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【最高考】2016届高考数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时训练 理


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第九章 平面解析几何

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第 1 课时 直线的倾斜角与斜率

π π 1. 直线 xsin 7 +ycos 7 =0 的倾斜角 α 是____________. 6 答案:7π π sin 7 π 6 解析:tan α

=- =-tan 7 =tan7π ,∵ α ∈[0,π ), π cos 7 6 ∴ α =7π . 2. (原创)若直线 l 沿 x 轴的负方向平移 2 个单位,再沿 y 轴的正方向平移 3 个单位后,又回到原来的位 置,则直线 l 的斜率为____________. 3 答案:-2 解析:设直线上任一点为(x,y),按题意平移后的点为(x-2,y+3),利用斜率公式得直线 l 的斜率为 3 -2.

?1 ? 3. 若三点 A(-2,3)、B(3,-2)、C 2,m 共线,则实数 m=________. ? ?
1 答案:m=2 解析:由 A、B、C 三点共线,则 kAB=kAC.∴ -2-3 m-3 1 =1 ,解得 m=2. 3+2 2+2

4. 如果图中的三条直线 l1、 l2、 l3 的斜率分别为 k1、 k2、 k3, 则 k1、 k2、 k3 从小到大的排列顺序为__________.

答案:k3<k1<k2

?π ? ?π ? 解析:由图知,k1<0,k2>0,k3<0.另外,tanα 1=k1<0,α 1∈ 2 ,π ,tanα 3=k3<0,α 3∈ 2 ,π , ? ? ? ? ?π ? 而 α 3<α 1,正切函数在 2 ,π 上单调递增,所以 k3<k1.综上,k3<k1<k2. ? ?

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5. 过点 P(-1,-1)的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 AB 的中点,则直线 l 的 斜率和倾斜角分别为________,________. 答案:-1 135° a+0 ? ? 2 =-1, 解: 设 A(a, 0), B(0, b), 则? 0+b ? ? 2 =-1, =-1,故直线 l 的倾斜角为 135°.
?a=-2, ? -2-0 ∴ ? 即 A(-2, 0), B(0, -2), ∴ kAB= 0-(-2) ? ?b=-2.

? π π ? ? 2π ? 则 k 的取值范围是____________. 6. 若直线 l 的斜率为 k, 倾斜角为 α , 而 α ∈ 6 , 4 ∪ 3 ,π , ? ? ? ?
答案:[- 3,0)∪?

? 3 ? ,1? ?3 ?

? 3 ? ?π π ? ? 2π ? 解析:当 α ∈ 6 , 4 时,k=tan α ∈? ,1?;当 α ∈ 3 ,π 时,k=tan α ∈[- 3,0).综 ? ? ? ? ?3 ?
上 k∈[- 3,0)∪?

? 3 ? ,1?. ?3 ?

7. (2014?郑州质检)直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且它的倾斜角是直线 l1 的倾斜角的 2 倍,则直线 l2 的方程为____________. 3 答案:y=-4(x-1) 2tanα 3 解析:由 tanα =3 可求出直线 l2 的斜率 k=tan2α = 2 =- ,再由 l2 过点(1,0)即可求得直线 4 1-tan α 3 方程为 y=-4(x-1). 8. (2014?贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范 围是__________.

?1 ? 答案:(-∞,-1)∪ 2,+∞ ? ?
2 2 解析:设直线 l 的斜率为 k,则方程为 y-2=k(x-1),在 x 轴上的截距为 1-k,令-3<1-k <3,解 1 得 k<-1 或 k>2. 9. 已知 α 、k 分别是直线 l 的倾斜角和斜率. 3 (1) 当 sinα =5时,求 k 的值; 3 (2) 当 cosα =5时,求 k 的值; 3 (3) 当 cosα =-5时,求 k 的值.
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3 4 3 解:(1) 当 sinα =5时,∵ α ∈[0,π ),∴ cosα =±5,∴ k=tanα =±4. 3 4 4 (2) 当 cosα =5时,∵ α ∈[0,π ),∴ sinα =5,∴ k=tanα =3. 3 4 4 (3) 当 cosα =-5时,∵ α ∈[0,π ),∴ sinα =5,∴ k=tanα =-3. 10. (2014?莱芜模拟)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 线段 PQ 有交点,求 m 的取值范围. 解:(解法 1)直线 x+my+m=0 恒过点 A(0,-1), -1-1 -1-2 3 kAP= =-2,kAQ= = , 0+1 0-2 2 1 3 1 2 1 则-m≥2或-m≤-2.∴ -3≤m≤2且 m≠0. 又 m=0 时,直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,

? 2 1? ∴ 所求 m 的取值范围是 -3,2 . ? ?

2-1 1 4 (解法 2)过 P、Q 两点的直线方程为 y-1= (x+1),即 y=3x+3,代入 x+my+m=0,整理得 x= 2+1 - 7m , m+3 7m 2 1 由已知-1≤- ≤2,解得-3≤m≤2. m+3

? 2 1? 即 m 的取值范围是 -3,2 . ? ?
11. 已知两点 A(-1,2),B(m,3). 3π (1) 若直线 AB 的倾斜角为 4 ,试求实数 m 的值; (2) 已知实数 m∈?-

? ?

3 ? ?,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 -1, 3-1?

3π 解:(1) 由直线 AB 的倾斜角为 4 知直线 AB 的斜率为-1, ∴ 3-2 =-1,解得 m=-2. m+1

π (2) ① 当 m=-1 时,α = 2 ;
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世纪金榜 圆您梦想 3 ? ? ② 当 m≠-1 时,m+1∈?- ,0?∪(0, 3], ? 3 ?
1 ? 3 ? ∴ k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

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? π π ? ? π 2π ? ∴ α ∈ 6,2 ∪ 2, 3 . ? ? ? ? ? π 2π ? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 α ∈ 6 , 3 . ? ?
12. 已知直线 kx+y-k=0 与射线 3x-4y+5=0(x≥-1)有交点,求实数 k 的取值范围.

?3 ? 解:kx+y-k=0 ? k(x-1)+y=0,直线系过定点(1,0)?斜率 k′=-k,可画图看出 k′∈ 4,+∞ ? ?
1? ? ∪ -∞,-4 , ? ? 4k-5 4k-1 3 ?1 ? ∴k∈(-∞,-4)∪ 4,+∞ .(或者由两直线方程联立,消去 y 得 x= ≥-1,即 ≥0 ? k≥ ? ? 3+4k 4k+3 1 3 4或 k<-4)

第 2 课时 直线的方程

1. 过两点(-1,1)和(2,7)的直线在 x 轴上的截距为________. 3 答案:-2 3 解析:由两点式可得过已知两点的直线方程为 2x-y+3=0,所以此直线在 x 轴上的截距为-2. π 2. 直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 2 所得的直线方程是____________. 答案:x+2y+4=0 π 解析:直线 2x-y-2=0 过点(0,-2)且斜率为 2,此直线绕点(0,-2),逆时针旋转 2 所得直线的斜 1 1 率为-2,故直线方程为 y=-2x-2,即 x+2y+4=0. 3. 已知 A(3,0),B(0, 4),P(x,y)是直线 AB 上一动点,则 xy 的最大值是________. 答案:3 x y 3 3 3 3 解析:直线 AB 的方程为3+4=1,设 P(x,y),则 x=3-4y,∴ xy=3y-4y2=4(-y2+4y)=4[-(y- 2)2+4]≤3. 4. 已知直线 l 过(2,1),(m,3)两点,则直线 l 的方程为________. 答案:2x-(m-2)y+m-6=0
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y-1 x-2 解析:由两点式可得过两点的直线为 = ,即 2x-(m-2)y+m-6=0. 3-1 m-2

π? π? ?π ?π 5. 如图,点 A 是函数 y=tan 4 x- 2 的图象与 x 轴的一个交点,点 B(3,t)在函数 y=tan 4 x- 2 的 ? ? ? ? 图象上,则直线 AB 的方程为______________. 答案:x-y-2=0 π? π π ?π ? 3π π ? 解析: 由 y=tan 4 x- 2 =0 得 A(2, 0), 点 B(3, t)在函数 y=tan( 4 x- 2 )的图象上得 t=tan 4 - 2 , ? ? ? ? y-1 x-3 解得 t=1,所以 B(3,1),由两点式得直线的方程为 = ,整理得 x-y-2=0. 0-1 2-3 6. 已知过点(0,1)的直线 l:xtanα -y-3tanβ =0 的斜率为 2,则 tan(α +β )=________. 答案:1 1 解析:依题意得,tanα =2,tanβ =-3, 1 2-3 tanα +tanβ 故 tan(α +β )= = 2=1. 1-tanα tanβ 1+3

7. (必修 2P77 习题 10 改编)已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都通过点 P(2,3),则经过两 点 M(a1,b1),N(a2,b2)的直线方程是__________. 答案:2x+3y+1=0 解析:∵ 直线过点 P(2,3),∴ 2a1+3b1y+1=0,2a2+3b2+1=0,∴ 点 M、N 的坐标为方程 2x+ 3y+1=0 的解,由定义知直线 2x+3y+1=0 过点 M、N,故过两点 M、N 的直线的方程为 2x+3y+1=0. 8. 已知△ABC 中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求: (1) △ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程; (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程. 解:(1) 平行于 BC 边的中位线就是 AB、AC 中点的连线.

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1 x+2 7 1 y + 2 ? ? ? ? 因为线段 AB、AC 中点坐标为 2,1 , -2,-2 ,所以这条直线的方程为 = .整理,得 6x- ? ? ? ? 1+2 7 1 2+2 x y 8y-13=0,化为截距式方程为13-13=1. 6 8 y+4 x-1 (2) 因为 BC 边上的中点为(2,3),所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 = ,即 7x-y-11= 3+4 2-1 x y 0,化为截距式方程为11-11=1. 7 9. 已知△ABC 的三个顶点为 A(2,8)、B(-4,0)、C(6,0),求过点 B 且将△ABC 面积平分的直线方程. y-0 x+4 解:AC 中点 D 的坐标 D(4,4),则直线 BD 即为所求,由直线方程的两点式得 = ,即 x-2y 4-0 4+4 +4=0.

