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导数与函数的单调性练习题


2.2.1 导数与函数的单调性 基础巩固题:
1.函数 f(x)=

2.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数

a 的取值范围为( x?2 1 1 1 A.0<a< B.a<-1 或 a> C.a> D.a>-2 2 2 2 1 ? 2a 1 答案:C 解析:∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即 a> . x?2 2



)

a 答案: C 解析: ∵f′(x)=2x+2+ , f(x)在(0,1)上单调, ∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1) x 上恒成立, 即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 所以 a≥-(2x2+2x)或 a≤ -(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.记 g(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, ∴a≥0 或 a≤ -4,故选 C. 9 3.函数 f(x)=x+ 的单调区间为________. x 答案: (-3,0), (0,3)
2 9 x -9 解析: f′(x)=1- 2= 2 , 令 f′(x)<0, 解得-3<x<0 或 0<x<3, x x

故单调减区间为(-3,0)和(0,3). 4
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函数 y ? x ? x 的单调增区间为
2 3

,单调减区间为___________________ 解析:

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答案: (0, ) ; ( ??, 0), ( , ??)

5.确定下列函数的单调区间:(1)y=x3-9x2+24x (2)y=3x-x3 (1)解:y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4) 令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2. ∴y=x3-9x2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令 3(x-2)(x-4)<0,解得 2<x<4 .∴y=x3-9x2+24x 的单调减区间是(2,4) (2)解:y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1) 令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1. ∴y=3x-x3 的单调增区间是(-1,1). 令-3(x+1)(x-1)<0,解得 x>1 或 x<-1. ∴y=3x-x3 的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞) 6.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1)

2 3

2 3

y ' ? ?3x 2 ? 2 x ? 0, x ? 0, 或x ?

2 3

[解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-

1 1),令 f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得 x< , 2 ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1) 1 7.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+

2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意 b<-1 或 b>2. 8.已知 x∈R,求证:ex≥x+1. 证明:设 f(x)=ex-x-1,则 f′(x)=ex-1. ∴当 x=0 时,f′(x)=0,f(x)=0. 当 x>0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x)>f(0)=0. 当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(x)>f(0)=0.

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) 1 -2 解:y′=(x+ )′=1-1·x = 令 >0. 解 ? 2 2 x x2 x x ( x ? 1)( x ? 1) 1 得 x>1 或 x<-1.∴y=x+ 的单调增区间;是(-∞,-1)和(1,+∞).令 <0, x x2 1 解得-1<x<0 或 0<x<1. ∴y=x+ 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
9.已知函数 y=x+ 10.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) ) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调 区间. 解: (Ⅰ)由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, 由 在 M(-1,f(-1)) 处

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 的 切 线 方 程 是

6x ? y ? 7 ? 0





? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6. 3 ? 2b ? c ? 6, 2b ? c ? ?3, ? 即 ?1 ? b ? c ? 2 ? 1. b ? c ? 0, 解得b ? c ? ?3.

?

?

故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3. 令3x2 ? 6 x ? 3 ? 0,
即x 2 ? 2 x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2.

当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x)在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力. 11.已知函数 f(x)=x - x +bx+c.?(1)若 f(x)在 (-∞, +∞) 上是增函数, 求 b 的取值范围;
2 2 解 (1) f ?( x) =3x -x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f ?( x) ≥0.即 3x -x+b≥0,? 2 2 3

1 2

2

∴b≥x-3x 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x .?当 x= 时,g(x)max=

1 6

1 1 ,∴b≥ . 12 12

12.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数 a 的取值范围. 3 2 2 解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x -(a+1)x +ax?∴ f ?( x) =3x -2(a+1)x+a?要使函数
2 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需 f ?( x) =3x -2(a+1)x+a 在(2,+∞)上满足

f ?( x ) ≥0

2 即可.? ∵ f ?( x) =3x -2(a+1)x+a 的对称轴是 x=

a ?1 ,? 3

?a ?1 ? a ?1 ? 3 ?2 ?2 8 8 ? ∴a 的取值应满足: ? 3 或? 解得:a≤ .∴a 的取值范围是 a≤ . ? a ? 1 3 3 ? f ?(2) ? 0 ? f ?( )?0 ? ? 3 ?

13.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值 3

范围.

