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第4章


第二篇 材料力学
第四章 材料力学的基本概念

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几个概念
在工程静力学中,忽略了物体的变形,将所研 究的对象抽象为刚体。实际上,任何固体受力后其 内部质点之间均将产生相对移动,使其初始位置发 生改变,称之为位移 (displacement) ,从而导致物 体发生变 形(d

eformation)。 工程上、绝大多数物体的变形均被限制在弹性范 围内,即当外加载荷消除后,物体的变形随之消失, 这时的变形称为弹性变形(elastic deformation),相 应的物体称为弹性体(elastic body)。
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一是固体力学 (solid mechanics) ,即研究物体

材 在外力作用下的应力、变形和能量,统称为应力 料 分析(stress analysis)。 但是,材料力学又不同 力 于固体力学,材料力学所研究的固体仅限于杆类 学 物体,例如杆、轴、梁等。 的 二是材料科学(Materials Science)中的材料的力 研 学行为 (behavior of materials),即研究材料在 究 外力和温度作用下所表现出的力学性能 内 (mechanics properties) 和失效 (failure) 行为。 容 以上两方面的结合使材料力学成为工程设计
(engineering design) 的重要组成部分,即设计出杆状 宏观力学行为,不涉及材料的微观机理。 构件或零部件的合理形状和尺寸。以保证它们具有足够 的强度、刚度和稳定性。 2014-2-24
但是,材料力学所研究的力学行为仅限于材料的

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4.1 关于材料的基本假定 4.1.1 均匀连续性假定
homogenization and continuity assumption 假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。 认为物体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。

好处:
物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐 标的连续函数,从而有利于建立相应的数学模型。

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4.1.2 各向同性假定
各向同性假定 (isotropy assumption): 假定弹性 体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据 这一假定,可以用一个参数描写各点在各个方向上的 某种力学性能。

大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的,例
如金属材料,其单个晶粒呈结晶各向异性(anisotropy

of crystallographic),但当它们形成多晶聚集体的金
属 时,呈随机取向,因而在宏观上表现为各向同性。

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4.1.3 小变形假定
小变形假定:假定物体在外力作用下所产生的变形

与物体本身的几何尺寸相比是 很小 的。根据这一假
定,当考察变形固体的平衡问题时,一般可以略去变 形的影响,因而可以直接应用工程静力学方法。

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4.2 弹性杆件的外力与内力
4.2.1 外力

?作用在结构构件上的外力包括外加载荷和约束力,
二者组成平衡力系。

?外力分为体积力和表面力,简称体力和面力。
?体力分布于整个物体内,并作用在物体的每一个质
点上。重力、磁力以及由子运动加速度在质点上产生 的惯性力都是体力。

?面力是研究对象周围物体直接作用在其表面上的力。
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4.2.2 内力与内力分量

?材料力学中的内力不同于工程静力学中物体系统中各个
部分之间的相互作用力,也不同于物理学中基本粒子之间的相 互作用力, 相对位置发生变化,由此而产生的附加内力,即变形体因变形 而产生的内力。

?而是指构件受力后发生变形,其内部各点(宏观上的点)的 ?这种内力确实存在,例如受拉的弹簧,其内力力图 使弹
簧恢复原状;人用手提起重物时,手臂肌肉便产生内力等等。
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4.2.3 截面法(section method) 具体操作:

用一假想截面将处于平衡状态下的承载物体截为 A、B两部分, 如图所示。为了使其中任意一部分保持平衡,必须在所截的截 面上作用某个力系,这就是A、B两部分相互作用的内力。 根据牛顿第三定律, 作用在A部分截面上的内力与作用在 B部 分同一截面上的内力在对应的点上,大小相等、方向相反。
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由材料的连续性假定,截面 上连续分布的内力系可以向 截面形心简化为一个 合力 和 主矩
内力分量 FN将使杆件产生沿轴线方向的伸长或压缩 变形,称为轴向力,简称轴力(normal force)
内力分量FQy和FQz将使两个相邻截面分别产生沿y和z 方向的相互错动,这种变形称为剪切变形,这两个内力 分量称为剪力(shearing force)。 内力偶Mx将使杆件的两个相邻截面产生绕杆件轴线的 相对转动,这种变形称为扭转变形,该内力偶为扭矩。
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内力偶My和Mz将使杆件的两个相邻截面产生绕横截 面上的某一轴线的相对转动,从而使杆件在 xz 、 xy平 面 内 发 生 弯 曲 变 形 , 这 两 个 内 力 偶 为 弯 矩 (bending moment)。
举例:

F
FAx=0

A
m FAy

M’
M

FP

F’
FBy
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截面法步骤:
?首先应用工程静力学 方法,确定作用在杆件上的所 有未知的外力。 ?在所要考察的横截面处,用假想截面将杆件截开, 分为两部分。

?考察其中任意一部分的平衡,在截面形心处建立合 适的直角坐标系,由平衡方程计算出各个内力分量的 大小与方向。
?考察另一部分的平衡,以验证所得结果的正确性。

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需要指出的是,当用假想截面将杆件截开,考察其 中任意一部分平衡时。实际上已经将这一部分当作 刚体 。所以所用的平衡方法与在工程静力学中的刚 体平衡方法完全相同。

4.3 弹性体受力与变形特征 ?作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡,组成
平衡力系。这是弹性体受力、变形的第一个特征。这表明,弹件
体由变形引起的内力不能是任意的。

?弹 性 体 受 力 后 发 生 的 变 形 也 不 是 任 意 的 , 必 须 满 足 协 调
(compatibility) 一致的要求。这是弹性体受力、变形的第二个特 征。

