当前位置:首页 >> 数学 >>

第3讲 函数的综合运用


第3讲

函数的综合运用

【自主学习】
第 3讲 函数的综合运用

(本讲对应学生用书第39~42页)

自主学习

回归教材
x

1 1. (必修1 P71习题13改编)已知函数f(x)=a+ 4 ? 1 是奇函数,则常数a= 1 【答

案】- 2

.

【解析】函数的定义域为R,因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,

4x 1 1 1 1 x x -x x 即a+ 4 ? 1 +a+ 4 ? 1 =2a+ 4 ? 1 + 4 ? 1 =2a+1=0,所以a=- 2 .
2. (必修1 P93练习3改编)已知函数f(x)=3x-x2,则函数f(x)在区间[-1,0]上零点的 个数为 【答案】1 【解析】因为f'(x)=3xln 3-2x,所以f'(x)>0在x∈[-1,0]上恒成立,所以f(x)在[1,0]上单调递增.
2 又因为f(-1)f(0)=(3 -1)(3 -0)=- 3 <0,所以函数f(x)在区间[-1,0]上有1个零点.
-1

.

0

3. (选修1-1 P92习题8改编)已知函数y=2x2-ln x,则函数的值域为

.

?1 ? ? ln2, ?? ? ? ? 【答案】 ? 2

? 1? 1 1 1 ? 0, ? 【解析】由y'=4x- x ,令y'=4x- x =0,可得x= 2 ,所以函数在 ? 2 ? 上单调递减,

?1 ? ?1 ? ? ?? ? ?? ? , ? ? ln2, ? 上单调递增,所以值域为 ? 2 ?. 在? 2

4. (选修1-1 P93例2改编)某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,若它所用的材料最 省,则此时底面半径R和高h的关系为 【答案】h=2R 【解析】设圆柱的高为h,底面半径为R,则表面积为S(R)=2π Rh+2π R2,又
V V 2V 2V 2 2 2 V=π R2h,则h= πR ,所以S(R)=2π R· πR +2π R2= R +2π R2.由S'(R)=- R

.

V h h +4π R=0,解得R= 2? ,从而h=2R.当R< 2 时,S'(R)<0;当R> 2 时,S'(R)>0,因
3

此,当h=2R时,S(R)取得极小值,且是最小值.

5. (必修1 P111复习17改编)已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调 增函数,若f(1)<f(lg x),则x的取值范围是 .

? 1? ? 0, ? 【答案】 ? 10 ? ∪(10,+∞)
【解析】因为f(x)是R上的偶函数且在[0,+∞)上是单调增函数,所以f(x)在(-∞, 0]上是单调减函数.又因为f(1)<f(lg x),所以lg x>1或lg x<-1,解得x的取值范围是

? 1? ? 0, ? ? 10 ? ∪(10,+∞).

【要点导学】

要点导学

各个击破

函数性质的综合应用 例1 (2015·镇江期末)已知函数f(x)=4x-2x,实数s,t满足f(s)+f(t)=0,设

a=2s+2t,b=2s+t. (1) 当函数f(x)的定义域为[-1,1]时,求f(x)的值域; (2) 求函数关系式b=g(a),并求函数g(a)的定义域; (3) 求8s+8t的取值范围. 【分析】(1) 要求函数的值域,一般结合函数的单调性进行处理,同时要注 意定义域优先的原则;(2) 首先建立函数关系式,要注意隐含条件对定义域的影响; (3) 首先建立一元函数关系,然后在定义域上考查函数的单调性,再求取值范围.

?1 ? 2? ? , 【解答】(1) 若x∈[-1,1],令m=2x,则m∈ ? 2 ? ,f(x)=l(m)=m2-m=
? 1? 1 ?1 ? ?1? 1 , 2? ? m- ? ? ? ? ? 2 ? - 4 在m∈ ? 2 ? 上为增函数,f(x)min=l(m)min=l ? 2 ? =- 4 ;
2

f(x)max=l(m)max=l(2)=2,

? 1 ? 2? ?- , 所以f(x)的值域为 ? 4 ? .
(2) 实数s,t满足f(s)+f(t)=0,则4s-2s+4t-2t=0,则(2s+2t)2-2×2s+t-(2s+2t)=0. 而a=2s+2t,b=2s+t,
1 所以a -2b-a=0,b=g(a)= 2 (a2-a),
2

1 由题知b>0,a>0,则 2 (a2-a)>0,故a>1.