10. 如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 1 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y=2x 上时,求直线 AB 的方程. 解:由题意可得 kOA=tan45°=1, 3 kOB=tan(180°-30°)=- 3 , 3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x. 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n? , 2 ?. ? 2 ?

m+n 1 m- 3n ? , ? 2 =2? 2 1 由点 C 在 y=2x 上,且 A、P、B 三点共线得? m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1, 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= 2 (x-1),
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3+ 3 3 = 2 , 3-1

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即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 11. 已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0. (1) 证明:直线恒过定点 M; (2) 若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程. (1) 证明:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 可化为(x-2y-3)m=-2x-y-4.
?x-2y-3=0, ?x=-1, ? ? 由? 得? ? ?-2x-y-4=0, ? ?y=-2,

∴ 直线必过定点 M(-1,-2). (2) 解:设直线的斜率为 k(k<0),则其方程为 y+2=k(x+1), 2 ∴ |OA|=1-k,|OB|=2-k,
2 2? 1 1? 1?(k-2) ? S△AOB=2?|OA|?|OB|=2 1-k (2-k)=2? -k ?.

?

?

?

?

∵ k<0,∴ -k>0, 1?(k-2) ? 1 4 ∴ S△AOB=2? -k ?=2[4+(-k)+(-k)]≥4. ? ? 4 当且仅当-k=-k,即 k=-2 时取等号, ∴ △AOB 的面积最小值是 4, 此时直线的方程为 y+2=-2(x+1),即 y+2x+4=0. 12. 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1) 求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2) 为使直线 l 不经过第二象限,求 a 的取值范围. 3 1 1 3 ?1,3? (1) 证明: 将直线 l 的方程整理为 y-5=a(x-5), ∴ 直线 l 的斜率为 a, 且过定点 A(5, ) , 而点 A 5 5 5
2

?

?

在第一象限,∴ 直线 l 恒过第一象限. (2) 解:要使直线 l 不经过第二象限,则直线 l 所在的区域介于 AO 和 AB 之间,如图,包含直线 AO, 但不包含直线 AB. ∴ a≥3.

第 3 课时 直线与直线的位置关系
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1. (2014?镇江期末)点 A(1,2)关于点 P(3,4)对称的点的坐标为____________. 答案:(5,6) 解析:由中点公式知(2?3-1,2?4-2)=(5,6). 2. “m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+2=0 与直线 3x+my+3=0 垂直”的 ____________________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件. 答案:充分不必要 1 1 解析:当 2m-1=0,即 m=2时,两直线方程为 x=-4 和 3x+2y+3=0,此时两直线不垂直.当 m 1 m =0 时,两直线方程为 y=2 和 x=-1,此时两直线垂直.当 m≠0 且 m≠2时,两直线方程为 y= x 1-2m + 2 3 3 m 3 m ? 3? 和 y=-mx-m,两直线的斜率为 ,-m,要使两直线垂直,则有 ? - =-1,解 1-2m 1-2m 1-2m ? m?

得 m=-1,所以直线 mx+(2m-1)y+2=0 与直线 3x+my+3=0 垂直,则有 m=-1 或 m=0,所以 m= -1 是两直线垂直的充分不必要条件. 3. (2014?武汉调研)已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 与 x+ay=0 上,且 AB 线段

? 10? 的中点为 P 0, a ,则线段 AB 的长为____________. ? ?
答案:10 1 解析:由两直线垂直,得-a?2=-1,解得 a=2.所以中点 P 的坐标为(0,5).则 OP=5,在直角三 角形中斜边的长度 AB=2OP=2?5=10,所以线段 AB 的长为 10. 4. 若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 恒过定点________. 答案:(0,2) 解析:由于直线 l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线 l1:y =k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 恒过定点(0,2). 5. 直线 l 经过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点, 且过点(5, 1), 则 l 的方程是________________. 答案:x+3y-8=0 解析:设 l 的方程为 7x+5y-24+λ (x-y)=0,即(7+λ )x+(5-λ )y-24=0,则(7+λ )?5+5-λ -24=0,解得 λ =-4.l 的方程为 x+3y-8=0. 6. 已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是________. 答案:[0,10] |4?4-3?a-1| |15-3a| |15-3a| 解析:由题意得,点到直线的距离为 = .又 ≤3,即|15-3a|≤15, 5 5 5 解得,0≤a≤10,所以 a∈[0,10].

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答案:4

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2 2

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7. 若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m +n 的最小值是________.

解析:设原点到点(m,n)的距离为 d,所以 d2=m2+n2.又(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以原点 到直线 4x+3y-10=0 的距离为 d 的最小值,此时 d= |-10| =2,所以 m2+n2 的最小值为 4. 42+32

8. 已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1) l1 与 l2 相交; (2) l1⊥l2; (3) l1∥l2; (4) l1、l2 重合. 解: (1) 由已知 1?3≠m(m-2), 即 m2-2m-3≠0, 解得 m≠-1 且 m≠3, 故当 m≠-1 且 m≠3 时, l1 与 l2 相交. 1 (2) 当 1?(m-2)+m?3=0,即 m=2时,l1⊥l2. (3) 当 1?3=m(m-2)且 1?2m≠6?(m-2)或 m?2m≠3?6,即 m=-1 时,l1∥l2. (4) 当 1?3=m(m-2)且 1?2m=6?(m-2),即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 9. 过点 A(3,-1)作直线 l 交 x 轴于点 B,交直线 l1:y=2x 于点 C,若|BC|=2|AB|,求直线 l 的方程.

解:当 k 不存在时 B(3,0),C(3,6).此时|BC|=6,|AB|=1, |BC|≠2|AB|.所以直线 l 的斜率存在. 所以设直线 l 的方程为 y+1=k(x-3).

? 1 ? 令 y=0,得 B 3+k,0 . ? ?
?y=2x, ? 1+3k 由? 得 C 点横坐标 xC= . k-2 ?y+1=k(x-3), ?

若|BC|=2|AB|,则|xB-xC|=2|xA-xB|.

?1+3k 1 ? ?1? 所以? k-2 -k -3?=2 k . ? ? ? ?
1+3k 1 2 1+3k 1 2 所以 -k -3=k 或 -k -3=-k, k-2 k-2 3 1 解得 k=-2或 k=4. 所以所求直线 l 的方程为 3x+2y-7=0 或 x-4y-7=0. 10. 已知直线 l:3x-y+3=0,求:
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(1) 点 P(4,5)关于 l 的对称点;

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(2) 直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程. 解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). y′-y ∵ kPP′?kl=-1,即 ?3=-1.① x′-x 又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, x′+x y′+y ∴ 3? 2 - 2 +3=0.② -4x+3y-9 ? ?x′= 5 ,③ 由①②得? 3x+4y+3 ? ?y′= 5 .④ (1) 把 x=4,y=5 代入③④得 x′=-2,y′=7, ∴ P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). -4x+3y-9 3x+4y+3 (2) 用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x、y,得关于 l 的对称直线方程为 - -2 5 5 =0,化简得 7x+y+22=0. 11. 过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+3y+6=0 截得的线段长 AB= 2, 求直线 l 的方程. 解:设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),
?y=kx+2-k, ? ?3k-7,-5k+8? 由? 解得 A? ?; ?3k+4 3k+4 ? ? ?4x+3y+1=0, ? ?y=kx+2-k, ?3k-12,8-10k? 由? 解得 B? ?. ? 3k+4 3k+4 ? ?4x+3y+6=0, ?

∵ AB= 2, ∴

? 5 ? +? 5k ? = 2, ?3k+4? ?3k+4?

2

2

整理得 7k2-48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=-7. 因此,所求直线 l 的方程为 7x-y-5=0 或 x+7y-15=0. 12. 两条平行直线分别过点 P(-2,-2)、Q(1,3),它们之间的距离为 d,如果这两条直线各自绕着 P、 Q 旋转并且保持互相平行. (1) 求 d 的变化范围; (2) 用 d 表示这两条直线的斜率; (3) 当 d 取最大值时,求两条直线的方程.

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Ax+By+C2=0,

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解:(1) (解法 1)设过点 P(-2,-2)的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0,过点 Q(1,3)的直线 l2 的方程为

由于点 P、Q 在直线上,得-2A-2B+C1=0,A+3B+C2=0, 两式相减得 C1-C2=3A+5B, |C1-C2| |3A+5B| 两直线间的距离 d= 2 = , A + B2 A2+B2 即(d2-9)A2-30AB+(d2-25)B2=0.(*) ① 当 B≠0 时,两直线斜率存在,有 2 ?A? ?A? (d2-9) B -30 B +d2-25=0. ? ? ? ? 由 d>0 及Δ ≥0,得(-30)2-4(d2-9)(d2-25)≥0, 从而 0<d≤ 34; ② 当 B=0 时,两直线分别为 x=-2 与 x=1,它们间的距离为 3,满足上述结论. 综上所述,d 的取值范围是(0, 34]. (解法 2)两平行直线在旋转过程中,0<d≤PQ,而 PQ= 34,故 d 的取值范围是(0, 34]. A 15±d 34-d2 A (2) 当 B≠0 时,两直线的斜率存在,从方程(*)中解得B= ,直线的斜率 k=-B=- 2 d -9 15±d 34-d2 . d2-9 A 3 (3) 当 d= 34时,k=-B=-5,对应两条直线分别为 l1:3x+5y+16=0,l2:3x+5y-18=0.

