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物理必修一学案3 匀变速直线运动的位移与时间的关系


学案 3
[目标定位]

匀变速直线运动的位移与时间的关系

1.理解位移公式的意义和导出过程.知道匀变速直线运动的位移与 v-t 图象中

四边形面积的对应关系.2.能运用位移公式、匀变速直线运动的 v-t 图象解决有关问题.3.掌 握匀速直线运动 x-t 图象的特点,会用它解决简单的问题.

/>一、用 v-t 图象求位移 [问题设计] 1.某物体以 5m/s 的速度做匀速直线运动,求物体在 8s 内的位移.画出物体运动的 v-t 图 象.物体的位移用 v-t 图象能反映出来吗? 答案 40m.v-t 图象如图所示.图象中的面积(图中阴影区域)表示物体的位移.

2.某物体做匀变速直线运动,初速度 v0=2m/s,经过 10 s 的时间,末速度 v=6 m/s,其 v -t 图象如图 1 所示.在 v-t 图象中如何来表示这 10s 内的位移呢?并求出位移.

图1 答案 物体的位移可以用 v-t 图象与 t 轴所围的“面积”表示. 物体在这 10s 内的位移为 x= 2+6 ×10m=40m. 2

3.阅读课本,请用“无限分割”“逐渐逼近”的思想说明 v-t 图象与 t 轴所围面积表示位 移. 答案 (1)把物体的运动分成几个小段,如图甲,每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时

间=对应矩形面积.所以,整个过程的位移≈各个小矩形面积之和.

(2)把运动过程分为更多的小段,如图乙,各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整 个过程的位移.

(3)把整个过程分得非常非常细,如图丙,小矩形合在一起成了一个梯形,梯形的面积就代 表物体在相应时间间隔内的位移.

[要点提炼] 无论是匀速直线运动还是匀变速直线运动,物体在 t 时间内的位移都可以用 v-t 图象与 t 轴所包围的面积表示. 1.当“面积”在 t 轴上方时,位移取正值,这表示物体的位移与规定的正方向相同. 2.当“面积”在 t 轴下方时,位移取负值,这表示物体的位移与规定的正方向相反. [延伸思考] 如果物体运动的 v-t 图象是曲线, 如图 2 所示, 则物体在 10s 内的位移________(填“>”、 “=”或“<”)40m.

图2 答案 > 二、匀变速直线运动的位移公式 [问题设计] 一个物体做匀变速直线运动,其运动的 v-t 图象如图 3 所示.已知物体的初速度为 v0, 加速度为 a, 运动时间为 t.请根据 v-t 图象和速度公式求出物体在 t 时间内的位移(即推导位 移与时间的关系式).

图3 答案 v-t 图线下面梯形的面积表示位移 1 S= ( OC + AB )·OA 2 把面积及各条线段换成所代表的物理量,上式变成 1 x= (v0+v)t① 2 又因为 v=v0+at② 由①②式可得 1 x=v0t+ at2 2 这就是匀变速直线运动的位移与时间的关系式. [要点提炼] 匀变速直线运动的位移与时间的关系: 1 x=v0t+ at2. 2 1.两种特殊形式 1 (1)当 v0=0 时,x= at2(由静止开始的匀加速直线运动). 2 (2)当 a=0 时,x=v0t(匀速直线运动). 2.公式的矢量性 公式中 x、v0、a 都是矢量,应用时必须选取统一的正方向.若选 v0 的方向为正方向,则: (1)物体加速,a 取正值;物体减速,a 取负值. (2)若位移为正值,位移的方向与正方向相同;若位移为负值,位移的方向与正方向相反. 三、用 x-t 图象表示位移 [问题设计] 一列火车沿直线轨道运动,图 4 描述了它相对于出发点的位移随时间变化的情况.

图4 (1)火车最远时距离出发点多少米? (2)试分析火车各阶段的运动状态. 答案 (1)90m. (2)火车在前 2.5min 内以 0.6m/s(v= 90m =0.6m/s)的速度做匀速直线运动, 在 2.5min 至 ?2.5×60?s

3min 内火车停在距出发点 90m 的位置. [要点提炼] 1.由 x-t 图象可以知道: (1)物体在某一时刻所处的位置. (2)任何时间内的位移(大小和方向),或发生一段位移所需要的时间. (3)物体某一时刻的速度:x-t 图象的斜率表示速度. 2.两种常见运动的 x-t 图象 (1)匀速直线运动的 x-t 图象为倾斜直线,斜率大小是恒定的,表示速度不变. (2)匀变速直线运动的 x-t 图象为抛物线(或抛物线的一部分),斜率的大小是变化的,由斜 率的变化情况可以得知速度的变化情况. 3. 注意: 无论是 v-t 图象还是 x-t 图象都不是物体的运动轨迹, 图象不能描述“曲线运动”.

