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三角函数推导,公式应用大全


三角函数诱导公式
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所谓三角函数诱导公式,就是将角 n·(π/2)±α 的三角函数转化为角 α 的三角函数。

基本简介
所谓三角函数诱导公式,就是将角 n·(π/2)±α 的三角函数转化为角 α 的三角函数。

常用公式
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公式一:

设 α 为任意角

,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα k∈z

cos(2kπ+α)=cosα k∈z

tan(2kπ+α)=tanα k∈z

cot(2kπ+α)=cotα k∈z

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公式二:

设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(π+α)=—sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

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公式三:

任意角 α 与-α 的三角函数值之间的关系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

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公式四:

利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

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公式五:

利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

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公式六:

π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

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推算公式:

3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

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诱导公式记忆口诀:

“奇变偶不变,符号看象限”

口诀解析:“奇、偶”指的是 π/2 的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变 化与否(“变”是指正弦变余弦、余弦变正弦、正切变余切、余切变正切、正割变余割、余割 变正割)。“符号看象限”的含义是:把角 α 看做锐角,不考虑 α 角所在象限,看 k·(π/2)±α 是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。

任意一个角都可以表示为的形式。当把任意角化为形如 k·(π/2)±α 的式子后,利用口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,就能把任意角转化到之间。

①“奇”与“偶”: 是指把任意角转化之后的 k·(π/2)±α 形式中的系数 k 的奇偶性, 即确定系 数 k 是奇数还是偶数;

②“变”与“不变”:是指三角函数的名称改变与否,即若变,则正弦变余弦、余弦变正弦、 正切变余切、余切变正切,正割变余割、余割变正割。

综合①②,“奇变偶不变”是说,把任意角化为 k·(π/2)±α 的形式后,若 k 是奇数则三角 函数名称改变,若 k 是偶数则三角函数名称不改变。

③“象限”:是指把任意角 k·(π/2)±α 所在的象限。

④“符号”:是指在确定所在的象限后,相应的原三角函数值的符号(如图)。

判断口诀
“一全正;二正弦;三双切;三正切,四余弦。这十二字口诀的意思就是说: 第一象限 内任何一个角的四种三角函数值都为“+”; 第二象限内只有正弦为“+”,其余全部为“-”; 第 三象限内只有正切和余切为“+”,其余全部为“-”; 第四象限内只有余弦为“+”,其余全部为 “-”。

“ASCT”反 Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母 Z 反过来写所占的象限 对应的三角函数为正值。

基本关系
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倒数的关系

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

tanα ·cotα=1

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商的关系

tanα=sinα/cosα=secα/cscα(cosα≠0,cscα≠0)

cotα=cosα/sinα=cscα/secα(sinα≠0,secα≠0)

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平方的关系

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

记忆方法
构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。

总结:奇变偶不变,符号看象限

倒数关系

对角线上两个函数互为倒数;

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商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条 虚线两端的三角函数值的乘积,下面 4 个也存在这种关系。)。由此,可得商数关系式。

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平方关系

在带有阴影线的三角形中, 上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三 角函数值的平方。

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两角和差公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

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二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

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半角的正弦、余弦和正切公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

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万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=[2tan(α/2)]/[1-tan^2(α/2)]

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三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

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三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2] ·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

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三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=- 0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

推导过程
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万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[(cos^2(α)+sin^2(α)]......*,

(因为 cos^2(α)+sin^2(α)=1)

再把*分式上下同除 cos^2(α),可得 sin2α=2tanα/[1+tan^2(α)]

然后用 α/2 代替 α 即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

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三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α)]/[cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα]

上下同除以 cos^3(α),得:

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+[1-2sin^2(α)]sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos^2(α)-1]cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+[2cosα-2cos^3(α)]

=4cos^3(α)-3cosα



sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

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和差化积公式推导

首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]*sin[(x-y)/2]


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