第 4 课时 圆 的 方 程

1. 已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程是 __________________. 答案:(x-2)2+(y+3)2=13 解析:由题意可知一条直径的两个端点分别为(4,0)和(0,-6),则直径长为 42+62=2 13,所以所 求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 2. (2014?银川模拟改)圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是__________. 答案:x2+y2-10x=0 解析:设圆心为(0,b),半径为 r,则 r=|b|,∴ 圆的方程为 x2+(y-b)2=b2,∵ 点(3,1)在圆上, ∴ 9+(1-b)2=b2,解得 b=5,∴ 圆的方程为 x2+y2-10y=0.

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是____________. 答案:(x+2)2+y2=5

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3. 已知点 A 是 Rt△ABC 的直角顶点,且 A(a,2),B(-4,a),C(a+1,1),则△ABC 的外接圆的方程

a-2 a-2 解析:kAB= ,kAC=-1.∵ AB⊥AC,∴ kAB?kAC= ?(-1)=-1,解得 a=-1.∴ △ABC -4-a -4-a 的外接圆是以 B(-4,-1),C(0,1)为直径的圆,∴ 所求圆的方程是(x+2)2+y2=5. 4. 若圆的方程为 x2+y2+kx-4y+k2=0,则当圆的面积最大时,圆心坐标为__________. 答案:(0,2) 2 3k2 3k2 ? k? 解析:圆的方程为 x2+y2+kx-4y+k2=0 化为标准方程为 x+2 +(y-2)2=4- 4 ,∵ r2=4- 4 ≤ ? ? 4,∴ k=0 时 r 最大.此时圆心为(0,2). 5. (2014?东莞调研)已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的 值为__________. 答案:6 m ? m ? 解析:圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点,则 x-y+3=0 过圆心 - 2 ,0 ,即- 2 +3=0, ? ? ∴ m=6. 6. (2014?湘潭二模改)过点 M(1, 2)的直线 l 与圆 C: (x-2)2+y2=9 交于 A、 B 两点, C 为圆心, 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为__________. 答案:x-2y+3=0 2-0 1 解析:若∠ACB 最小,则 CM⊥l,可知 C(2,0),∴ kCM= =-2,∴ 直线 l 的斜率为 k=2,∴ 直 1-2 1 线 l 的方程为 y-2=2(x-1),即 x-2y+3=0.

7. 已知两点 A(0,-3)、B(4,0),若点 P 是圆 x2+y2-2y=0 上的动点,则△ABP 面积的最小值为 __________. 11 答案: 2 x y 解析: 如图, 过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P, 这时△ABP 的面积最小. 直线 AB 的方程为4+ -3 |3?0-4?1-12| 16 =1,即 3x-4y-12=0,圆心 C 到直线 AB 的距离为 d= = 5 ,∴ △ABP 的面积的最小 32+(-4)2 1 ?16 ? 11 值为2?5? 5 -1 = 2 . ? ?

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8. 在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面 积为________. 答案:10 2 解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内,故过点 E(0,1) 的最短弦长 BD=2 10-(12+22)=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点 E(0,1) 1 1 的最长弦长等于该圆的直径, 即 AC=2 10, 且 AC⊥BD, 因此四边形 ABCD 的面积为2AC?BD=2?2 10? 2 5=10 2. 9. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且 CD=4 10. (1) 求直线 CD 的方程; (2) 求圆 P 的方程. 解:(1) 直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2) 设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① ∵ 直径 CD=4 10,∴ PA=2 10, ∴ (a+1)2+b2=40.②
? ?a=-3, ? ?a=5, 由①②解得? 或? ?b=6 ?b=-2. ? ?

∴ 圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴ 圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40. 10. (2014?连云港调研)已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2 =0 对称. (1) 求圆 C 的方程; → → (2) 设 Q 为圆 C 上的一个动点,求PQ?MQ的最小值. a-2 b-2 ? ? 2 + 2 +2=0, 解:(1) 设圆心 C(a,b),则? b+2 ?a+2=1, ?
?a=0, ? 解得? 则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2, ?b=0, ? 第 13 页(共 41 页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司

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故圆 C 的方程为 x +y =2.
2 2

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→ → (2) 设 Q(x,y),则 x2+y2=2,PQ?MQ=(x-1,y-1)?(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2. ∵ P 在圆 C 上,故令 x= 2cos θ ,y= 2sinθ , π? → → ? ∴ PQ?MQ=x+y-2= 2(sinθ +cosθ )-2=2sin θ + 4 -2, ? ? → → ∴ PQ?MQ的最小值为-4. 11. 已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0),Q(2,0),R(0,1),且 CP 的斜率为-1. (1) 试求圆 C 的方程; (2) 过原点 O 作两条互相垂直的直线 l1、l2,且 l1 交圆 C 于 E、F 两点,l2 交圆 C 于 G、H 两点,求四边 形 EGFH 面积的最大值. E? ? D 解:(1) 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 C 点的坐标为 - 2 ,-2 ,且 PC 的斜率为-1, ? ? E -2-0

所以 D =-1.① - 2 -m 因为圆 C 通过不同的三点 P(m,0),Q(2,0),R(0,1), 1+E+F=0,② ? ? 所以?4+2D+F=0,③ ? ?m2+Dm+F=0.④ D=1, ? ?E=5, 联立①②③④,解得? F=-6, ? ?m=-3. 2 2 ? 1? ? 5? 25 所以圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y-6=0,即 x+2 + y+2 = 2 . ? ? ? ? 2 5? ? 1 ?EF? +d2= 2 2 13 (2) 圆心 C 的坐标为 -2,-2 ,圆心到 l1、l2 的距离设为 d1、d2,则 d2 + d = OC = ,又 1 2 1 2 ? ? ?2? 25 ?GH?2 25 2 2 2 2 ,? 2 ? +d2= 2 ,两式相加,得 EF +GH =74≥2EF?GH. 1 37 37 所以 S=2EF?GH≤ 2 ,即(S 四边形 EGFH)max= 2 .第 5 课时 直线与圆的位置关系

1. (2014?丽水模拟)直线 y=x+1 被圆 x2-2x+y2-3=0 所截得的弦长为____________. 答案:2 2 解析:题中的圆心坐标是(1,0),半径是 2,圆心(1,0)到直线 x-y+1=0 的距离等于 2,因此所求 的弦长等于 2 22-( 2)2=2 2.
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5 2. (必修 2P106 练习 3(2)改编)过坐标原点且与 x2+y2-4x+2y+2=0 相切的直线的方程为 ________________. 1 答案:y=-3x 或 y=3x 5 解析:过坐标原点的直线为 y=kx 与圆 x2+y2-4x+2y+2=0 相切,则圆心(2,-1)到直线的距离等 |2k+1| 10 10 1 1 于半径 2 ,即 2 = 2 ,解得 k=3或 k=-3,所以切线方程为 y=-3x 或 y=3x. 1+k 3. 已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是____________. 答案:相交 解析:由题意知点在圆外,则 a2+b2>1,圆心到直线的距离 d= <1,故直线与圆相交. a +b2
2

1

4. 过点(-4,0)作直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y-20=0 交于 A、B 两点,如果|AB|=8,则直线 l 的方程 为__________. 答案:5x+12y+20=0 或 x+4=0 解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,由|AB|=8 知,圆心(-1,2)到直线 l 的距离 d=3.当直 线 l 的斜率不存在,即直线 l 的方程为 x=-4 时,符合题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y |3k-2| 5 =k(x+4),即 kx-y+4k=0.则有 2 =3,∴ k=-12.此时直线 l 的方程为 5x+12y+20=0. k +1 5. 若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则公共弦所在直线的方程为 ________. 答案:y=1 2 1 ?1? 解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为 y=a,画图可知 a +( 3)2=22,解得 a=1.故公共弦所

? ?

在直线的方程为 y=1. 6. (2014?南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是半圆 O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线 OA 的倾 斜角为 45°,过 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H,过 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B,则直线 AB 的方程为 ______________. 答案:y=- 3(x-1)+1 解析:由题意知直线 HB 的方程为 y=x-1,代入圆的方程,得 x2+(x-1)2=2,解得 x= 3+1 2 ,从而

3-1 1- 2 3-1? ? 3+1 得 B 点坐标为? =- 3,从而直线 AB 的方程为 y=- 3(x-1)+1. , 2 ?,从而 kAB= ? 2 ? 3+1 1- 2

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7. (2014?苏锡常镇一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0)在圆 C:x2+y2-2mx-4y+m2-28 =0 内,动直线 AB 过点 P 且交圆 C 于 A、B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16,则实数 m 的取值范围 为__________. 答案:[3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3] 1 解析: 圆 C 的方程为(x-m)2+(y-2)2=32.圆心 C(m, 2), 半径 r= 32=4 2.S△ABC=2r2sin∠ACB=16sin ∠ACB≤16,故当 sin∠ACB=1,即∠ACB=90°时,S△ABC 取得最大值.即当△ACB 为等腰直角三角形时, 2 面积取到最大值.故此时圆心到动直线的距离 d=r? 2 =4,从而 d≤PC<r,即 16≤(m-3)2+4<32,解 得 m∈[3+2 3,3+2 7)∪(3-2 7,3-2 3]. 8. (2014?南京二模)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+y2=4,P 为圆 C 上一点.若存 在一个定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,当 P 在圆 C 上运动时,使得∠APB 恒 为 60°,则圆 M 的方程为______________. 答案:(x-1)2+y2=1 解析:∵ 当 P 在圆 C 上运动时∠APB 恒为 60°,∴ 圆 M 与圆 C 一定是同心圆,∴ 可设圆 M 的方 1 程为(x-1)2+y2=r2.当点 P 坐标是(3,0)时,设直线 AB 与 x 轴的交点为 H,则 MH+HP=2,MH=2r,AB 3 1 3 3 =2? 2 r,所以2r+2? 2 r? 2 =2,解得 r=1,所以所求圆 M 的方程为(x-1)2+y2=1. 9. (2014?南京十二中质检)已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3=0. (1) 若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2) 若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ,求实数 m 的值. 2 37-4m 37-4m 37 ? 1? 解:(1) 圆的方程为 x+2 +(y-3)2= 4 ,故有 4 >0,解得 m< 4 . ? ?
? ?x+2y-3=0, 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,得? 2 2 ?x +y +x-6y+m=0, ?