1 一、位移时间关系式 x=v0t+ at2 的基本应用 2 例1 一物体做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为 a=2m/s2,求:

(1)第 5s 末物体的速度多大? (2)前 4s 的位移多大? (3)第 4s 内的位移多大? 解析 (1)第 5s 末物体的速度由 v=v0+at1 得 v1=0+2×5m/s=10 m/s 1 (2)前 4s 的位移由 x1=v0t+ at2 2 1 得 x1=0+ ×2×42m=16m 2 (3)物体第 3s 末的速度 v2=v0+at2=0+2×3m/s=6 m/s 1 1 则第 4s 内的位移 x2=v2t3+ at2 =6×1m+ ×2×12m=7m 2 3 2 答案 (1)10m/s (2)16m (3)7m 二、利用 v-t 图象求物体的位移 例2 图 5 是直升机由地面竖直向上起飞的 v-t 图象,试计算直升机能到达的最大高度及

25s 时直升机所在的高度.

图5

解析 首先分析直升机的运动过程: 0~5s 直升机做匀加速运动; 5~15s 直升机做匀速运动; 15~20s 直升机做匀减速运动;20~25s 直升机做反向的匀加速运动.分析可知直升机所能 到达的最大高度为题图中 t 轴上方梯形的面积,即 S1=600m.25s 时直升机所在高度为 S1 与图线 CE 和 t 轴所围成的面积 S△CED 的差,即 S2=S1-S△CED=(600-100) m=500m. 答案 600m 500m 三、对 x-t 图象的认识 例3 如图 6 所示为在同一直线上运动的 A、B 两质点的 x-t 图象,由图可知( )

图6 A.t=0 时,A 在 B 的前面 B.B 在 t2 时刻追上 A,并在此后运动到 A 的前面 C.B 开始运动的速度比 A 的小,t2 时刻后才大于 A 的速度 D.A 运动的速度始终比 B 的大 解析 t=0 时,A 在原点正方向 x1 位置处,B 在原点处,A 在 B 的前面,A 对.t2 时刻两图 线相交,表示该时刻 B 追上 A,并在此后运动到 A 的前面,B 对.B 开始运动的速度比 A 的 小,t1 时刻后 A 静止,B 仍然运动,C、D 错. 答案 AB 四、刹车类问题 例4 一辆汽车正在平直的公路上以 72km/h 的速度行驶, 司机看见红色信号灯便立即踩下

制动器,此后,汽车开始做匀减速直线运动.设汽车减速过程的加速度大小为 5 m/s2,求: (1)开始制动后,前 2s 内汽车行驶的距离. (2)开始制动后,前 5s 内汽车行驶的距离. 解析 汽车的初速度 v0=72km/h=20 m/s,末速度 v=0,加速度 a=-5m/s2;汽车运动的总 v-v0 0-20m/s 时间 t= = =4s. a -5m/s2 (1)因为 t1=2s<t,所以汽车 2s 末没有停止运动 1 1 故 x1=v0t1+ at2 =(20×2- ×5×22) m=30m 2 1 2 (2)因为 t2=5s>t,所以汽车 5s 时早已停止运动 1 1 故 x2=v0t+ at2=(20×4- ×5×42) m=40m 2 2 (注意:也可以用逆向思维法,即对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初 1 1 速度为零的匀加速直线运动.此题可以用如下解法:x2= at2= ×5×42m=40m). 2 2

答案 (1)30m (2)40m

? ?v-t图象法求位移:v-t图象与t轴所围 匀变速直线运动的位移与时间的关系? 的面积表示位移 倾斜直线:匀速直线运动 x-t图象 ? 抛物线:匀变速直线运动 ?刹车类问题:注意先求刹车时间
? ? ? ? ?