? 2 s ? 2t ? a2 ? ? 2 ? 又2s+2t=4s+4t≥2× ? ,即a≥ 2 ,所以a≤2,当且仅当s=t时取得等号.

2

综上,g(a)的定义域为(1,2].

? 1 2 1 ? 1 3 ? a- a ? a ? 3 s t s t s s t t 2 ? =- 2 a + 2 a2,a∈(1, (3) 8 +8 =(2 +2 )(4 -2 ×2 +4 )=a(a-b)=a ? 2
2].

3a 2 1 3 3 3 2 令h(a)=- 2 a + 2 a ,a∈(1,2],h'(a)=- 2 +3a=- 2 a(a-2)≥0在(1,2]上恒
成立, 所以h(a)在(1,2]上单调递增,h(a)∈(h(1),h(2)],所以8s+8t∈(1,2]. 【点评】函数的综合问题涉及到几乎所有类型的函数,如一次函数、二次函 数、三次函数、指数函数、对数函数,简单的分式函数、分段函数、复合函数也有 所涉及.重点考查函数的三大性质(单调性、奇偶性与周期性),二次函数的图象与 性质、三次函数、导数及其几何意义等,利用导数研究函数的性质,如单调性、极 值与最值,利用函数的图象解题.

变式

a2 设a为常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x+ x +7,
.

若f(x)≥a+1对一切x≥0恒成立,则实数a的取值范围为

? 8? ?a a ? - ? 7? 【答案】 ?
【解析】方法一:由题设知f(0)=0,故由f(0)≥a+1,得0≥a+1,即a≤-1.当

a2 a2 a x<0时,f(x)=9x+ x +7,所以当x>0时,f(x)=9x+ x -7≥6 -7=-6a-7,故-6a8 7≥a+1,解得a≤- 7 .

? 8? ?a a ? - ? 7?. 综上,实数a的取值范围是 ?

a2 方法二:同方法一,得a≤-1,当x<0时,f(x)=9x+ x +7≤-6|a|+7=6a+7.由奇
8 函数的对称性知,当x>0时,f(x)≥-6a-7,故-6a-7≥a+1,解得a≤- 7 .

? 8? ?a a ? - ? 7?. 综上,实数a的取值范围是 ?
方法三:同方法一,原问题就是9x2-(a+8)x+a2≥0在x∈(0,+∞)上恒成立. 考察二次函数g(x)=9x2-(a+8)x+a2的图象,因为g(0)=a2>0,要使不等式9x28 8 (a+8)x+a2≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,只需Δ ≤0,解得a≤- 7 或a≥ 5 ;或

?? ? 0, ? ? 8? ?a ?8 a a ? ? 0 , ? ? ? 7?. ? 18 解得a∈ ? .又因为a≤-1,所以实数a的取值范围是 ?

【点评】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1) 函数单调性与 奇偶性结合,注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性;(2) 周期性与奇偶性结合,此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解;(3) 周期性、奇偶 性与单调性结合,解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利 用奇偶性和单调性求解.

函数应用题 例2 (2015·宿迁一模)如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知AB为

直径,且AB=2 km,O为圆心,C为圆周上靠近A的一点,D为圆周上靠近B的一点,
? 且CD∥AB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线,其中A到C是圆弧 AC ,C到D是

线段CD.设∠AOC=x rad,观光路线总长为y km.

