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课件-18(基本不等式)


3.4

a+b 基本不等式: ab≤ 2

【课标要求】 1.理解并掌握基本不等式及变形应用. 2.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题. 【核心扫描】 1.利用基本不等式求最值.(重点) 2.利用基本不等式求最值时的变形转化.(难点)

自学导引
1. 两个不等式

内 容 a

2+b2__ ≥ 2ab(a, 重要不等式 b∈R) a+b ab ≤ __ 2 基本不等式 (a>0,b>0)

不等式

等号成立条件 “a=b”时取 “=” “a=b”时取 “=”

:基本不等式中的a,b可以是任意正值的代数式 吗?
提示:可以.基本不等式强调 a,b 为正数,所以任意正值 1 1 + a b 的数、字母、代数式都可作为公式中的 a , b. 如 ≥ 2 11 1 1 ·,就是用 代替 a, 代替 b. ab a b

2. 基本不等式与最值 已知x,y都是正数,
s2 最大值 (1)若 x+y=s(和为定值), 则当 x=y 时, 积 xy 取得________. 4
(2)若 xy=p(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 ______

2 p ____.
上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.

:两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
1 提示: 不一定.如 x +2 + 2 中,虽然 x2+2 与 x +2
2

1 1 2 2 的积为定值 1. 但当 x + 2 = 时有 x =-1 2 2 x +2 x +2 不成立. 1 ∴ x +2+ 2 ≥2 中等号不成立. x +2
2

名师点睛
1.由基本不等式变形得到的常见的结论 2 2 ?a+b? a + b ?2 (1)ab≤? ? 2 ? ≤ 2 ; ? ?

a+b (2) ab≤ ≤ 2

a2+b2 (a,b∈R+); 2

b a (3) + ≥2(a,b 同号); a b
?1 1? (4)(a+b)? + ?≥4(a,b∈R+); ?a b?

(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

2. 用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式,通过恒等变形,以及配凑,造就“和 ”或“积”为定值,从而求得函数最大值或最小值.这种方 法在应用的过程中要把握下列三个条件:①“一正”——各 项为正数;②“二定”——“和”或“积”为定值;③“三相等 ”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题 时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配 凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. 利用基本不等式应注意的问题 3. a+b (1)“当且仅当”的含义: 当且仅当 a=b 时, ≥ ab取 2
等号;

(2)应用基本不等式时, 代数式中各项必须都是正数.例如代数式 1 1 x+ ,当 x<0 时,不能错误地认为 x+ ≥2 成立,并由此得出 x x 1 1 x+ 的最小值是 2.事实上,当 x<0 时,x+ 的最大值是-2. x x (3)在求最值的一些问题中,有时看起来可以运用基本不等式求 最值,但由于其中的等号取不到,所以运用基本不等式得到的 p 结果往往是错误的,这时通常可以借助函数 y=x+ (p>0)的单 x 调性求得函数的最值.

题型一 利用基本不等式证明不等式
【例1】 已知 a,b,c 为正实数,且
?1 ? ? -1?≥8. ?c ? ?1 ??1 ? a+b+c=1.求证:? -1?? -1? ?a ??b ?

[思路探索] 不等式右边数字为 8,使我们联想到左边因式分 1-a b+c 1 别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又 -1= = a a a 2 bc ≥ ,可由此变形入手. a

证明

∵a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,

1-a b+c 2 bc 1 ∴ -1= = ≥ , a a a a 1 2 ac 1 2 ab 同理 -1≥ , -1≥ . b b c c 由上述三个不等式两边均为正,分别相乘
?1 ??1 ??1 ? 2 ? -1?? -1?? -1?≥ ?a ??b ??c ?

bc 2 ac 2 ab · · =8. a b c

1 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3

使用基本不等式证明问题时,要注意条件是 否满足,同时注意等号能否取到,问题中若出现“1” 要注意“1”的整体代换,多次使用基本不等式,要注 意等号能否同时成立.

1 1 1 【变式1】 若 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,求证a+b+c ≥9. 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 证明 + + = + + =3+ a b c a b c
?b a? ?c a? ?c b? ? + ?+? + ?+? + ? ?a b? ?a c ? ?b c? ? ? 1 ≥3+2+2+2=9?当且仅当a=b=c= 时,取等号?. 3 ? ?

题型二 利用基本不等式求最值
4 【例2】 (1)若 x>0,求函数 y=x+x的最小值,并求此时 x 的值; 3 (2)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2 4 (3)已知 x>2,求 x+ 的最小值; x-2 1 9 (4)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y

[思路探索] 利用基本不等式时,应按照“一正,二定,三 相等”的原则挖掘条件,检查条件是否具备,再利用基本 不等式解之.



4 (1)当 x>0 时,x+ ≥2 x

4 x·=4, x

4 当且仅当 x= ,即 x2=4,x=2 时取等号. x 4 ∴函数 y=x+ (x>0)在 x=2 时取得最小值 4. x 3 (2)∵0<x< ,∴3-2x>0, 2
?2x+?3-2x?? ? ?2 9 ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2? ? =2. 2 ? ?