所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? .

x ???1,1? 恒成立,即 x2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1

解: f ' ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x 2 ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ' ( x) ? 0 对

点拨: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型, 常利用导数与函数单调 性关系:即“若函数单调递增,则 f ' ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ' ( x) ? 0 ”来求解,注 意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 14.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1, f (?1) )处 的切线方程 6 x ? y ? 7 ? 0 , (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调
3 2

区间。 解: (1)由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d ? 2 ,所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2 ,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c
∴ f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6

由在点 M( ? 1, f (?1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 即 ∴ ?

?3 ? 2b ? c ? 6 ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1

解得 b ? c ? ?3

故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 (2) f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3 当 x ? 1? 2 或 x ? 1? 令 3x ? 6 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2
2

2 时, f ?( x) ? 0

当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2 在 (??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数 在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力. 2x-b 15.已知函数 f(x)= ,求导函数 f ′(x),并确定 f(x)的单调区间. (x-1)2 2(x-1)2-(2x-b)· 2(x-1) 解析:f ′(x)= = (x-1)4 -2x+2b-2 2[x-(b-1)] =- (x-1)3 (x-1)3 令 f ′(x)=0,得 x=b-1 且 x≠1. 当 b-1<1,即 b<2 时,f ′(x)的变化情况如下表: x (-∞,b-1) b-1 (b-1,1) (1,+∞) 0 f ′(x) - + - 当 b-1>1,即 b>2 时,f ′(x)的变化情况如下表: x (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) 0 f ′(x) - + - 所以,当 b<2 时,函数 f(x)在(-∞,b-1)上单调递减,在(b-1,1)上单调递增,在(1, +∞)上单调递减. 当 b>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,b-1)上单调递增,在(b-1,+∞)

上单调递减. 当 b-1=1,即 b=2 时,f(x)= +∞)上单调递减. 2

x-1

,所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,

强化提高题:
16. 设 f(x)、 g(x)是 R 上的可导函数, f′(x), g′(x)分别为 f(x)、 g(x)的导函数, 且满足 f′(x)g(x) +f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)>f(b)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) )

B.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

答案: C 解析: 令 y = f(x)· g(x) ,则 y′ = f′(x)· g(x) + f(x)· g′(x) ,由于 f′(x)g(x) + f(x)g′(x)<0,所以 y 在 R 上单调递减,又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b). 17.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞)[解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a> x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 18.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围为 ________. 1+lnx [答案] a≥1[解析] 由已知 a> 在区间(1,+∞)内恒成立. x 1+lnx lnx 设 g(x)= ,则 g′(x)=- 2 <0 x x 1+lnx (x>1),∴g(x)= 在区间(1,+∞)内单调 x ∴a≥1.

1+lnx 递减,∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴ <1 在区间(1,+∞)内恒成立, x 19.函数 y=x2e x 的单调递增区间是________. - 答案:(0,2)解析:y′=(2x-x2)e x>0?0<x<2,故选填(0,2).


20 若 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 在 R 增 函 数 , 则 a, b, c 的 关 系 式 为 是 _______________ 2 答 案 : a?0 且 , b ? 3a c 解 析 : f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 恒 成 立 , 则
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?a ? 0 , a ? 0, 且b2 ? 3ac ? 2 ?? ? 4b ? 12ac ? 0
4 3 x +bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是________. 3 答案:b>0 解析: y′=-4x2+b,若 y′值有正、有负,则 b>0. 22.定义在 R 上的奇函数 f(x)在[-a,-b](a>b>0)上是减函数且 f(-b)>0,判断 F(x)=[f(x)]2 在[b,a]上的单调性并证明你的结论. 解析:设 b≤x1<x2≤a,则 -b≥-x1>-x2≥-a. ∵ f(x) 在 [ -a,-b ] 上 是 减 函 数 , ∴ 0<f(-b) ≤ f(-x1)<f(-x2) ≤ f(-a), ∵ f(x) 是 奇 函 数 , ∴ 0<-f(x1)<-f(x2), 则 f(x2)<f(x1)<0,[f(x1)]2<[f(x2)]2,即 F(x1)<F(x2). ∴F(x)在[b,a]上为增函数. 23.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11).
21.若函数 y=-

(1)求 a、b 的值;(2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)=- 12,
?1-3a+3b=-11 ? 即? ,解得 a=1,b=-3. ? ?3-6a+3b=-12

(2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f′(x)<0,解得-1<x<3.所以当 x∈(-∞,-1) 时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.