(例2) (1) 求y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2) 求观光路线总长的最大值. 【分析】(1) 将观光路线分解成两部分进行求解,但要注意实际问题的条件 要求;(2) 利用导数求函数的最值.
? 【解答】(1) 由题意知圆弧 AC =x×1=x,CD=2cos x.因为C为圆周上靠近A的一
π 点,D为圆周上靠近B的一点,且CD∥AB,所以0<x< 2 .

? π? ? 0, ? 所以y=x+2cos x,x∈ ? 2 ? .
(2) 记f(x)=x+2cos x,
π 则f'(x)=1-2sin x.令f'(x)=0,得x= 6 .

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x)

? ?? ? 0, ? ? 6?
+ ↗

? 6
0 极大值

?? ? ? ? ,? ?6 2?


?π? π π ? ? 所以函数f(x)在x= 6 处取得极大值,这个极大值就是最大值,即f ? 6 ? = 6 + 3 .
?π ? ? ? 3? ? km. 答:观光路线总长的最大值为 ? 6
【点评】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:(1) 分析实际问题中 各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x);(2) 求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0;(3) 比较函数在区间端点

和f'(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4) 回归实际问题作 答.

变式

(2015·苏北四市期末)如图(1),有一个长方形地块ABCD,边AB为2

km,AD为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分),其边缘线AC是以直线AD为对称 轴、A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带 EF(EF与AC相切),E,F分别在边AB,BC上(隔离带不能穿越湿地,且占地面积忽略 不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km),△BEF的面积为S(单位:km ).
2

(变式(1)) (1) 求S关于t的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2) 是否存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3 km2?并说明理由. 【解答】(1) 如图(2),以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐 标系,

(变式(2))

则点C 的坐标为 (2, 4).设边缘线AC 所在抛物线的方程为 y=ax ,把 (2, 4)代入, 得4=a·22,解得a=1,所以抛物线的方程为y=x2.因为y'=2x,所以过点P(t,t2)的切

2

?t ? 0? ? , 2 2 ? ?; 线EF方程为y=2tx-t .令y=0,得E
令x=2,得F(2,4t-t2),

1? t ? ? 2- ? 2 所以S= ? 2 ? (4t-t2),
1 即S= 4 (t3-8t2+16t),定义域为(0,2]. 1 1 3 3 2 2 (2) 由(1)得S= 4 (t -8t +16t),定义域为(0,2],所以S'= 4 (3t -16t+16)= 4 (t-

? 4? ? t- ? 4) ? 3 ? ,
4 令S'=0得t= 3 (t=4舍去).

当t变化时,S',S的变化情况如下表: t S' S

? 4? ? 0, ? ? 3?
+ ↗

4 3

?4 ? 2? ? , ?3 ?


0 极大值

? 4 ? 64 4 ? ? 当t= 3 时,S取极大值,这个极大值就是S的最大值,且Smax=S ? 3 ? = 27 ,又因
64 17 为 27 =3- 27 <3,所以不存在点P,使隔离出的△BEF面积S超过3 km2.

利用导数解决不等式问题 例3 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.

(1) 对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
1 2 x (2) 求证:对一切x∈(0,+∞),ln x> e - ex 恒成立.

【分析】(1) 分离参数,构成新函数,然后通过对新函数求最值来求解;(2)
x 2 x 结合已知的两个函数,然后证明f(x)min>m(x)max,其中m(x)= e - e (x∈(0,+∞)).

【解答】(1) 由题意知2xln x≥-x2+ax-3对一切x∈(0,+∞)恒成立,则a≤2ln
3 x+x+ x . 3 设h(x)=2ln x+x+ x (x>0), (x ? 3)(x-1) x2 则h'(x)= ,

当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4. 因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4, 即实数a的取值范围是(-∞,4].
x 2 x (2) 问题等价于证明xln x> e - e (x∈(0,+∞))恒成立.又f(x)=xln x,f'(x)=ln

x+1,

? 1? ? 0,? 当x∈ ? e ? 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; ?1 ? ?? ? ? , ? 时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈ ? e

?1? 1 ? ? 所以f(x)min=f ? e ? =- e .
x 2 x 设m(x)= e - e (x∈(0,+∞)),

1-x 1 x 则m'(x)= e ,易知m(x)max=m(1)=- e , 1 2 x 从而对一切x∈(0,+∞),ln x> e - ex 恒成立.