消去 y,得 x2+

?3-x? +x-6?3-x+m=0, 2 ? 2 ?

2

整理,得 5x2+10x+4m-27=0.① ∵ 直线 l 与圆 C 没有公共点,∴ 方程①无解. 故有Δ =102-4?5(4m-27)<0,解得 m>8.

? 37? ∴ m 的取值范围是 8, 4 .(也可用圆心到直线的距离大于半径求解) ? ?
(2) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 OP⊥OQ,得 → → OP?OQ=0,即 x1x2+y1y2=0.② 4m-27 由(1)及根与系数的关系,得 x1+x2=-2,x1x2= 5 .③
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∵ P、Q 在直线 x+2y-3=0 上,

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3-x1 3-x2 1 ∴ y1y2= 2 ? 2 =4[9-3(x1+x2)+x1x2]. m+12 将③代入上式,得 y1y2= 5 ,④ 4m-27 m+12 将③④代入②,得 x1x2+y1y2= 5 + 5 =0,解得 m=3. 代入方程①检验得Δ >0 成立,∴ m=3. 10. 已知 m∈R,直线 l:mx-(m2+1)y=4m 和圆 C:x2+y2-8x+4y+16=0. (1) 求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2) 直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为2的两段圆弧?为什么? m 4m m 解:(1) 直线 l 的方程可化为 y= 2 x- 2 ,此时斜率 k= 2 . m +1 m +1 m +1 1 |m| 1 因为|m|≤2(m2+1),所以|k|= 2 ≤ ,当且仅当|m|=1 时等号成立. m +1 2

? 1 1? 所以斜率 k 的取值范围是 -2,2 . ? ?
1 (2) 不能.由(1)知 l 的方程为 y=k(x-4),其中|k|≤2;圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2,圆心 C 到直线 l 的距离 d= 2 1+k
2.由|k|≤2,得

1

d≥

4 r >1,即 d>2.若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对 5

2π 1 的圆心角小于 3 ,所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为2的两段圆弧. 11. (2014?哈尔滨模拟)已知定点 M(0,2),N(-2,0),直线 l:kx-y-2k+2=0(k 为常数). (1) 若点 M、N 到直线 l 的距离相等,求实数 k 的值; (2) 对于 l 上任意一点 P,∠MPN 恒为锐角,求实数 k 的取值范围. 解:(1) ∵点 M、N 到直线 l 的距离相等, ∴ l∥MN 或 l 过 MN 的中点. ∵ M(0,2),N(-2,0), ∴ kMN=1,MN 的中点坐标为 C(-1,1). ∵ 直线 l:kx-y-2k+2=0 过点 D(2,2), 1 ∴ 当 l∥MN 时,k=kMN=1,当 l 过 MN 的中点时,k=kCD=3. 1 综上可知,k 的值为 1 或3. (2) ∵ 对于 l 上任意一点 P,∠MPN 恒为锐角,∴ l 与以 MN 为直径的圆相离,即圆心到直线 l 的距离 1? |-k-1-2k+2| 1 ? 大于半径,d= > 2,解得,k<-7或 k>1.故实数 k 的取值范围为 -∞,-7 ∪(1,+∞). 2 ? ? k +1
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4.

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2

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12. (2014?江阴调研)平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +y2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-4)2=

(1) 若直线 l 过点 A(4,-1),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2) 是否存在一个定点 P,使过 P 点有无数条直线 l 与圆 C1 和圆 C2 都相交,且 l 被两圆截得的弦长相 等,若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4)-1,即 kx-y-4k-1=0, 由垂径定理,得圆心 C1 到直线 l 的距离 d= 结合点到直线距离公式,得 |-3k-1-4k| =1, k2+1 22-?

?2 3?2 ? =1, ? 2 ?

7 化简得 24k2+7k=0,所以 k=0 或 k=-24. 7 故直线 l 的方程为 y=-1 或 y=-24(x-4),即 y=-1 或 7x+24y-28=0. (2) 假设存在,设点 P(a,b),l 的方程为 y-b=k(x-a),即 kx-y+b-ak=0. 因为圆 C1 和圆 C2 的半径相等,被 l 截得的弦长也相等,所以圆 C1 和圆 C2 的圆心到直线 l 的距离也相 等, 即 |-3k+b-ak| |4k-4+b-ak| = , 1+k2 1+k2

整理得(14a-7)k2-(8a+14b-32)k+8b-16=0. 因为 k 的个数有无数多个, 14a-7=0, 1 ? ? ? ?a=2, 所以?8a+14b-32=0,解得? ? ? ?b=2. ?8b-16=0,

?1 ? 综上所述,存在满足条件的定点 P,且点 P 的坐标为 2,2 . ? ?

第 6 课时 椭

圆(1)

3 1. 已知椭圆的长轴长是 8,离心率是4,则此椭圆的标准方程是________. x2 y2 x2 y2 答案:16+ 7 =1 或 7 +16=1 3 解析:∵ a=4,e=4,∴ c=3.∴ b2=a2-c2=16-9=7.
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2 2

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2 2

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x y x y ∴ 椭圆的标准方程是16+ 7 =1 或 7 +16=1. 2. (2014?金陵中学模拟)椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 __________. 1 答案:4 1 1 解析:由题意,m=4,所以 m=4. x2 y2 3. 已知 F1、F2 是椭圆16+ 9 =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A、B 两点.在△AF1B 中,若有两 边之和是 10,则第三边的长度为____________. 答案:6 解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10=6. x2 y2 4. 椭圆 9 + 2 =1 的焦点为 F1、 F2, 点 P 在椭圆上. 若|PF1|=4, 则|PF2|=________, ∠F1PF2=________. 答案:2 120° 解析:∵ a2=9,b2=2,∴ c= a2-b2= 9-2= 7, ∴ |F1F2|=2 7.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6, ∴ |PF2|=2.又由余弦定理,得 cos∠F1PF2= 22+42-(2 7)2 1 =-2,∴ ∠F1PF2=120°. 2?2?4

x2 y2 4 5. (2014?广州模拟)椭圆 9 + =1 的离心率为5,则 k 的值为____________. 4+k 19 答案:-25或 21 5-k 4 c 4 19 解析:若 a2=9,b2=4+k,则 c= 5-k,由a=5,即 3 =5,解得 k=-25;若 a2=4+k,b2=9, k-5 4 c 4 则 c= k-5,由a=5,即 = ,解得 k=21. 4+k 5 x2 y2 3a 6. 设 F1、 F2 是椭圆 E: 右焦点, P 为直线 x = △F2PF1 是底角为 30° 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b 2 上一点, 的等腰三角形,则 E 的离心率为________. 3 答案:4 3 ?3 ? 解析:由题意可得 PF2=F1F2,∴ 2 2a-c =2c,∴ 3a=4c,∴ e=4. ? ?

x2 y2 → → 7. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),A 为左顶点,B 为短轴一顶点,F 为右焦点,且AB⊥BF,则此椭圆的 离心率为__________.
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答案: 5-1 2

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→ → 解析:∵ AB= a2+b2,BF=a,AF=a+c,又AB⊥BF, 5-1 5-1 c ∴ AB2+BF2=AF2, 即 2a2+b2=a2+c2+2ac, ∴ c2+ac-a2=0, ∴ a= 2 .所求的离心率为 2 . x2 y2 x2 y2 8. 已知椭圆 C1:a2+b2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2:a2+b2=1(a2>b2>0)的焦点相同且 a1>a2.给出如下
1 1 2 2

四个结论: a1 b1 2 2 2 ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;② a2 1-a2=b1-b2;③ a2>b2;④ a1-a2<b1-b2. 其中,所有正确的结论是________.(填序号) 答案:①②④
2 2 2 2 2 2 2 解析:由已知条件可得 a2 1-b1=a2-b2,可得 a1-a2=b1-b2,而 a1>a2,可知两椭圆无公共点,即① 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 正确;又 a2 1-a2=b1-b2,知②正确;由 a1-b1=a2-b2,可得 a1+b2=b1+a2,则 a1b2,a2b1 的大小关系

a1 b1 不确定,a >b 不正确,即③不正确;∵ a1>b1>0,a2>b2>0,∴ a1+a2>b1+b2>0,而又由(a1+a2)?(a1 2 2 -a2)=(b1+b2)?(b1-b2),可得 a1-a2<b1-b2,即④正确.综上可得,正确的结论序号为①②④. x2 y2 9. 如图,已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1) 若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率; → → (2) 若椭圆的焦距为 2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.

解:(1) 若∠F1AB=90°,则△AOF2 为等腰直角三角形.所以有|OA|=|OF2|,即 b=c.所以 a= 2c, c 2 e=a= 2 . (2) 由题知 A(0,b),F2(1,0),设 B(x,y), 3 b → → 由AF2=2F2B,解得 x=2,y=-2. 9 b2 4 4 x2 y2 9 1 代入a2+b2=1,得a2+b2=1. 即4a2+4=1,解得 a2=3. x2 y2 所以椭圆方程为 3 + 2 =1.
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10. 若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: x2 y2 6 + 3 =1,A1、A2 分别为椭圆 C1 的左、右顶点.椭圆 C2 以线段 A1A2 为短轴且与椭圆 C1 为“相似椭圆”. (1) 求椭圆 C2 的方程; (2) 设 P 为椭圆 C2 上异于 A1、A2 的任意一点,过 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,线段 PQ 交椭圆 C1 于点 H.求证:H 为△PA1A2 的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

2 y2 x2 (1) 解:由题意可知 A1(- 6,0),A2( 6,0),椭圆 C1 的离心率 e= 2 .设椭圆 C2 的方程为a2+b2= b 2 1(a>b>0),则 b= 6.因为a= 1-e2= 2 ,所以 a=2 3. y2 x2 所以椭圆 C2 的方程为12+ 6 =1.
2 2 y2 x0 x2 y2 x0 y2 0 2 2 (2) 证明:设 P(x0,y0),y0≠0,则12+ 6 =1,从而 y0=12-2x0.将 x=x0 代入 6 + 3 =1,得 6 + 3 =1, 2 2 y0? x0 y0 y0 y0 ? 从而 y2=3- 2 = 4 ,即 y=± 2 .因为 P、H 在 x 轴的同侧,所以取 y= 2 ,即 H x0, 2 .所以 kA2P?kA1H=

?