?此外,弹性体受力后发生的变形还与材料的力学性能有关,这
表明,受力与变形之间存在确定的关系,称为物性关系。
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变形后两部分相互重叠

变形后两部分相互分离

变形后两部分协调一致

在外力作用下,弹性体的变形应使弹性体各相 邻部分,既不能断开,也不能 发生重叠的现象,

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4.4 杆件横截面上的应力
材料力学不仅要确定其系统内 力系的合力及其分量,而且还 要确定横截面上的内力分布情 况,确定那些位置的内力最大, 即最危险的位置。 平均应力(average stress) 即内力在某一区域的平均值

?FR ? ? ?A
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当该面积无限小时,其极值便能反应该点处的内力强弱程度, 也即集度(density), 应力就是内力在一点处的集度。
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正应力(normal stress)

?FN ? ? lim ?A?0 ?A
切应力(shear stress)

? ? lim

?FQ ?A

?A?0

单位均为Pa(N/m2)或MPa (MN/m2)

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4.4.2 正应力、切应力与内力分量之间的关系
内力分量是截面上分布内力系的简化结果。

? dA ? F N ? ? dA y ? ? M ? ? z ? ? d A z ? M ? ? y ?
如果仅仅根据平衡条件,只能确定横截面上的内力分量与 外力之间的关系,不能确定各点处的应力。因此,确定横 截面上的应力还需 增加其他条件。
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4.5 正应变与切应变
微元体或微元(element)
?如果将弹性体看作由许多微单元体所组成,这些微 单元体简称微元体或微元。 ?弹性体整体的变形则是所有微元变形累加的结果。 而微元的变形则与作 用在其上的应力有关。

正应变
对于正应力作用下的微元, 沿着正应力方向和 垂直 于正应力方向将产生伸长和缩短,这种变形称为线 变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量,称为 线应变或正应变(normal strain),用

? x 表示。根据
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微元变形前、后x 方向长度 dx的相对改变量,有:
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正应变

du ?x ? dx
dx表示变形前微元在正应力作用方向的长度

du为微元体变形后相距dx的两截面沿正应力 方向的相对位移。

? x的下标x表示应变方向。
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切应变

切应力作用下的微元体将发生 剪切变形,剪切变形程度用微 元体直角的改变量度量。微元 直角改变量称为切应变(shear strain),用γ表示。
γ =α+β, γ的单位为弧度 (rad)。

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4.6 线弹性材料的应力-应变关系
对于工程中常用材料,实验结果表 明:若在弹性范围内加载 (应力小于 某一极限值),对于只承受单方向正 应力或承受切应力的微元体,正应 力与正应变以及切应力与切应变之 间存在着线性关系

胡克定律(Hooke law)

? x ? E? x
? x ? G? x
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E为弹性模量或杨氏模量 Modulus of elasticity Young modulus G为切变模量(Shearing modulus)
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4.7 杆件受力与变形的基本形式
4.7.1 拉伸或压缩
当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时,杆件 将产生轴向伸长或压缩变形。这种受力与变形形式称为轴向 拉伸 或压缩,简称拉伸或压缩(tension or compression)

拉伸和压缩时,杆横截面上只有轴力FN 一个内力分量。
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4.7.2 剪切
作用线垂直于杆件轴线的力,称为横向力(transverse force) 大小相等、方向相反、作用线互相 平行、相距很近两个横向力作用在杆 件上,当这两个力相互错动并保持二 者作用线之间的距离不变时,杆件的 两个相邻截面将产生相互错动, 这种 变形称为剪切变形。 这种受力与变形形式称为剪切(shear)。剪切时,杆 件横截面上只有剪力FQ,FQv或FQz一个内力分量。
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4.7.3 扭转

当作用面互相平行的两个力偶作用在杆件的两个横截 面内时,杆件的横截面将产生绕杆件轴线的相互转动,这 种变形称为扭转变形。 杆 件 的 这 种 受 力 与 变 形 形 式 称 为 扭 转 (torsion or twist)。 杆件承受扭转变形时, 其横截面上只有扭矩Mx一 个内力分量。
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4.7.4 平面弯曲
当外加力偶或横向力作用于杆件纵向的某一平面内时, 杆件的轴线将在加载平面内弯曲成曲线。这种变形形式称为 平面弯曲(plane bending),简称弯曲(bending)

纯弯曲
pure bending

横向弯曲
transverse bending
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4.7.5 组合受力与变形
q

F

在一定条件下,可以将组合受力杆件简化为 基本受力形式的组合。
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重申几个概念
工程上将只承受拉伸的杆件统称为杆,
bar

只承受压缩的杆件统称为压杆或柱;
compression bar column

主要承受扭转的杆件统称为轴;
axis

主要承受弯曲的杆件统称为梁。
beam
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4.8 结论与讨论

?关于工程静力学模型与材料力学模型
?刚体与变形体都是工程构件在确定条件下的力学简化模型。

?关于弹性体受力与变形特点
? 弹性体在载荷作用下,将产生连续分布的内力。

? 弹性体内力应满足:与外力的平衡关系;弹性体自身变形协调关系;
力与变形之间的物性关系。 这是材料力学与工程静力学的重要区别。

?关于工程静力学概念与原理在材料力学中的可用
性与限制性
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杆件变形的基本形式
内容 种类 轴向拉伸 及 压缩 Axial Tension 剪切 Shear 扭转 Torsion 平面弯曲 Bending 外力特点 变形特点

组合受力(Combined Loading)与变形

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作业: 4-2

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