【点评】利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究 函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围; 也可以分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.

变式

(2015·宿迁一模)已知函数f(x)=ex(其中e是自然对数的底数),

g(x)=x2+ax+1,a∈R. (1) 记函数F(x)=f(x)·g(x),且a>0,求F(x)的单调增区间; (2) 若对任意的x1,x2∈[0,2],x1≠x2,均有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立, 求实数a的取值范围. 【分析】(1) 求出函数F(x)的导函数F'(x),可由F'(x)≥0得到函数F(x)的单 调增区间;(2) 由于所研究的问题与绝对值有关,因此首先要去掉绝对值符号,注 意到不等式的左边以及f(x)=ex的单调性,为了去掉左边的绝对值,为此增设一个条 件x1>x2,从而去掉了左边的不等式符号,再考虑不等式的右边,注意到 n(x)>|m(x)|的充要条件是-n(x)<m(x)<n(x),从而去除了右边的绝对值,下面进行 归类,即将含有x1,x2的式子分别归于不等式的两边,从而构造出新函数,由此研 究新函数的单调性就可解决问题. 【解答】(1) 因为F(x)=f(x)·g(x)=ex(x2+ax+1),所以F'(x)=ex(x+a+1)(x+1). 令F'(x)>0,因为a>0, 所以x>-1或x<-(a+1), 所以F(x)的单调增区间为(-∞,-a-1)和(-1,+∞). (2) 因为对任意x1,x2∈[0,2]且x1≠x2,均有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立, 不妨设x1>x2,因为f(x)=ex在[0,2]上单调递增,所以有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)g(x2)|对x1>x2恒成立, 所以f(x2)-f(x1)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)对x1,x2∈[0,2],x1>x2恒成立,

? f (x1 ) ? g (x1 ) ? f (x2 ) ? g (x2 ), ? f (x )-g (x1 ) ? f (x2 )-g (x2 ), 即? 1 对x1,x2∈[0,2],x1>x2恒成立,所以f(x)+g(x)
和f(x)-g(x)在[0,2]上都是单调增函数. 所以f'(x)+g'(x)≥0 在[0, 2]上恒成立,所以 ex+(2x+a)≥0在 [0 , 2]上恒成立, 即a≥-(ex+2x)在[0,2]上恒成立. 因为-(ex+2x)在[0,2]上是单调减函数,所以-(ex+2x)在[0,2]上取得最大值1,所以a≥-1. 当f'(x)-g'(x)≥0在[0,2]上恒成立时, 所以ex-(2x+a)≥0在[0,2]上恒成立,即a≤ex-2x在[0,2]上恒成立.因为ex-2x 在[0,ln 2]上单调递减,在[ln 2,2]上单调递增,所以ex-2x在[0,2]上取得最小 值2-2ln 2,所以a≤2-2ln 2, 所以实数a的取值范围为[-1,2-2ln 2].

1? ? ?a ? ? 2?; 1. (2015·南通中学 )已知y=f(x) 是奇函数,当 x∈(0, 2)时, f(x)=ln x-ax ?
且当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则实数a= 【答案】1 【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,
1 1 1 1 1 f'(x)= x -a,令f'(x)=0得x= a .又a> 2 ,所以0< a <2.当0<x< a 时,f'(x)>0,f(x)在

.

? 1? ?1 ? 1 2? ? 0, ? ? , ? a ? 上单调递增;当x> a 时,f'(x)<0,f(x)在 ? a ? 上单调递减,所以f(x)max=f
?1? 1 1 ? ? ? a ? =ln a -a· a =-1,解得a=1.

2. 已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则实数a的取值范围是 【答案】(-∞,2ln 2-2)

.

