当前位置:首页 >> 数学 >>

2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件:第四讲 二 用数学归纳法证明不等式


返回

返回

返回

1.利用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中,方法多种多样,其中数学 归纳法是常用的方法之一.在运用数学归纳法证明不 等式时,由n=k成立,推导n=k+1成立时,常常要 与其他方法,如 比较法 、分析法 、综合法、 放缩法 等

结合进行.

/>返回

2.归纳—猜想—证明的思想方法

数学归纳法作为一种重要的证明方法,常常体现
在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中.一方面 可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;更 重要的是,要用不完全归纳法去发现某些结论、规律 数学归纳法 并用 证明其正确性,形成“观察—归纳—

猜想—证明”的思想方法.

返回

返回

[例 1]

证明:2n+2>n2,n∈N+.

[思路点拨] 验证n=1,2,3 假设n=k成立, n=k+1成 ―→ ―→ 时,不等式成立 推证n=k+1 立,结论得证
[证明] (1)当n=1时,左边=21+2=4;右边=1,

左边>右边;
当n=2时,左=22+2=6,右=22=4,所以左边>右边; 当n=3时,左=23+2=10,右=32=9,所以左边>右边. 因此当n=1,2,3时,不等式成立.
返回

(2)假设当n=k(k≥3且k∈N+)时,不等式成立.

当n=k+1时,
2k+1+2 =2· 2k + 2 =2(2k+2)-2>2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3

=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因k≥3,则k-3≥0,
k+1>0)≥k2+2k+1=(k+1)2. 所以2k+1+2>(k+1)2.故当n=k+1时,原不等式也成立. 根据(1)(2),原不等式对于任何n∈N都成立.
返回

利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n= k到n=k+1的变形.为满足题目的要求,常常要采用

“凑”的手段,一是凑出假设的形式,便于用假设;二
是凑出结论的形式,再证明.

返回

1 1 1 5 1.用数学归纳法证明: + +…+ > (n≥ 3n 6 n+ 1 n+ 2 2,n∈N+)
1 1 1 1 5 证明:(1)当 n=2 时,左边= + + + > ,不等式 3 4 5 6 6 成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立.即 1 1 1 5 + +…+ > .当 n=k+1 时, 3k 6 k+1 k+2
返回

1 1 1 1 1 + +…+ + + + 3k ?k+1?+1 ?k+1?+2 3k+1 3k+2 1 5 1 1 1 1 5 > +( + + - )> + 3?k+1? 6 3k+1 3k+2 3k+3 k+1 6 1 1 5 (3× - )= . 3k+3 k+1 6 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,原不等式对一切 n≥2,n∈N+均成立.

返回

2.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1+ 2+ 2+…+ 2<2-n(n≥2,n∈N+). 2 3 n 1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+ 2= <2- = ,不等式成立. 2 4 2 2

1 (2)假设当 n=k(k≥2, k∈N+)时不等式成立, 即 1+ 2+ 2 1 1 1 + … + <2 - , k 32 k2 1 1 1 1 1 当 n= k+ 1 时, 1+ 2+ 2+ …+ 2+ <2- + k 2 3 k ?k+1?2 1 1 1 1 1 1 1 <2- + =2- + - =2- ,不 k k?k+1? k k k+ 1 ?k+1?2 k+1 等式成立. 由(1)、(2)知原不等式在 n≥2,n∈N+时均成立.

返回

n?n-1? 2 3. 设 Pn=(1+x) , Qn=1+nx+ x, n∈N+, x∈(- 2
n

1,+∞),试比较 Pn 与 Qn 的大小,并加以证明.
解:(1)当 n=1,2 时,Pn=Qn. (2)当 n≥3 时,(以下再对 x 进行分类). ①若 x∈(0,+∞),显然有 Pn>Qn. ②若 x=0,则 Pn=Qn. ③若 x∈(-1,0), 则 P3-Q3=x3<0,所以 P3<Q3. P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以 P4<Q4.
返回

假设 Pk<Qk(k≥3), 则 Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk
3 k?k-1?x2 k ? k - 1 ? x =1+kx+ +x+kx2+ 2 2

k?k+1? 2 k?k-1? 3 =1+(k+1)x+ x+ x 2 2 k?k-1? 3 =Qk+1+ x <Qk+1, 2 即当 n=k+1 时,不等式成立. 所以当 n≥3,且 x∈(-1,0)时,Pn<Qn.
返回

[例2]

设f(n)>0(n∈N+),对任意自然数n1和n2总有

f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又f(2)=4.

(1)求f(1),f(3)的值.
(2)猜想f(n)的表达式,并证明你的猜想. [思路点拨] 利用f(n1+n2)=f(n1)f(n2)可求出f(1),f(3)

再猜想f(n),利用数学归纳法给出证明.

返回

[解] (1)由于对任意自然数n1和n2,
总有f(n1+n2)=f(n1)· f(n2). 取n1=n2=1,得f(2)=f(1)· f(1),即f2(1)=4.

∵f(n)>0(n∈N+),
∴f(1)=2. 取n1=1,n2=2,得f(3)=23.

