- - 2 1 3 2 由题设知 P(E)=3,P(E)=3,P(F)=5,P(F)=5, - - - -

且事件 E 与 F,E 与F,E与 F,E与F都相互独立.
- --

(1)记 H={至少有一种新产品研发成功},则H=EF,于是

- - - 1 2 2 P(H)=P(E)P(F)=3×5=15,

故所求的概率为
- 2 13 P(H)=1-P(H)=1-15=15.

(2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为
-- 1 2 2 P(X=0)=P(EF)=3×5=15, - 1 3 3 P(X=100)=P(EF)=3×5=15, - 2 2 4 P(X=120)=P(E F)= × = , 3 5 15 2 3 6 P(X=220)=P(E F)=3×5=15,

故所求的分布列为 X P 数学期望为 2 3 4 6 E(X)=0×15+100×15+120×15+ 220×15=140. 21.(12 分)(2013· 浙江,19)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且 规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分. (1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均 等)2 个球,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和,求 ξ 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量 η 为取出此球 5 5 所得分数.若 E(η)=3,D(η)=9,求 a∶b∶c. 解:(1)由题意得 ξ=2,3,4,5,6. 故 P(ξ=2)= 3×3 1 = , 6×6 4 0 2 15 100 3 15 120 4 15 220 6 15

P(ξ=3)=

2×3×2 1 =3, 6×6 2×3×1+2×2 5 =18, 6×6

P(ξ=4)=

P(ξ=5)=

2×2×1 1 =9, 6×6 1×1 1 = , 6×6 36

P(ξ=6)=

所以 ξ 的分布列为 ξ P 2 1 4 3 1 3 4 5 18 5 1 9 6 1 36

(2)由题意知 η 的可能取值为 1,2,3,则 η 的分布列为

η
P

1

2

3 c a+b+c

a b a+b+c a+b+c a 2b 3c 5 所以 E(η)= + + = , a+b+c a+b+c a+b+c 3

5?2 5?2 5?2 a b c 5 ? ? ? D(η)=?1-3? · +?2-3? · +?3-3? · =9, ? ? ? ? ? ? a+b+c a+b+c a+b+c ?2a-b-4c=0, 化简得? ?a+4b-11c=0. 解得 a=3c,b=2c,故 a∶b∶c=3∶2∶1. 22.(14 分)(2013· 辽宁,19)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张 同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类 3 4 题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题”,


则有A=“张同学所取的都是甲类题”.
3 C6 1 因为 P(A)=C3 =6,所以 10 - 5 P(A)=1-P(A)=6.


(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.

0 ?2?2 1 4 0 ?3? P(X=0)=C2 ·?5? ·?5? ·5=125; ? ? ? ? 1 ?2?1 1 ?3?0 ?2?2 4 28 1 ?3? P(X=1)=C2 ·?5? ·?5? ·5+C0 2?5? ·?5? · = 5 125; ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2?0 1 ?3?1 ?2?1 4 57 2 ?3? P(X=2)=C2 ·?5? ·?5? ·5+C1 2?5? ·?5? · = 5 125; ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2?0 4 36 2 ?3? P(X=3)=C2 ·?5? ·?5? ·5=125. ? ? ? ? 所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

4 28 57 36 125 125 125 125 4 28 57 36 所以 E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=2.


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