?

12-2x2 y0 y2 0 0 ? = = =-1,从而 A2P⊥A1H. 2 2 2 ( x - 6 ) 2 ( x - 6 ) 0 0 x0- 6 x0+ 6 又 PH⊥A1A2,所以 H 为△PA1A2 的垂心. x2 y2 11. (2014?新课标全国Ⅱ)设 F1、F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1) 若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2) 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a、b.
2 2 ? b? b 3 解:(1) 根据 c= a2-b2及题设知 M c, a ,2ac=4,即 2b2=3ac.

1 2 y0

?

?

将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得a=2,a=-2(舍去). 1 故 C 的离心率为2.

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b2 中点,故 a =4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.

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(2) 由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的

? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 即? ?-2y1=2, ? ?
3

?y1=-1.

9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 9(a2-4a) 1 将①及 c= a2-b2代入②得 +4a=1, 4a2 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.

第 7 课时 椭

圆(2)

1. 已知椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍,则椭圆离心率为______________. 2 答案: 2 2a2 2a2 解析:设椭圆的长半轴长为 a,半焦距为 c,则椭圆的两条准线间的距离为 c ,依题意 c =4c,即 a2 c 2 =2c2,∴ e=a= 2 . 2. 设一个椭圆的短轴长、焦距、长轴长成等差数列,则此椭圆的离心率 e=____________. 4 答案:5 1 5 c 4 解析:由 a+b=2c, a2-b2=c2, 两式相除得 a-b=2c, 与 a+b=2c 相加得 2a=2c,从而 e=a=5. x2 y2 → 3. (2014?徐州模拟)已知 F1、 F2 是椭圆 C: P 为椭圆 C 上的一点, 且PF1 a2+b2=1(a>b>0)的两个焦点, → ⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=____________. 答案:3
?r1+r2=2a, ? 2 2 2 2 2 2 解析:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则? 2 2 2 ∴ 2r1r2=(r1+r2) -(r1+r2)=4a -4c =4b ,∴ S△ ? ?r1+r2=4c ,

1 PF1F2=2r1r2=b2=9,∴ b=3.

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2 2

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y x 4. (2014?海门中学检测)已知半椭圆a2+b2=1(y≥0, a>b>0)和半圆 x2+y2=b2(y≤0)组成的曲线 C 如图 所示.曲线 C 交 x 轴于点 A、B,交 y 轴于点 G、H,点 M 是半圆上异于 A、B 的任意一点,当点 M 位于点 3? ? 6 ? 3 ,- 3 ?时,△AGM 的面积最大,则半椭圆的方程为______________. ? ?

y2 答案: 2 +x2=1(y≥0) 解析:由点? 3? 3? ? 6 ? 6 ,- 3 ?在半圆上,所以 b=1,而当点 M 位于点? 3 ,- 3 ?时,△AGM 的面积最大 ?3 ? ? ?

y2 可知,OM⊥AG,即 kOM?kAG=-1,a= 2,所以半椭圆的方程为 2 +x2=1(y≥0). x2 2 → → 5. 已知椭圆 4 +y =1 的两焦点为 F1、 F2, 点 M 在椭圆上, MF1? MF2=0, 则 M 到 y 轴的距离为________. 2 6 答案: 3 解析:由条件知,点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程是 x2+y2=3,即 y2=3-x2,代入椭 x2 8 2 6 2 6 圆方程得 4 +3-x2=1,解得 x2=3,则|x|= 3 ,即点 M 到 y 轴的距离为 3 . x2 y2 PF1 6. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e.若椭圆上存在点 P,使得PF = 2 e,则该椭圆离心率 e 的取值范围是________. 答案:[ 2-1,1) PF1 2ae 2ae 解析:∵ PF =e,∴ PF1=ePF2=e(2a-PF1),PF1= .又 a-c≤PF1≤a+c,∴ a-c≤ ≤a+c, 1 + e 1 +e 2 2ae 2e 即 a(1-e)≤ ≤a(1+e),亦即 1-e≤ ≤1+e,解得 e≥ 2-1.又 0<e<1,∴ 1+e 1+e 2-1≤e<1.

x2 y2 7. (2014?潍坊模拟)已知椭圆: 4 +b2=1(0<b<2),左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线 l 交椭圆 于 A、B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是__________. 答案: 3 解析:由题意知 a=2,所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8,因为|BF2|+|AF2|的最大值为 5,所以|AB| 3? 3 c 9 ? 的最小值为 3,当且仅当 AB⊥x 轴时,取得最小值,此时 A -c,2 ,B(-c,-2),代入椭圆方程得 4 +4b2 ? ?
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2

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4-b 9 b 9 b2 9 =1,又 c2=a2-b2=4-b2,所以 4 +4b2=1,即 1- 4 +4b2=1,所以 4 =4b2,解得 b2=3,所以 b= 3. → → → 8. 以 O 为中心,F1、F2 为两个焦点的椭圆上存在一点 M,满足|MF1|=2|MO|=2|MF2|,则该椭圆的 离心率为________. 6 答案: 3 解析:不妨设 F1 为椭圆的左焦点,F2 为椭圆的右焦点.过点 M 作 x 轴的垂线,交 x 轴于 N 点,则 N → → → → → → → ? c ? 并设|MF 点坐标为 2,0 , 根据勾股定理可知, |MF1|2-|NF1|2=|MF2|2-|NF2|2, 1|=2|MO|=2|MF2|=2t, ? ? 6 3t c 6 得到 c= 2 t,而 a= 2 ,则 e=a= 3 . x2 9. 已知椭圆 C1: 4 +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1) 求椭圆 C2 的方程; → → (2) 设 O 为坐标原点,点 A、B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程. y2 x2 解:(1) 由已知可设椭圆 C2 的方程为a2+ 4 =1(a>2), a2-4 3 3 其离心率为 2 ,故 a = 2 ,解得 a=4, y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1. → → (2) A、B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O、A、B 三点共线且点 A、B 不 在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 4 y2 x2 2 2 将 y=kx 代入 4 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 x2 = . 将 y = kx 代入 A 16+ 4 =1 中,得(4+k )x 1+4k2 =16,所以 x2 B= 16 16 16 → → 2 .又由OB=2OA,得 x2 = , B=4xA,即 4+k2 4+k2 1+4k2

解得 k=±1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. x2 y2 1 ? 3? 10. (2014?淮阴中学调研)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为2,且过点 A 1,2 . ? ? (1) 求椭圆 C 的方程; → → (2) 若点 B 在椭圆上,点 D 在 y 轴上,且BD=2DA,求直线 AB 的方程. c 1 解:(1) ∵ e=a=2,∴ a=2c.∴ b2=a2-c2=3c2. x2 y2 设椭圆方程为4c2+3c2=1,

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世纪金榜 圆您梦想 1 3 ? 3? ∵ 椭圆过点 A 1,2 ,∴ 4c2+4c2=1, ? ?
x2 y2 ∴ c=1.故椭圆方程为 4 + 3 =1.

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3 → → → → (2) 设 B(x0,y0),D(0,m),则BD=(-x0,m-y0),DA=(1,2-m).∵ BD=2DA, ∴ -x0=2,m-y0=3-2m,即 x0=-2,y0=3m-3,代入椭圆方程得 m=1,∴ D(0,1).∴ lAB:y 1 =2x+1. 3 11. 椭圆 C 的右焦点为 F,右准线为 l,离心率为 2 ,点 A 在椭圆上,以 F 为圆心,FA 为半径的圆与 l 的两个公共点是 B、D. (1) 若△FBD 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2) 若 A、F、B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2,求椭圆方程.

解:设椭圆的半长轴是 a,半短轴是 b,半焦距是 c, 3 x2 y2 由椭圆 C 的离心率为 2 ,可得椭圆 C 的方程是4b2+b2=1, 焦点 F( 3b,0),准线 x= 4b ,设点 A(x0,y0), 3

(1) △FBD 是边长为 2 的等边三角形, 则圆半径为 2,且 F 到直线 l 的距离是 3, a2 b2 b 又 F 到直线 l 的距离是 FM= c -c= c = , 3 所以 b = 3,b=3, 所以 c=3 3. 3

所以圆的方程是(x-3 3)2+y2=4. (2) 因为 A、F、B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 AB 中点, 由 B 点横坐标是 4b a2 4 2 ,得 x0=2c- c =2 3b-3 3b=3 3b, 3

2 x2 y0 x2 6 0 0 2 2 2 再由4b2+b2=1 得 y2 0=b - = b ,y0= 4 3 3 b,

6 3b y0 所以直线 m 斜率 k= = =- 2, x0-c 3b - 3 直线 m:y=- 2(x-c), 2x+y- 2c=0,
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原点 O 到直线 m 的距离 d= 依题意 2c , 3

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2c =2,c= 6,所以 b= 2, 3 x2 y2 所以椭圆的方程是 8 + 2 =1.

第 8 课时 双 曲 线

x2 1. 双曲线 4 -y2=1 的离心率等于____________________. 5 答案: 2 c 5 解析:由已知及双曲线的概念知,a=2,b=1,故 c= 22+12= 5,故该双曲线的离心率 e=a= 2 . 2. 设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程为________. 答案:x2-y2=1 y2 解析:由题意设双曲线的方程为 x -b2=1(b>0),∵ 1+b2=( 2)2,∴ b2=1,即双曲线 C 的方程为
2

x2-y2=1. x2 y2 3. (2014?南京期初)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± 3x,则该双曲线的离心 率为________. 答案:2 b c 解析:由题意,得a= 3,∴ e=a=

?b?2+1=2. ? a?

4. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为 2,则 双曲线的方程为________________. 答案:x2-y2=2 | 2a| 解析: 设双曲线方程为 x2-y2=a2, 一个焦点( 2a, 0)到一条渐近线 x-y=0 的距离为 2, = 2, 2 即 a= 2.故所求双曲线方程为 x2-y2=2. x2 y2 5. (2014?天津调研改)已知双曲线 C 的右焦点为( 5,0),且双曲线 C 与双曲线 C′: 4 -16=1 有相 同的渐近线,则双曲线 C 的标准方程为__________.
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y 答案:x2- 4 =1
2

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x2 y2 x2 y2 解析: ∵ 双曲线 C 与双曲线 4 -16=1 有相同的渐近线, ∴ 设双曲线 C 的方程为 4 -16=λ (λ ≠0). 则 x2 y2 1 双曲线 C: - =1,又双曲线 C 的右焦点为( 5,0),∴ c= 5,则 4λ +16λ =5,∴ λ =4.故所 4λ 16λ y2 求双曲线 C 的方程为 x2- 4 =1. x2 y2 6. (2014?江西卷改)过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 A.若 以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为____________. x2 y2 答案: 4 -12=1 b 解析:由直线方程 x=a 和渐近线方程 y=ax 联立解得 A(a,b).由以 C 的右焦点为圆心,4 为半径的 圆过原点 O 可得 c=4,即右焦点 F(4,0).由该圆过 A 点可得|FA|2=(4-a)2+b2=a2+b2-8a+16=c2-8a x2 y2 +16=c2,所以 8a=16,则 a=2,所以 b2=c2-a2=16-4=12.故双曲线 C 的方程为 4 -12=1.

7. (2014?黄冈一模改编)我们把离心率为 e= 图,给出以下几个说法: ① 双曲线 x2- 2y2 =1 是黄金双曲线; 5 +1

5+1 x2 y2 的双曲线 2 a2-b2=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如

② 若 b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线; ③ 若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④ 若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的是____________.(填序号)

答案:①②③④

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解析:如题图,① e= b2 1+a2=

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1+ 5+1 2 =

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5+3 5+1 2 2 = 2 ,双曲线是黄金双曲线.②由 b 5+1 2 2 ,双曲线是黄金双曲线.③|F1B1|

=ac,可得 c2-a2=ac,两边同除以 a2,即 e2-e-1=0,从而 e=

=b2+c2,|A2B1|2=b2+a2,|F1A2|2=(a+c)2,注意到∠F1B1A2=90°,所以 b2+c2+b2+a2=(a+c)2,即 2b2 b4 b2=ac, 由②可知双曲线为黄金双曲线. ④ ∵ |MN|= a , 由射影定理知|OF2|2=|MF2|? |F2N|, 即 c2=a2, 从而 b2=ac,由②可知双曲线为黄金双曲线. x2 y2 8. 已知双曲线 2 -b2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在 → → 该双曲线上,则PF1?PF2=________. 答案:0 解析:由题知 b2=2,故 y0=± 3-2=±1,F1(-2,0), → → → → F2(2,0),∴ PF1?PF2=(-2- 3,1)?(2- 3,1)=3-4+1=0 或PF1?PF2=(-2- 3,-1)?(2- 3,-1)=3-4+1=0. x2 y2 y2 x2 9. 若双曲线与椭圆64+16=1 有相同的焦点, 与双曲线 2 - 6 =1 有相同的渐近线, 求此双曲线的标准 方程. x2 y2 y2 x2 3 解:椭圆64+16=1 的焦点为 F1(-4 3,0)、F2(4 3,0),双曲线 2 - 6 =1 的渐近线方程为 y=± 3 x, a +b =48, ? ? x y 设所求双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意知?b 3 =3, ? a ?
2 2 2 ? ?a =36, x2 y2 ∴ ? 2 ∴ 所求双曲线方程为36-12=1. ?b =12. ? 2 2

10. 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1) 求双曲线的方程; → → (2) 若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0; (3) 对于(2)中的点 M,求△F1MF2 的面积. (1) 解:由题意,可设双曲线方程为 x2-y2=λ (λ ≠0),又双曲线过点(4,- 10),解得 λ =6,∴ 双 曲线方程为 x2-y2=6. (2) 证明:由(1)可知,a=b= 6,c=2 3, ∴ F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴ MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → → ∴ MF1?MF2=m2-3.又点 M(3,m)在双曲线上,
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→ → ∴ 9-m2=6,∴ m2=3,∴ MF1?MF2=0. 1 1 (3) 解:S△F1MF2=2|F1F2||m|=2?4 3? 3=6, ∴ △F1MF2 的面积为 6. x2 y2 11. (2014?湛江二模)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0). (1) 若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2,求双曲线的方程; (2) 以原点 O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A,过 A 作圆的切线,斜率为 - 3,求双曲线的离心率. b 解:(1) ∵ 双曲线的渐近线为 y=±ax, ∴ a=b,∴ c2=a2+b2=2a2=4, x2 y2 ∴ a =b =2,∴ 双曲线方程为 2 - 2 =1.
2 2

(2) 设点 A 的坐标为(x0,y0), y0 ∴ 直线 AO 的斜率满足x ?(- 3)=-1,∴ x0= 3y0,①
0

依题意,圆的方程为 x +y2=c2, 1 2 2 将①代入圆的方程,得 3y2 0+y0=c ,即 y0= c, 2 3 2 1 2 4c 4c 3 3 1 3 c ? ? ∴ x0= 2 c,∴ 点 A 的坐标为? c, ?,代入双曲线方程,得 a2 - b2 =1,即4b2c2-4a2c2=a2b2, 2? ?2 ② ∵ a2+b2=c2,∴ 将 b2=c2-a2 代入②式, 3 整理得4c4-2a2c2+a4=0, 4 2 ? c? ? c? ∴ 3 a -8 a +4=0,∴ (3e2-2)(e2-2)=0. ? ? ? ? ∵ e>1,∴ e= 2.∴ 双曲线的离心率为 2.第 9 课时 抛 物 线

2

1 1. 抛物线 y=4x2 的准线方程是____________. 答案:y=-1 1 解析:因为抛物线 y=4x2 的标准方程为 x2=4y,所以其准线方程为 y=-1. 2. (2014?南通期中)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=8x 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为 ________.
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答案:3

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p 解析:由定义可知距离 1+2=1+2=3. 3. 已知点 A(-2, 3)在抛物线 C: y2=2px 的准线上, 记 C 的焦点为 F, 则直线 AF 的斜率为____________. 3 答案:-4 -p p 解析:因为抛物线 C:y2=2px 的准线为 x=-2,且点 A(-2,3)在准线上,故 2 =-2,解得 p=4, 3-0 3 所以 y2=8x,所以焦点 F 的坐标为(2,0),这时直线 AF 的斜率 kAF= =-4. -2-2 4. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为________. 答案:2 p 解析:抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=-2,曲线 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16 是圆心为(3, p ?p ? 0),半径为 4 的圆.于是依题意有 2+3 =4.又 p>0,因此有2+3=4,解得 p=2. ? ? 5. (2014?吉安模拟改)若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则点 P 的轨迹方程 为____________. 答案:x2=8y 解析:由题意知点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,因此点 P 到点 F(0,2)的距 离与到直线 y+2=0 的距离相等,故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,y=-2 为准线的抛物线,其方程为 x2=8y. 6. (2014?泰州二模)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足. 如 果直线 AF 的倾斜角为 120°,那么|PF|=__________. 答案:4 解析: 抛物线的焦点坐标为 F(1, 0), 准线方程为 x=-1.因为直线 AF 的倾斜角为 120°, 所以 tan 120° = yA ,所以 yA=2 3.因为 PA⊥l,所以 yP=yA=2 3,代入 y2=4x,得 xA=3,所以|PF|=|PA|=3-(- -1-1

1)=4.

7. 已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A、B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的 取值范围为______________. 答案:[1,+∞) 解析:(解法 1)如图,以(0,a)为圆心, a为半径作圆,当圆与抛物线有三个或四个交点时,C 存在.

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联立 y=x2,x2+(y-a)2=a 有(y-a)(y-a+1)=0. 即 y=a 或 y=a-1.故 a-1≥0,即 a≥1. π → → (解法 2)当 C 与原点重合时,∠ACB 最小.故若存在 C 使得∠ACB 为直角,则∠AOB≤ 2 ,即OA?OB≥ 0,故 a2-a≥0,又 a>0,所以 a≥1. 8. 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A、B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 答案: 3 3 4 3 解析:直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 3 y+1,代入抛物线方程得 y2- 3 y-4=0,解得 yA= 4 3 3 + 2 16 3 +16 1 =2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为2?1?2 3= 3.

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,A、B 分别为直线 x+y=2 与 x、y 轴的交点,C 为 AB 的中点.若抛物线 y =2px(p>0)过点 C,求焦点 F 到直线 AB 的距离.
2

?1 ? 解:由已知可得 A(2,0),B(0,2),C(1,1),解得抛物线方程为 y2=x,则焦点为 F 4,0 , 故点 F ? ?
到直线 AB 的距离为

?1+0-2? ?4 ? 7 2
2

= 8 .

10. (2014?台州质检)已知抛物线 C: x2=4y 的焦点为 F, 过点 K(0, -1)的直线 l 与 C 相交于 A、 B 两点, 点 A 关于 y 轴的对称点为 D. (1) 证明:点 F 在直线 BD 上; → → 8 (2) 设FA?FB=9,求∠DBK 的平分线与 y 轴的交点坐标.
? ?y=kx-1, (1) 证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(-x1,y1),l 的方程为 y=kx-1,由? 2 得 x2-4kx+4=0, ?x =4y, ?

x=2k±2 k2-1, 从而 x1+x2=4k,x1x2=4.
2 y2-y1 x2-x1 x1 直线 BD 的方程为 y-y1= (x+x1),即 y- 4 = 4 (x+x1), x2+x1

x1x2 令 x=0,得 y= 4 =1,
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所以点 F(0,1)在直线 BD 上.