(2)由f(1)=21,f(2)=4=22,f(3)=23,
猜想f(n)=2n. 证明:①当n=1时f(1)=2成立;

②假设n=k时,f(k)=2k成立.
f(k+1)=f(k)· f(1)=2k· 2=2k+1, 这就是说当n=k+1时,猜想也成立.

由①②知猜想正确,即f(n)=2n.

返回

利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是:
观察——归纳——猜想——证明.即先通过观察部 分项的特点.进行归纳,判断并猜想出一般结论, 然后用数学归纳法进行证明.

返回

4.在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且an、bn、an+1 成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列(n∈N+). (1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值,由此猜测{an}、{bn}

的通项公式;
(2)证明你的结论. 解:(1)由条件得2bn=an+an+1,a=bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4 =25.

猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.
返回

(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,由上知结论成立.

②假设当n=k时,结论成立.
即ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak= 2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2). a2 + bk+1= k 1 =(k+2)2. bk 所以当n=k+1时, 结论也成立. 由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都 成立.
返回

1 1 1 1 a 5.若不等式 + + +…+ > 对一切正整 n+ 1 n+ 2 n+ 3 3n+1 24 数 n 都成立,求正整数 a 的最大值,并证明你的结论.

1 1 1 26 26 a 解:取 n=1, + + = ,令 > ? 24 24 1+1 1+2 3×1+1 24 a<26,而 a∈N+, ∴取 a=25.下面用数学归纳法证明: 1 1 1 25 + +…+ > . n+ 1 n+ 2 3n+1 24 (1)n=1 时,已证结论正确.
返回

1 1 1 25 (2)假设 n=k(k∈N+)时, + +…+ > ,则 k+1 k+2 3k+1 24 1 1 1 当 n= k + 1 时,有 + +…+ + ?k+1?+1 ?k+1?+2 3k+1 1 1 1 + + 3k+2 3k+3 3?k+1?+1 1 1 1 1 1 1 =( + +…+ )+( + + - k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 1 25 1 1 2 )> +[ + - ]. k+1 24 3k+2 3k+4 3?k+1?
返回

6?k+1? 6?k+1? 1 1 2 ∵ + = > = 3k+2 3k+4 9k2+18k+8 9?k+1?2 3?k+1? 1 1 2 ∴ + - >0. 3k+2 3k+4 3?k+1? 1 1 1 25 ∴ + +… + > . ?k+1?+1 ?k+1?+2 3?k+1?+1 24 即 n=k+1 时,结论也成立. 1 1 1 由(1)、 (2)可知, 对一切 n∈N+, 都有 + +…+ n+ 1 n+ 2 3n+1 25 > .故 a 的最大值为 25. 24
返回


相关文章:
高中数学选修4-5:42数学归纳法证明不等式 学案
高中数学选修4-5:42数学归纳法证明不等式 学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区...高中数学 第四讲《数学归... 16页 免费 2014版《创新方案》高中... 暂无评...
高中数学人教A版选修4-5智能达标演练:4-2《用数学归纳法证明不等式举例》
高中数学人教A版选修4-5智能达标演练:4-2《用数学归纳法证明不等式举例_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版选修4-5智能达标演练 ...
新人教A版高中数学(选修4-5)《用数学归纳法证明不等式》word学案
人教A版高中数学(选修4-5)《用数学归纳法证明不等式word学案_数学_高中教育_教育专区。 用数学归纳法证明不等式 知识梳理 1.本节例题中的有关结论 (1)...
2014年人教A版选修4-5教案 一 数学归纳法
2014人教A版选修4-5教案 一 数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。一 数学归纳法教学要求 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步...
选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式》
选修4-5第四讲《数学归纳法证明不等式_高二数学...教学目的 2、通过事例,使学生掌握运用数学归纳法,...推证 n=k+1 时,左边应增加的 项数是( ) A、...
高中数学 数学归纳法教案 新人教A版选修4-5
高中数学 数学归纳法教案 新人教A版选修4-5 隐藏>> 第一课时 4.1 数学归纳法 教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤...
高中数学人教A版选修4-5智能达标演练:4-1-2《数学归纳法应用举例(习题课)》
高中数学人教A版选修4-5智能达标演练:4-1-2《数学归纳法应用举例(习题课)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版选修4-5智能达标演练 ...
第四讲《数学归纳法证明不等式》教案(新人教选修4-5)
一流新课标资料 第四讲:数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一, 包含数学归纳法的定义和数学归纳 法证明基本步骤,用数学归纳法证明不...
新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习2
高中数学 第四讲《数学归纳... 16页 5财富值 高中数学 数学归纳法教案 ......新人教A版选修4-5高中数学数学归纳法 同步练习2 隐藏>> 数学归纳法 同步练习...
更多相关标签:
第二数学归纳法的证明 | 第二数学归纳法证明 | 用数学归纳法证明 | 用数学归纳法证明11 2 | 数学归纳法证明不等式 | 数学归纳法证明数列 | 数学归纳法证明 | 数学归纳法证明整除 |