1 1 24. 若函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1, 4) 内为减函数, 在区间 (6, ??) 3 2 上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解: f ?( x) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)[ x ? (a ?1)] , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 , ∴当 x ? (1, 4) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (6, ??) 时, f ?( x) ? 0 , ∴ 4 ? a ? 1 ? 6 ,∴ 5 ? a ? 7 .
25.设函数 f(x)=x+

a (a>0).(1)求函数在(0,+∞)上的单调区间,并证明之; (2)若函数 f(x) x

在[a-2,+∞]上递增,求 a 的取值范围. 解析: (1)f(x)在(0,+∞)上的增区间为[ a ,+∞] ,减区间为(0, a ).

a ,当 x∈[ a ,+∞]时, x2 ∴f′(x)>0,当 x∈(0, a )时,f′(x)<0.
证明:∵f′(x)=1即 f(x)在[ a +∞]上单调递增,在(0, a )上单调递减.(或者用定义证) (2) [a-2,+∞] 为 [ a, +∞] 的子区间, 所以 a-2≥ a ? a- a -2≥0 ? ( a +1)( ≥0 ? a -2≥0 ? a≥4. b 26.已知函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数 y=ax3+bx2+5 的单 x 调区间. b 解析: 可先由函数 y=ax 与 y=- 的单调性确定 a、b 的取值范围,再根据 a、b 的 x 取值范围去确定 y=ax3+bx2+5 的单调区间. b [解] ∵函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0. x 由 y=ax3+bx2+5 得 y′=3ax2+2bx. 2b 令 y′>0,得 3ax2+2bx>0,∴- <x<0. 3a

a -2)

2b ? ∴当 x∈? ?-3a,0?时,函数为增函数. 令 y′<0,即 3ax2+2bx<0, 2b ∴x<- ,或 x>0. 3a 2b? ∴在? ?-∞,-3a?,(0,+∞)上时,函数为减函数. 27 设 a ? 0, f ( x) ? 上是增函数。

ex a ? 是 R 上的偶函数, (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x) 在(0,+ ? ) a ex

e?x a 1 ? ? x ? x ? ae x a e ae 1 x 1 1 x 1 即 (a ? )( e ? x ) ? 0 ,所以对一切 x ? R, (a ? )( e ? x ) ? 0 恒成立 a a e e 1 1 x 2 由于 e ? x 不恒为 0,所以 a ? ? 0 ,即 a ? 1 ,又因为 a ? 0 ,所以 a ? 1 a e x ?x x ?x ?x 2x (2)证明:由 f ( x) ? e ? e ,得 f ?( x) ? e ? e ? e (e ? 1) 当 x ? (0,??) 时,有 e ? x (e 2 x ? 1) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,+ ? )内
解: (1)依题意,对一切 x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ,即 是增函数 1 28.求证:方程 x- sinx=0 只有一个根 x=0. 2 1 [证明] 设 f(x)=x- sinx,x∈(-∞,+∞), 2 1 则 f′(x)=1- cosx>0, 2 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0, 1 ∴方程 x- sinx=0 有唯一的根 x=0. 2 29 已知 f(x)=x2+c,且 f[f(x)]=f(x2+1) (1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式; (2)设φ (x)=g(x)-λ f(x),试问:是否存在实数λ ,使φ (x)在(-∞,-1)内为减函数,且在 (-1,0)内是增函数. 解:(1)由题意得 f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c,∵f[f(x)]=f(x2+1) ∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c, ∴x2+c=x2+1,∴c=1 ∴f(x)=x2+1,g(x)=f[f(x)]=f(x2+1)=(x2+1)2+1 (2)φ (x)=g(x)-λ f(x)=x4+(2-λ )x2+(2-λ ) 若满足条件的λ 存在,则φ ′(x)=4x3+2(2-λ )x ∵函数φ (x)在(-∞,-1)上是减函数, ∴当 x<-1 时,φ ′(x)<0 即 4x3+2(2-λ )x<0 对于 x∈(-∞,-1)恒成立 ∴2(2-λ )>-4x2,

∵x<-1,∴-4x2<-4 ∴2(2-λ )≥-4,解得λ ≤4 又函数φ (x)在(-1,0)上是增函数 ∴当-1<x<0 时,φ ′(x)>0 即 4x2+2(2-λ )x>0 对于 x∈(-1,0)恒成立 ∴2(2-λ )<-4x2, ∵-1<x<0,∴-4<4x2<0 ∴2(2-λ )≤-4,解得λ ≥4 故当λ =4 时,φ (x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的 λ 存在.