1 公式法求位移:位移公式x=v0t+ at2 2

1.(位移与时间关系式的应用)一物体由静止开始做匀变速直线运动,在时间 t 内通过的位移 为 x,则它从出发开始经过 4x 的位移所用的时间为( t A. 4 C.2t 答案 C 1 1 t2 1 解析 由位移公式得 x= at2,4x= at′2,所以 2= ,故 t′=2t,C 正确. 2 2 t′ 4 2.(由 v-t 图象求位移)某物体运动的 v-t 图象如图 7 所示,根据图象可知,该物体( ) t B. 2 D.4t )

图7 A.在 0 到 2s 末的时间内,加速度为 1m/s2 B.在 0 到 5s 末的时间内,位移为 10m C.在 0 到 6s 末的时间内,位移为 7.5m D.在 0 到 6s 末的时间内,位移为 6.5m 答案 AD Δv 2 解析 在 0 到 2s 末的时间内物体做匀加速直线运动, 加速度 a= = m/s2=1 m/s2, 故A正 Δt 2 1 1 确.0 到 5s 内物体的位移等于梯形面积 x1=( ×2×2+2×2+ ×1×2) m=7m, 故 B 错误. 在 2 2 1 5s 到 6s 内物体的位移等于 t 轴下面三角形面积 x2=-( ×1×1) m=-0.5m, 故 0 到 6s 内物 2

体的位移 x=x1+x2=6.5m,C 错误,D 正确. 3.(对 x-t 图象的认识)甲、乙两位同学在放学时,从学校所在地骑自行车沿平直的公路回 家,先到乙同学家,休息一会,甲同学继续骑车前行,在 70min 时到家,甲同学的 x-t 图 象如图 8 所示,下列说法正确的是( )

图8 A.在前 20min 内甲同学做匀加速运动 B.甲同学在乙同学家停留了 30min C.甲、乙两同学家相距 3.6km D.甲从离开学校至到家的这段时间内,平均速度为 2m/s 答案 BCD 解析 前 20min, 甲同学做匀速直线运动, A 错.20~50min 甲同学一直在乙同学家, B 对. 甲、 乙两同学家的距离为 8.4km-4.8km=3.6km,C 对.甲同学从学校到家的位移 x=8.4km=
3 x 8.4×10 - 8.4×10 3m,所用时间 t=70min=4200s,平均速度 v= = m/s=2 m/s,D 对. t 4200

4. (刹车类问题)一滑块在水平面上以 10m/s 的初速度做匀减速直线运动, 加速度大小为 2 m/s2. 求: (1)滑块 3s 时的速度; (2)滑块 10s 时的速度及位移. 答案 (1)4m/s (2)0 25m

解析 取初速度方向为正方向,则 v0=10m/s, a=-2m/s2 Δv 0-10 由 t= 得滑块停止所用时间 t= s=5s a -2 (1)由 v=v0+at 得滑块经 3s 时的速度 v1=10m/s+(-2)× 3 m/s=4m/s (2)因为滑块 5s 时已经停止,所以 10s 时滑块的速度为 0,10s 时的位移也就是 5s 时的位移, 1 1 由 x=v0t+ at2 得 x=(10×5- ×2×52) m=25m 2 2

题组一 匀变速直线运动的位移 at2 1.根据匀变速直线运动的位移公式 x=v0t+ ,关于做匀加速直线运动的物体在 t 秒内的 2

位移,下列说法正确的是( A.加速度大的物体位移大 C.末速度大的物体位移大 答案 D

) B.初速度大的物体位移大 D.以上说法都不对

1 解析 由 x=v0t+ at2 知,x 的大小与初速度、加速度、时间都有关,t 一定时,x 与两个量 2 有关,不能简单地说初速度大或加速度大,位移一定大,A、B、C 均错,D 对. 2.某质点的位移随时间变化的关系是 x=4t+4t2,x 与 t 的单位分别为 m 和 s,设质点的初 速度为 v0,加速度为 a,下列说法正确的是( A.v0=4m/s,a=4 m/s2 C.前 2s 内的位移为 24m 答案 BC 解析 1 将位移随时间变化的关系与位移公式 x=v0t+ at2 相对照即可判定 v0=4m/s,a=8 2 )

B.v0=4m/s,a=8 m/s2 D.2s 末的速度为 24m/s

m/s2,A 错误,B 正确.把 t=2s 代入公式可得 x=24m,C 正确.由于 v=v0+at,即 v=4 +8t,把 t=2s 代入可得 v=20m/s,D 错误. 3.一个物体由静止开始做匀加速直线运动,第 1s 末的速度达到 4m/s,物体在第 2s 内的位 移是( )