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8 → → (2) 解:因为FA?FB=(x1,y1-1)?(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=8-4k2,故 8-4k2=9,解得 k 4 =±3, 所以 l 的方程为 4x-3y-3=0,4x+3y+3=0. x2-x1 4 7 又由(1)得 x2-x1=± 16k2-16=±3 7,故直线 BD 的斜率为 4 =± 3 , 因而直线 BD 的方程为 7x-3y+3=0, 7x+3y-3=0. 设∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M(0,t), 3|t+1| 3|t-1| 则 M(0,t)到 l 及 BD 的距离分别为 5 , 4 , 由 3|t+1| 3|t-1| 1 5 = 4 ,得 t=9或 t=9(舍去),

? 1? 所以∠DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M 0,9 . ? ?
11. 已知抛物线 C:y=ax2(a 为非零常数)的焦点为 F,点 P 为抛物线 C 上一个动点,过点 P 且与抛物线 C 相切的直线记为 l. (1) 求 F 的坐标; (2) 当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小? 1? 1 ? 解:(1) 抛物线方程为 x2=ay,故焦点 F 的坐标为 0,4a .

?

?

(2) 设 P(x0,y0) 则 y0=ax2 0 . ∵ y′0=2ax0,∴ 在 P 点处抛物线(二次函数)的切线的斜率 k=2ax0,∴ 切线 l 的方程是 y-y0=k(x

-x0), 即 y-ax2 即 2ax0x -y-ax2 0=2ax0(x-x0), 0=0.∴ 焦点 F 到切线 l 的距离 d=

= (2ax0)2+(-1)2

?0- 1 -ax2? 0 ? 4a ?

1 1 2 2 4a x 0+1≥ 4|a| 4|a|,当且仅当 x0=0 时上式取“=”,此时 P 的坐标是(0,0),∴ 当 P 在(0,0)处时, 焦点 F 到切线 l 的距离最小.

第 10 课时 直线与圆锥曲线的综合应用(1)

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x y 1. 已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两端点构成等边三角 形,则椭圆的方程是________________. x2 答案: 4 +y2=1 2b ? ? a =1, ? ?a=2, x2 解析:由条件得? 即? 所以椭圆方程为 4 +y2=1. ?b=1, ? ? ?2b=a, 2. 过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有__________. 答案:3 条 解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以 及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 3. 直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、 B 两点, 且 AB 中点的横坐标为 2, 则 k 的值是____________. 答案:2 4k+8 解析: 联立直线方程与抛物线方程, 消去 y 得 k2x2-(4k+8)x+4=0, 所以 x1+x2= k2 .又 x1+x2=2?2 4k+8 =4,所以 k2 =4,解得 k=-1 或 k=2.经验证,k=-1 知,Δ =0,直线与抛物线相切,不符合题意, 所以,k=2. 4. (2014?合肥模拟改)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q, 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围是____________. 答案:[-1,1] 解析:由题意得 Q(-2,0).设 l 的方程为 y=k(x+2),代入 y2=8x 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,∴ 当 k=0 时,直线 l 与抛物线恒有一个交点;当 k≠0 时,Δ =16(k2-2)2-16k4≥0,即 k2≤1,∴ -1≤k≤1 且 k≠0.综上-1≤k≤1. 5. 过抛物线 y2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 2,则这样的 直线有________条. 答案:2 p p 解析:设该抛物线焦点为 F,则 AB=AF+FB=xA+2+xB+2=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直 线有且仅有两条. x2 y2 6. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线与椭圆有一个 交点 P,且 PF2⊥x 轴,则此椭圆的离心率 e=________. 3 答案: 3
2

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2 解析: 在 Rt△PF2F1 中, ∠PF1F2=30°, |F1F2|=2c, |PF1|=2|PF2|, 根据椭圆的定义得|PF2|=3a, |PF1| 4 16 4 c 3 =3a.又|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,即 9 a2-9a2=4c2,则 e=a= 3 .

x2 y2 7. 设双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点, 则双曲线的离心 率为________. 答案: 5 b ? ?y=ax, x2 y2 b b 解析: 双曲线a2-b2=1 的一条渐近线为 y=ax, 由方程组? 消去 y 得, x2-ax+1=0 有唯一解, ?y=x2+1 ? 2 a2+b2 b c ?b? 所以Δ = a -4=0,a=2,e=a= a = ? ? 2 ?b? 1+ a = 5. ? ?

2 8. (2014?南京调研)已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,它的一个顶点为抛物线 x2=4y 的焦点. (1) 求椭圆方程; (2) 若直线 y=x-1 与抛物线相切于点 A,求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程. x2 y2 解: (1) 椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上.设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0) , 因为抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),所以 b=1. c 2 x2 由离心率 e=a= 2 ,a2=b2+c2=1+c2,从而得 a= 2,所以椭圆的标准方程为 2 +y2=1.
?x2=4y, ?x=2, ? ? (2) 由? 解得? 所以点 A(2,1). ? ? ?y=x-1, ?y=1,

因为抛物线的准线方程为 y=-1, 所以圆的半径 r=1-(-1)=2, 所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. x2 y2 2 9. 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的最大值为 2+1. (1) 求椭圆的方程; (2) 已知点 C(m,0)是线段 OF 上一个动点(O 为坐标原点),是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与 椭圆交于 A、B 点,使得 AC=BC?并说明理由. c 2 ? ?e= = , ?a= 2, 解:(1) ∵ ? a 2 ∴ ? ?c=1, ? ?a+c= 2+1,
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x ∴ b=1,∴ 椭圆的方程为 2 +y2=1. (2) 由(1)得 F(1,0),∴ 0≤m≤1. 假设存在满足题意的直线 l, x2 设 l 的方程为 y=k(x-1),代入 2 +y2=1 中,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0. 2k2-2 4k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 2k +1 2k +1 -2k ∴ y1+y2=k(x1+x2-2)= 2 . 2k +1 k ? ? 2k 设 AB 的中点为 M,则 M 2k2+1,-2k2+1 . ? ? ∵ AC=BC,∴ CM⊥AB,即 kCM?kAB=-1, k 2k2+1 2 ∴ 2k2 ?k=-1,即(1-2m)k =m. m- 2 2k +1 1 ∴ 当 0≤m<2时,k=± 满足题意的直线 l. → → 10. 如图,已知椭圆 E 的中心为 O,长轴的两个端点为 A、B,右焦点为 F,且AF=7FB,椭圆 E 的右准 16 线 l 的方程为 x= 3 . (1) 求椭圆 E 的标准方程; → → → → (2) 若 N 为准线 l 上一点(在 x 轴上方),AN 与椭圆交于点 M,且AN?MF=0,记AM=λ MN,求 λ . m 1 ,即存在满足题意的直线 l;当2≤m≤1 时,k 不存在,即不存在 1-2m
2

x2 y2 解:(1) 由题意,设椭圆方程为a2+b2=1,半焦距为 c, → → 由AF=7FB,得 a+c=7(a-c),得 3a=4c.① a2 16 由准线方程,得 c = 3 .② 解①②得 a=4,c=3.∴ b2=a2-c2=7. x2 y2 ∴ 所求椭圆 E 的标准方程为16+ 7 =1. → → (2) 设 M 坐标为(x,y),由AN?MF=0,
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→ → 即AM?MF=0,得(x+4)(3-x)-y2=0, ∴ y2=-x2-x+12. x2 y2 又点 M 满足16+ 7 =1,消 y 得 9x2+16x-80=0, 20 解得 x= 9 或 x=-4(舍去). → → 将 A、M、N 的横坐标代入AM=λ MN,得 20 ?16-20? 9 +4=λ ? 3 9 ?,∴ λ =2. x2 y2 1 ? 3? 11. (2014?南通密卷)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为2,且经过点 P 1,2 . ? ? (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M.问点 M 的横坐标在什 么范围内取值时,圆 M 与 y 轴有两个交点? (3) 在(2)的条件下,设圆 M 与 y 轴交于 D、E 两点,求弦长 DE 的最大值. x2 y2 1 ? 3? 解:(1) ∵ 椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为2,且经过点 P 1,2 ,

?

?

a -b 1 3a -4b =0, ? ? a =2, ? ? ∴ ? 即? 1 9 +4b =1, 1 9 ? a ?a +4b =1, ? ?
2 2 2 2 2 2 2 2

2 ? ?a =4, 解得? 2 ?b =3, ?

x2 y2 ∴ 椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2) 易求得 F(1,0).
2 2 x0 y0 设 M(x0,y0),则 4 + 3 =1,

圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y2 0, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0, Δ =4y2 ①. 0-4(2x0-1)>0 将 y2 0=3

?1-x0?代入①,得 3x2+8x -16<0,解得-4<x <4,又-2≤x ≤2,∴ -2≤x <4. 0 0 0 0 0 3 3 ? 4?

2

(3) 设 D(0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2.
2 由(2)得 DE=y2-y1= 4y2 0-4(2x0-1)= -3x0-8x0+16=

4?2 64 ? -3 x0+3 + 3 ,

?

?

4 8 3 当 x0=-3时,DE 的最大值为 3 .