【解析】f'(x)=ex-2,可得f'(x)=0的根为x=ln 2,当x<ln 2时,f'(x)<0,可得函数 在区间(-∞,ln 2)上为减函数;当x>ln 2时,f'(x)>0,可得函数在区间(ln 2,+∞) 上为增函数,所以函数y=f(x)在x=ln 2处取得极小值f(ln 2)=2-2ln 2+a,并且这个 极小值也是函数的最小值,由题设知函数y=f(x)的最小值要小于或等于零,即2-2ln 2+a≤0,可得a≤2ln 2-2,故答案为(-∞,2ln 2-2).

3. (2015·镇江期末)若函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=xln x,则 不等式f(x)<-e 的解集为 【答案】(-∞,-e) .

? 1? 1 ? 0,? 【解析】当x>0时,f(x)=xln x,f'(x)=ln x+1.当f'(x)>0时,x> e ,即f(x)在 ? e ?

?1 ? 1 ?? ? ? , ? 上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为- e .又因 上单调递减,在 ? e
1? ? 1 ? ? 0? - ? ?- , ? -? , e ? 上单调递增,所以f(x) 为f(x)为奇函数,所以f(x)在 ? e ? 上单调递减,在 ? 1? ? ? 1 1? 1 - ? ? -? , ? ? ,? e ? 上单调递增,在 ? e e ? 上单调递减, 在(-∞,0)上的最大值为 e ,即f(x)在 ?

?1 ? ? 1 ? ?? ? ?? ? ? , ?- , ? 上单调递增,所以f(x)<-e在 ? e ? 上无解.又f(-e)=-f(e)=-e,所以 在? e
f(x)<-e的解集为(-∞,-e).

k (x -2) 4. (2015·南京、盐城、徐州二模)已知函数f(x)=1+ln x- x ,其中k为常数.

(1) 若k=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2) 若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;

(3) 若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.(参考数据:ln 8=2.08, ln 9=2.20,ln 10=2.30). 【解答】(1) 当k=0时,f(x)=1+ln x.
1 因为f'(x)= x ,从而f'(1)=1.

又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.
10 x -10 2 (2) 当k=5时,f(x)=ln x+ x -4.因为f'(x)= x ,所以当x∈(0,10)时,f'(x)<0,

f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=10时,f(x)有 极小值. 因为f(10)=ln 10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)上有且仅有一个零点.
10 4 因为f(e4)=4+ e -4>0,所以f(x)在(10,e4)上有且仅有一个零点.

从而f(x)有且仅有两个不同的零点.
k (x -2) x ? xlnx (3) 由题意知,1+ln x- x >0对x∈(2,+∞)恒成立,即k< x -2 对x∈(2,+∞)

x -2lnx -4 x ? xlnx 2 恒成立.令h(x)= x -2 ,则h'(x)= (x -2) .
x-2 设v(x)=x-2ln x-4,则v'(x)= x .

当x∈(2,+∞)时,v'(x)>0, 所以v(x)在 (2 ,+∞)上为增函数 .因为 v(8)=8-2ln 8-4=4-2ln 8<0 , v(9)=5-2ln 9>0 , 所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0, 即x0-2ln x0-4=0.当x∈(2,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时, h'(x)>0,h(x)单调递增.所以当x=x0时,

x0 ? x0ln? x0 x0 -2 h(x)取最小值h(x0)= .
x0 -4 x0 因为ln x0= 2 ,所以h(x0)= 2 ∈(4,4.5).

故所求的整数k的最大值为4.

【融会贯通】
完善提高 融会贯通

典例

据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与

到污染源距离的平方成反比,比例常数为 k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工 厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化 工厂对该处的污染指数之和,设AC=x(km). (1) 试将y表示为x的函数关系式; (2) 若a=1,且当x=6时,y取得最小值,试求实数b的值. 【思维引导】

【规范解答】

kb ka 2 2 (1) 设点C受A污染源污染程度为 x ,点C受B污染源污染程度为 (18-x) ,其中
k为比例系数,且k>0,0≤x≤18.