A.6mB.8mC.4mD.1.6m 答案 A v1 4 解析 根据速度时间公式 v1=at1,得 a= = m/s2=4 m/s2.第 1s 末的速度等于第 2s 初的速 t1 1 1 1 度,所以物体在第 2s 内的位移 x2=v1t2+ at2 =4×1m+ ×4×12m=6m.故选 A. 2 2 2 题组二 利用 v-t 图象求位移 4.—质点沿 x 轴做直线运动,其 v-t 图象如图 1 所示.质点在 t=0 时位于 x=0 处,开始 沿 x 轴正向运动.当 t=8s 时,质点在 x 轴上的位置为( )

图1 A.x=3m C.x=9m 答案 A 解析 在 v-t 图象中图线与时间轴所围的面积表示了质点的位移, 由 v-t 图象可知, 在 0~ B.x=8m D.x=0

?2+4?×2 4s 内图线位于时间轴的上方,表示质点沿 x 轴正方向运动,其位移为正,x1= m= 2 6m,在 4~8s 内图线位于时间轴的下方,表示质点沿 x 轴负方向运动,其位移为负,x2=- ?2+4?×1 m=-3m,8s 内质点的位移为:6m+(-3m)=3m,故 A 正确. 2 5.某军事试验场正在平地上试射地对空导弹,若某次竖直向上发射导弹时发生故障,造成 导弹的 v-t 图象如图 2 所示,则下述说法中正确的是( )

图2 A.0~1s 内导弹匀速上升 B.1~2s 内导弹静止不动 C.3s 末导弹回到出发点 D.5s 末导弹恰好回到出发点 答案 D 解析 v-t 图象的斜率代表加速度,0~1s 斜率不等于 0,且斜率恒定,即物体在做匀变速 运动,A 错.1~2s 内斜率为 0 但速度不等于 0,为匀速直线运动,B 错.v-t 图象与时间轴 所围成的面积代表位移,时间轴以上代表位移为正,时间轴以下代表位移为负,所以 3s 末 导弹位移最大,即到达最高点,5s 末总位移为 0,导弹回到出发点,C 错,D 对. 6.质点做直线运动的 v-t 图象如图 3 所示,规定向右为正方向,则该质点在前 8s 内平均速 度的大小和方向分别为( )

图3 A.0.25m/s;向右 B.0.25m/s;向左 C.1m/s;向右 D.1m/s;向左 答案 B 1 1 x 解析 由题图得前 8s 内的位移 x=[ ×3×2+ ×5×(-2)] m=-2m,则平均速度 v = = 2 2 t -2 m/s=-0.25 m/s,负号表示方向向左.B 正确. 8

7.竖直升空的火箭,其速度—时间图象如图 4 所示,由图可知以下说法正确的是(

)

图4 A.火箭在 40s 时速度方向发生变化 B.火箭上升的最大高度为 48000m C.火箭经过 120s 落回地面 D.火箭经过 40s 到达最高点 答案 B 解析 由速度—时间图象知, 火箭前 40s 向上匀加速运动, 40~120s 向上做匀减速直线运动, 1 所以 A、C、D 错.上升的最大高度 x= ×800×120m=48000m,B 对. 2 题组三 对 x-t 图象的理解 8.质点沿直线运动,其位移—时间图象如图 5 所示,关于质点的运动,下列说法中正确的是 ( )

图5 A.2s 末质点的位移为零,前 2s 内位移为“-”,后 2s 内位移为“+”,所以 2s 末质点改 变了运动方向 B.2s 末质点的位移为零,该时刻质点的速度为零 C.质点做匀速直线运动,速度大小为 0.1m/s,方向与规定的正方向相反 D.质点在 4s 时间内的位移大小为 0.4m,位移的方向与规定的正方向相同 答案 D 解析 由题图可知:质点从距原点负方向 0.2m 处沿规定的正方向做匀速直线运动,经 4s 运动到正方向 0.2m 处,在 x-t 图象中,“+”号表示质点在坐标原点正方向一侧,“-” 号表示质点位于原点的负方向一侧, 与质点实际运动方向无关, 位移由“-”变为“+”并 不表示质点运动方向改变.由图象的斜率可得质点运动速度大小为 0.1m/s,综上所述,选项 A、B、C 错误,D 正确. 9.如图 6 所示为甲、乙两物体运动的 x-t 图象,则下列说法正确的是( )