课外延伸题:
30.方程 x3-3x+c=0 在[0,1]上至多有_______个实数根 答案:1 解析.设 f(x)=x3-3x+c,则 f ? (x)=3x2-3=3(x2-1) . 当 x∈(0,1)时, f ? (x)<0 恒成立. ∴f(x)在(0,1)上单调递减. ∴f(x)的图象与 x 轴最多有一个交点. 因此方程 x3-3x+c=0 在[0,1)上至多有一实根. 31.若函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案:-2<a<2 解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. ∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,
? ?f(-1)>0 ∴? ,∴-2<a<2. ?f(1)<0 ?

32.(2010 湖北黄冈中学模拟,19)已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足:①对于任意的 x∈[0,1] ,总有 f(x)≥0;②f(1)=1;③若 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1) 求 f(0)的值; (2)求 f(x)的最大值. 解析:(1)对于条件③,令 x1=x2=0 得 f(0)≤0,又由条件①知 f(0)≥0,故 f(0)=0. (2)设 0≤x1<x2≤1,则 x2-x1∈(0,1), ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0. 即 f(x2)≥f(x1),故 f(x)在[0,1]上是单调递增,从而 f(x)的最大值是 f(1)=1. 33.已知函数 f(x)=(

x 2 n 2 -1) +( -1) 的定义域为 [m,n)且 1≤m<n≤2.(1)讨论函数 f(x)的单调性; m x

(2)证明:对任意 x1、x2∈[m,n],不等式?|f(x1)-f(x2)|<1 恒成立.

x 2 n 2 x 2 n 2 2 x 2n ? (1)解析:解法一:∵f(x)=( -1) +?( -1) = 2 ? 2 ? +2, m x m x m x
∴ f
2



(x)=

2 2 x 2n 2 2n 2 ? 3 ? ? 2 ? 2 3 · (x4-m2n2-mx3+m2nx)= 2 3 (x2-mx+mn)(x+ m n )(x2 m x m x m x m x m n ). 2 ∵1≤m≤x<n≤2,∴ 2 3 >0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ m n >0. m x 令 f′(x)=0,得 x= m n ,

①当 x∈[m, m n ]时,f′(x)<0; ②当 x∈[ m n ,n]时,f′(x)>0. ∴f(x)在[m, m n ]内为减函数,在[ m n ,n)为内增函数. 解法二:由题设可得

x n 2n ? -1)2+1. m x m x n 令 t= ? . m x
f(x)=( ∵1≤m<n≤2,且 x∈[m,n],

x n n ? ≥2, >2. m x m 1 n 令 t′= ? 2 =0,得 x= m n . m x
∴t= 当 x∈[m, m n ],t′<0;当 x∈( m n ,n)时,t′>0.∴t= 函数,在[ m n ,n]内是增函数.∵函数 y=(t-1)2数 f(x)在[m,

x n ? 在[m, m n ]内是减 m x

2n +1 在[1,+∞]上是增函数,∴函 m

m n ]内是减函数,在[ m n ,n]内是增函数.
n 2 -1) ,最大值为 m

(2)证明:由(1)可知,f(x)在[m,n]上的最小值为 f( m n )=2( f(m)=(

n 2 -1) . m

对任意 x1 、 x2 ∈[ m,n ] ,|f(x1)-f(x2)| ≤ ( u=

n n 2 n n n -1)2-2( -1)2=( ) -4 · +4 -1. 令 m m m m m

n ,h(u)=u4-4u2+4u-1. m
∵ 1 ≤ m<n ≤ 2, ∴ 1<

n m

≤ 2, 即

1<u ≤

2

. ∵ h ′

(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u-

5 ?1 5 ?1 )(u+ )>0, 2 2 ∴h(u)在(1, 2 )上是增函数.∴h(u)≤h( 2 )=4-8+4 2 -1=4 2 -5<1.
∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1 恒成立.

高考链接题:
34.(2009· 广东文,8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) D.(2,+∞) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. B.(0,3) C.(1,4) )

f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 35.(2010· 新课标全国文)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2.

1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,lna) 时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1]. 36.(2009 江西)设函数 f ( x) ? (1) (2)

ex x

求函数 f ( x ) 的单调区间;
' 若 k ? 0 ,求不等式 f ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集.

解: (1)

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 2 x x x ' x ? 0 因为 当 时, f ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; (0,1] . 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0), f ' ( x) ? ?


(2)

f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ?

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 .

x ? 1 ? kx ? kx 2 x ( x ? 1)(?kx ? 1) x e ?0, e ? x2 x2
1 k

故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 ? x ? 1} k


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