从 而 点 C 处 受 污 染 程 度 为 y= 0≤x≤18)??????????6分

ka x2

+

kb (18-x)2

(k>0 ,

(2) 因为a=1,
k x2





y=

+

kb (18-x)2



y'=k

? -2 2b ? ? x3 ? (18-x)3 ? ? ? ,????????????????8分

18 3 令y'=0 ,得x= 1 ? b ????????????????????????11


又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意. 所 以 污 染 源 B 的 污 染 强 度 b 的 值 为

8???????????????????14分 【精要点评】 解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个 变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,所求得的结果要符 合问题的实际意义.

变式1

(选修 2-2 P36例4 改编 )已知强度分别为 a, b的两个光源 A, B间的

距离为d,试问:在连接两光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时 回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比) 【解答】如图,设点 P 在线段 AB 上,且点 P 距光源 A 为 x ,则点 P 距光源 B 为 3x(0<x<3).

(变式1)

kb ka 8k 2 2 2 由题知,点P受光源A的照度为 x ,即 x ;点P受光源B的照度为 (3-x ) ,即 k (3-x ) 2 ,其中k为比例系数.

k 8k 2 2 从而点P的总照度为I(x)= x + (3-x ) (0<x<3),

18k (x-2)(x 2 -6 x ? 12) 2k 16 k 3 3 x3 (3-x)3 求导得I'(x)=- x + (3-x) = ,令I'(x)=0,解得x=2.当
0<x<2时,I'(x)<0,I(x)单调递减;当2<x<3时,I'(x)>0,I(x)单调递增.因此当 x=2时,I取得极小值,且是最小值. 故在线段AB上,距光源A为2时的照度最小.

变式2

如图(1),两城A和B相距20km,现计划在两城外以AB为直径的半圆

? 弧 AB 上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离

有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记点C到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明:垃圾处理厂 对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响
? 度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在 AB 的

中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.

(变式2(1)) (1) 将y表示成x的函数关系式.
? (2) 讨论(1) 中函数的单调性,并判断弧 AB 上是否存在一点,使建在此处的

垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.若存在,求出该点到城A的距离;若不存在, 请说明理由.

【分析】“当垃圾处理厂建在

的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065”

的含义是“当x=10 2 时,y=0.065”,从而确定比例系数k,第二问利用导数方法 解决.
4 k 2 2 【解答】(1) 如图(2),由题意知AC⊥BC,BC2=400-x2,y= x + 400-x (0<x<20),

(变式2(2)) 其中当x=10 2 时,y=0.065,故k=9,
4 9 2 2 所以y表示成x的函数关系式为y= x + 400-x (0<x<20).
4 2 2 4 9 8 9 ? (-2 x) 18 x -8(400-x ) 3 2 2 2 2 2 2 3 (2) y= x + 400-x ,y'=- x - (400-x ) = x (400-x ) ,

令y'=0,得18x4=8(400-x2)2,所以x2=160,即x=4 10 . 当0<x<4 10 时,y'<0,所以函数为单调减函数;当4 10 <x<20时,y'>0,所 以函数为单调增函数.所以当x=4 10 时,y取极小值,也是最小值,且ymin=0.0625.
4 9 2 2 即存在点C到县城A的距离为4 10 时,函数y= x + 400-x (0<x<20)有最小值,

最小值为0.0625,即总影响度最小.

温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》 中的练习第23-26页.

【课后检测】
第 3讲
一、填空题 1. (2015·洛阳统考)设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+?+g(20)= .

函数的综合运用
A组

2. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万

1 件时的生产成本为C(x)= 2 x2+2x+20(万元).若一万件售价是20万元,为获取更大利
润,则该企业一个月应生产该商品数量为 万件.

2a-3 3. 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)= a ? 1 ,则实数a
的取值范围是 .

?1 ? 1? ? , 2 ?x? ? x ? -a在区间 ? ?2 ? ? 内有零点,则实数a的取值范围 4. 若函数f(x)=log2 ?
是 .

b 5. (2015·秦淮中学)若函数f(x)=x+ x (b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则
实数b的取值范围是 .