第 11 课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)
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x2 y2 1. 以椭圆 4 + 3 =1 的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为____________. y2 答案:x - 3 =1
2

x2 y2 解析:椭圆 4 + 3 =1 的焦点为(±1,0),顶点为(±2,0),则双曲线中 a=1,c=2,b= c2-a2= 3, y2 所以所求双曲线方程为 x2- 3 =1. 2. 焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F,右顶点为 A,若线段 FA 的中垂线与双曲线 C 有公共点,则 双曲线 C 的离心率的最小值是____________. 答案:3 a-c c 解析:设 AF 的中点 C(xC,0),由题意 xC≤-a,即 2 ≤-a,解得 e=a≥3. 3. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,点 P 是抛物线 C 上一动点,则线段 FP 的中点 Q 的轨迹方程是 ____________. 答案:y2=4(x-1) x ?x=2+ ? 2 , ?x =2x-2, 解析: 设 Q(x, y), P(x , y ), 则 y =8x , ①又 F(2, 0), 由 Q 为 PF 的中点, 得? 从而? y ?y =2y, ? ? y= 2 ,
1 1 1 2 1 1 1 1 1

代入①,得 (2y)2=8(2x-2),即 y2=4(x-1). y2 4. 双曲线 x2- 3 =1 的渐近线与圆 x2+(y-4)2=r2(r>0)相切,则 r=________. 答案:2 解析:渐近线的方程为 3x±y=0,圆心(0,4)到渐近线的距离等于 r,则 r= |4| =2. 3+1

1 5. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为2,它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆 的标准方程是____________. x2 y2 答案: 4 + 3 =1 c 1 解析:圆 C:(x-1)2+y2=16,∴ 2a=4,即 a=2.∵ e=a=2.∴ c=1,∴ b2=a2-c2=4-1=3.∴ 椭 x2 y2 圆方程为 4 + 3 =1. 1 x2 y2 6. 已知直线 y=2x 与双曲线 9 - 4 =1 交于 A、B 两点,P 为双曲线上不同于 A、B 的点,当直线 PA、 PB 的斜率 kPA、kPB 存在时,kPA?kPB=____________.
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4 答案:9

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?y=2x, 36 36 解析:设点 A(x ,y ),B(x ,y ),P(x ,y ),则由? 得 y = 7 ,y +y =0,y y =- 7 ,x + x y ? 9 - 4 =1
1
1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 2 1 2 1

36 x2=0,x1x2=-4? 7 . 36 2 36 y0 -7 y2 0- 7 y0-y1 y0-y2 y2 + y y 4 4 0 1 2 由 kPA?kPB= ? = 2 = y2 = =9,知 kPA?kPB 为定值9. 36 36 9? 2 x0-x1 x0-x2 x0+x1x2 ? 0 ? ? 9 4 +1 -4? 7 4 y0- 7

?

?

?

?

x2 7. 直线 l:x-y=0 与椭圆 2 +y2=1 相交于 A、B 两点,点 C 是椭圆上的动点,则△ABC 面积的最大值 为________. 答案: 2 x-y=0, ? ?2 解析:由?x 得 3x2=2, 2 ? 2 +y =1, ? 6 4 3 6? 6 6? ? 6 ? ∴ x=± 3 ,∴ A? , ?,B?- ,- ?,∴ AB= 3 .设点 C( 2cosθ ,sinθ ),则点 C 到 AB 3? 3? ?3 ? 3 | 2cosθ -sinθ | 3 3 1 1 4 3 3 的距离 d= = ?|sin(θ -φ )|≤ ,∴ S△ABC=2AB?d≤2? 3 ? = 2. 2 2 2 2
2 8. 已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 x2 1+x2的最小

值是__________. 答案:32
2 解析:设过点 P 的直线为 y=k(x-4),当 k 不存在时,A(4,4),B(4,-4),则 x2 1+x2=32,当 k 存在

4 16 64 2 2 时,有 k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,则 x1+x2=8+k2,x1?x2=16,故 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=32+ 4 + 2 k k
2 >32,故(x2 1+x2)min=32.

x2 y2 9. (2014?如皋期末)已知椭圆 T: 4 + 3 =1,A、B 为椭圆 T 的左、右两个顶点,P 为椭圆上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 交直线 x=6 于 M、N 两点,则线段 MN 的最小值为____________. 答案:4 6 y0 解析:由对称性知,不妨设 P 在 y 轴上方(x0,y0),y0>0,则 AP 的方程为 y= (x+2),令 x=6, x0+2 6-x0 8y0 y0 4y0 得 y1= ,BP 的方程为 y= (x-2),令 x=6 得 y2= ,从而 MN=y1-y2=4y0? ,由(x0, x0+2 x0-2 x0-2 4-x2 0
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y0)在 T 上,知 y0= 3?
2 4-x0

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3 2 2 6-x0 =2 3? 4 = 2 ? 4-x0,即 MN=2 3? 4-x0?4-x2 0 m2 =2 3? 4-(6-m)2 1

(6-x0)2 , 2 4-x0

令 6-x0=m>0,则 MN=2 3?

2 ?1? + ,易知- 32 ?m? 1 ?2 1? ? ? -32 m +12 m -1

? ?

? ?

1 144 1 12m-1 的最大值为-1+ = ,从而 MN 的最小值为 2 3?2 2=4 6. 4?32 8 1 x2 y2 10. 已知圆 C 的圆心为 C(m,0),m<3,半径为 5,圆 C 与离心率 e>2的椭圆 E:a2+b2=1(a>b> 0)的其中一个公共点为 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. (1) 求圆 C 的标准方程; (2) 若点 P 的坐标为(4,4),试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切?若能,设直线 PF1 与椭圆 E 相交于 D、B 两点,求△DBF2 的面积;若不能,请说明理由. 解:(1) 由已知可设圆 C 的方程为(x-m)2+y2=5(m<3), 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程中,得(3-m)2+1=5, 即(3-m)2=4,解得 m=1 或 m=5. ∵ m<3,∴ m=1. ∴ 圆 C 的标准方程为(x-1)2+y2=5. (2) 直线 PF1 能与圆 C 相切, 依题意设直线 PF1 的斜率为 k,则直线 PF1 的方程为 y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4=0, 若直线 PF1 与圆 C 相切,则 |k-0-4k+4| = 5. k2+1

11 1 ∴ 4k2-24k+11=0,解得 k= 2 或 k=2. 11 36 当 k= 2 时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为11,不合题意,舍去. 1 当 k=2时,直线 PF1 与 x 轴的交点的横坐标为-4, ∴ c=4,F1(-4,0),F2(4,0).∴ 由椭圆的定义得: 2a=AF1+AF2= (3+4)2+12+ (3-4)2+12=5 2+ 2=6 2. 4 2 2 1 ∴ a=3 2,即 a2=18,∴ e= = 3 >2,满足题意. 3 2 故直线 PF1 能与圆 C 相切. x2 y2 直线 PF1 的方程为 x-2y+4=0,椭圆 E 的方程为18+ 2 =1.设 B(x1,y1),D(x2,y2),把直线 PF1 的方 程代入椭圆 E 的方程并化简,得 13y2-16y-2=0,由根与系数的关系得 16 2 y1+y2=13,y1y2=-13,
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24 10 故 S△DBF2=4|y1-y2|=4 (y1+y2)2-4y1y2= 13 . x2 y2 11. (2014?如皋期末)如图,在直角坐标系 xOy 中,O 为直角坐标系的原点,椭圆 T:a2+b2=1(a>b>0) 过点 P

? 3,1?,且椭圆 T 的离心率为 3, 已知椭圆 T 的内接四边形 ABCD(逆时针排列)的对角线 AC、BD 2? 2 ?

均过坐标原点,且 AC⊥BD. (1) 求椭圆 T 的方程; 1 1 1 1 (2) 求证:OA2+OB2+OC2+OD2为定值,并求出这个定值; 2 → → (3) 设点 A 在第二象限,且AB?AD=-3,求点 A 的坐标.

3 1 (1) 解:在椭圆 T 中,a2+4b2=1,① c 3 3 又a= 2 ? c= 2 a,b= a2-? x2 ? 3 ?2 1 =2a,代入①解得 a=2,b=1.椭圆 T 的方程为 4 +y2=1. ? a ?2 ?

1 1 1 1 (2) 证明:由于点 A 与 C、B 与 D 关于原点对称,故 OA=OC,OB=OD,从而OA2+OB2+OC2+OD2= 1 ? 4 ? 1 2 2 2 2 2 2 OA2+OB2 , ? ? 设直线 OA 的斜率为 k,则直线 OA:y=kx,代入椭圆的方程得 x =1+4k2,∴ OA =x +k x 4(1+k2) =(1+k )x = . 1+4k2
2 2

1 ∵ AC⊥BO,∴ 直线 OB 的斜率为-k ,

? 1 2? 4?1+?- ? ? 1 ? ? k? ? 4(k2+1) 用-k代替 k,可得 OB2= = , k2+4 1?2 ? 1+4 -k ? ?
1+4k2 k2+4 5(k2+1) 5 1 1 ∴ OA2+OB2= + = = . 2 2 4(1+k ) 4(k +1) 4(k2+1) 4 又当 k=0 或 k 不存在时,OA、OB 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长(可交换), 1 1 1 1 5 ∴ OA2+OB2=22+12=4. 1 1 1 1 5 综上所述,OA2+OB2+OC2+OD2为定值2. (3) 解:∵ 四边形 ABCD 的对角线互相垂直平分,
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→ → ∴ 四边形 ABCD 是菱形,OD=-OB, → → → → → → → → → → AB?AD=(AO+OB)?(AO+OD)=(AO+OB)?(AO-OB)=AO2-OB2. (另一种转化方法:AB=AD,∠BAD=2∠OAB, → → AB?AD=AB2?cos(2∠OAB) =AB2(2cos2∠OAB-1)
2 ? OA ? =AB2 2? AB2 -1 =2OA2-AB2

?

?

2 =OA2-OB2,)∴ OA2-OB2=-3. 1 1 5 4 又由(2)知OA2+OB2=4,解得 OA2=3,OB2=2. 4(1+k2) 4 4 2 8 2 2 ∴ OA2= 2 = ? k =2,xA= ,yA= . 3 9 9 1+4k ∵ 点 A 在第二象限, 2 2 2 ∴ 点 A 的坐标为(-3, 3 ).

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