图6 A.甲做变速直线运动,乙做匀速直线运动 B.两物体的初速度都为零 C.在 t1 时间内两物体平均速度大小相等 D.相遇时,甲的速度大于乙的速度 答案 ACD 解析 由 x-t 图象形状可知,甲做变速直线运动,乙做匀速直线运动,两物体的初速度大 小不能确定,故 A 对,B 错.0~t1 时间内,甲、乙的位移相同,平均速度相同,C 对.t1 时 刻甲、乙相遇,根据 x-t 图象斜率等于速度大小的特点知,v 甲>v 乙,D 对. 10.甲、乙两物体在同一直线上运动的 x-t 图象如图 7 所示,以甲的出发点为原点,出发 时刻为计时起点.则从图象可以看出( )

图7 A.t2 到 t3 这段时间内甲的速度大于乙的速度 B.乙比甲先出发 C.甲开始运动时,乙在甲前面 x0 处 D.甲在中途停了一会儿,最终也没追上乙 答案 AC 解析 在 t2~t3 这段时间内, 甲的图线斜率大于乙的图线斜率, 所以甲的速度大于乙的速度, A 项正确.由题图知甲和乙同时出发,且乙在甲前面 x0 处,故 B 项错,C 项正确.在 t3 时 刻,甲追上了乙,D 项错. 题组四 刹车类问题和综合应用 11. 汽车以 10m/s 的速度在平直公路上匀速行驶, 刹车后做匀减速运动经 2 s 速度变为 6 m/s, 求: (1)刹车后 2s 内前进的距离及刹车过程中的加速度; (2)刹车后前进 9m 所用时间; (3)刹车后 8s 内前进的距离. 答案 (1)16m -2m/s2 (2)1s (3)25m

解析 (1)取初速度方向为正方向,

汽车刹车后做匀减速直线运动, 由 v=v0+t1 得 v1-v0 6-10 2 a= = m/s =-2 m/s2, t1 2 负号表示加速度方向与初速度方向相反. 1 再由 x=v0t+ at2 可求得 x1=16m, 2 1 (2)由位移公式 x=v0t+ at2 2 1 可得 9=10t+ ×(-2)t2,解得 t2=1s(t3=9s,不符合实际,舍去),即前进 9m 所用时间为 2 1s. (3)设汽车刹车过程所用时间为 t′, 则汽车经过时间 t′速度变为零. 由速度公式 v=v0+at 可得 t′=5s, 即刹车 5s 后汽车就已停止运动, 在 8s 内位移即为 5s 内位移, 1 1 故 x′=v0t′+ at′2=(10×5) m+[ ×(-2)×52] m=25m. 2 2 12.物体由静止开始在水平面上行驶,0~6s 内的加速度随时间变化的图象如图 8 甲所示.

图8 (1)在图乙中画出物体在 0~6s 内的 v-t 图象; (2)求在这 6s 内物体的位移. 答案 (1)见解析图 (2)18m 解析 (1)第 1s 内为初速度为 0 的匀加速直线运动,末速度 v1=at1= 4m/s,速度—时间图象是倾斜的直线,1~4s 加速度为 0,速度不变为 匀速直线运动,4~6s 初速度即第 1s 的末速度 v1=4m/s,加速度 a′= -2 m/s2,末速度 v6=v1+a′t2=0,第 1s 和最后 2s 的速度—时间图象是倾斜的直线,图象 如图所示. ?3+6?×4 (2)速度—时间图象与 t 轴所围成的面积代表位移,即 x= m=18m 2 13.在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车.某段高速公 路的最高车速限制为 108km/h.设某人驾车正以最高车速沿该高速公路行驶, 该车刹车时产生

的加速度大小为 5 m/s2,该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为 0.5s.计 算行驶时的安全车距至少为多少? 答案 105m 解析 汽车原来的速度 v0=108km/h=30 m/s 运动过程如图所示

在反应时间 t1=0.5s 内,汽车做匀速直线运动的位移为 x1=v0t1=30×0.5m=15m 0-30 刹车后,汽车做匀减速直线运动,滑行时间 t2= s=6s -5 1 1 汽车刹车后滑行的位移为 x2=v0t2+ at2 =30×6m+ ×(-5)×62m=90m 2 2 2 所以行驶时的安全车距应为 x=x1+x2=15m+90m=105m


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