3 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 时,等号成立 4

3 ? 3? ∵ ∈?0, ?. 4 ? 2? 3 9 ∴函数 y=4x(3-2x)(0<x< )的最大值为 . 2 2 (3)∵x>2,∴x-2>0, 4 4 ∴x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 ≥2 4 ?x-2?· +2=6, x-2

4 当且仅当 x-2= ,即 x=4 时,等号成立. x-2 4 所以 x+ 的最小值为 6. x-2

(4)法一

1 9 ∵x>0,y>0, + =1, x y

?1 9? y 9x ? ? ∴x+y= + (x+y)= + +10 x y ?x y ?

≥6+10=16, 1 9 y 9x 当且仅当 = ,又 + =1, x y x y 即 x=4,y=12 时,上式取等号. 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.

法二

1 9 由 + =1,得(x-1)(y-9)=9(定值). x y

可知 x>1,y>9, ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10 ≥2 ?x-1??y-9?+10=16, 当且仅当 x-1=y-9=3,即 x=4,y=12 时上式取等号, 故当 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.

在利用基本不等式求最值时要注意三 点:一是各项为正:二是寻求定值,求和式最小 值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定 值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解 题技巧);三是考虑等号成立的条件.

12 【变式2】 (1)已知 x>0,求 f(x)= x +3x 的最小值; 4 (2)已知 x< 3,求 f(x)= +x 的最大值; x-3 (3)设 x>0,y>0,且 2x+8y=xy,求 x+y 的最小值.



12 (1)∵x>0,∴f(x)= +3x≥2 x

12 · 3x=12, x

12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时取等号. x ∴f(x)的最小值为 12.

(2)∵x<3,∴x-3<0. 4 4 ∴f(x)= +x= +(x-3)+3 x-3 x-3
? 4 ? ? +?3-x?? =-? ?+3≤-2 ?3-x ?

4 · ?3-x?+3 3-x

=-1, 4 当且仅当 =3-x,即 x=1 时取等号. 3-x ∴f(x)的最大值为-1.

(3)法一

由 2x+8y-xy=0,得 y(x-8)=2x.

2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= , x-8 ?2x-16?+16 2x ∴x+y=x+ =x+ x-8 x-8 16 =(x-8)+ +10 x-8 ≥2 16 ?x-8?× +10=18. x-8

16 当且仅当 x-8= ,即 x=12 时,等号成立. x-8 ∴x+y 的最小值是 18.

法二

8 2 由 2x+8y-xy=0 及 x>0,y>0,得 + =1. x y

?8 2? ∴x+y=(x+y)? + ? ?x y ?

8y 2x = + +10≥2 x y

8y 2x · +10=18. x y

8y 2x 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时等号成立. x y ∴x+y 的最小值是 18.

题型三

利用基本不等式解应用题

【例3】 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每 吨面粉的价格1 800元,面粉的保管费及其他费用为平均每吨 每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购 买一次面粉,才能使平均每天的支付的总费用最少? 审题指导

设出 列函数 利用基本不 作出 ―→ ―→ ―→ 变量 关系式 等式求最值 结论

[规范解答] 设该厂每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨. 由题意可知,面粉的保管等其他费用为 3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1). (3分) 设平均每天所支付的总费用为y1元,

1 则 y1= [9x(x+1)+900]+6×1 800 x 900 =9x+ +10 809 x ≥2 900 9x· +10 809=10 989(元), x (6 分)

900 当且仅当 9x= , x 即 x=10 时,等号成立. (10 分)

∴该厂每 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总 费用最少. (12 分)

【题后反思】 在应用基本不等式解决实际问题时,应注 意如下思路和方法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函 数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大 值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

【变式3】 某校要建一个面积为392 m2的长 方形游泳池,并且在四周要修建出宽为 2 m和4 m的小路(如图所示).问游泳池 的长和宽分别为多少米时,占地面积最 小?并求出占地面积的最小值.
解 392 设游泳池的长为 x m,则游泳池的宽为 m,又设占地 x

面积为 y m2,依题意,得
?392 ? ? 784? ?≥424+224=648 y=(x+8)? +4?=424+4?x+ x ? ? x ? ?

(m2),

784 当且仅当 x= ,即 x=28 时取“=”. x 所以游泳池的长为 28 m, 宽为 14 m 时, 占地面积最小为 648 m2.

误区警示

忽视等号成立的一致性致误

1 4 【示例】 已知 x,y∈(0,+∞),且x+y =1,求 x+y 的最小值. [错解] 因为 x>0,y>0,
1 4 2 4 所以 1= + ≥2× = . x y xy xy 所以 xy≥4,从而 x+y≥2 xy≥2×4=8. 故 x+y 的最小值为 8.

在连续应用基本不等式时,要注意各次应用时不 等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换 用其他方法求最值.

[正解] ≥2·

?1 4? y 4x y 4x ? ? x+y=(x+y) + =1+ + +4= + +5 x y x y ?x y ?

y 4x · +5=9, x y

?1 4 ?x+y=1, 当且仅当? ? y =4x, ?x y 故 x+y 的最小值为 9.

即 x=3,y=6 时,等号成立,

运用基本不等式时,“一正、二定、三相 等”缺一不可,但有些题中由于连续使用基本不等 式或者限定了某些量的取值范围,而导致等号成立 的条件不具备,不能直接运用基本不等式,这时应 进一步转化,使其转化成能用基本不等式求解或用 其他方法求解.


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