6. 已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,其导函数f'(x) 满足xf'(x)>2f'(x),若2<a<4,则f(log2a),f(3),f(2a)三者之间的大小关系 为 .

?|lgx|,x ? 0, ? |x| 7. (2015·前黄中学)已知f(x)= ?2 ,x ? 0,则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数
为 .

8. 设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);

?1? ?3? ?5? ? ? ? ? ? ? ③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f ? 2 ? +f(1)+f ? 2 ? +f(2)+f ? 2 ? =

.

二、 解答题 9. 已知函数f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1]. (1) 设t=2x-2-x,求出t的取值范围并把f(x)表示为t的函数g(t); (2) 若关于x的方程f(x)=2a2有解,求实数a的取值范围.

10. (2015·东海高级中学)已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0). (1) 若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值; (2) 求函数y=f(x)的单调区间.

11. (2014·无锡期末)如图所示,把一些长度为4 m(PA+PB=4 m)的铁管折弯后当 作骨架制作“人字形”帐篷.根据人们的生活体验知道:人在帐篷里的“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关,设AB为x,AB边上的高PH为y,则k=
x? y x2 ? y2

.若k越大,则“舒适感”越好.

(1) 求“舒适感”k的取值范围;

(2) 已知M是线段AB的中点,H在线段AB上,设MH=t,当人在帐篷里的“舒适感”k 达到最大值时,求y关于自变量t的函数解析式,并求出y的最大值(请详细说明理 由).

(第11题)

B组 一、 填空题
2 3 1. 若定义在R上的函数f(x)=a x (a为常数)满足f(-2)>f(1),则f(x)的最小值



.

2. (2015·中华中学)已知当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则 实数m的取值范围是 .

?log 2 x,x ? 0, ? x 3. 已知函数f(x)= ?3 ,x ? 0, 且函数F(x)=f(x)-a有且仅有两个零点,那么实数a
的取值范围是 .

4. (2015·仪征一中)已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=

[x] x -a(x≠0)有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是

.

5. 设a是实数,若函数f(x)=|x-2|-|x-a|是定义在R上的奇函数,但不是偶函数,则 函数f(x)的减区间为 .

6. 设函数f(x)=|2x-1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则f(a)+f(b)=

.

7. 设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区 间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函 数”,则实数m的取值范围为 .

8. 如果定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数x1,x2都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“Z函数”给出函数:①y=-x3+1; ②y=3x-2sin x-2cos x;

?ln|x|,x ? 0, ? x ? 4 x,x ? 0, ? ? ; ④y= ?- x2 ? x,x ? 0. ③y= ?0,x ? 0
2

以上函数为“Z函数”的是

.(填序号)

二、 解答题

1 |x | 9. 已知定义在R上的函数f(x)=2x- 2 . 3 (1) 若f(x)= 2 ,求x的值;
(2) 若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.

10. (2015·无锡期末)某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)

x?2 与促销费用x万元满足P= 4 (其中0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品还需
1? 20 ? ? ? ?P? ? ?4? ? P ? 万元(不含促销费用),产品的销售价格定为 ? P ? 元/件. 投入成本6 ?
(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用 x万元的函数; (2) 当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?

1 11. (2015·苏北四市期末)已知函数f(x)=ln x- 2 ax2+x,a∈R.
(1) 若f(1)=0,求函数f(x)的单调减区间; (2) 若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.

【课后检测答案】
第 3讲 函数的综合运用
A组 1. 112 【解析】由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以 g(1)+g(2)+?+g(20)=g(1)+g(2)=112.

1 2. 18 【解析】利润L(x)=20x-C(x)=- 2 (x-18)2+142,因此,当x=18时,L(x)有最
大值.

3. (-1,4)

【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,所以f(5)=f(5-

2a-3 2a-3 a-4 6)=f(-1)=f(1).因为f(1)<1,f(5)= a ? 1 ,所以 a ? 1 <1,即 a ? 1 <0,解得-1<a<4.

? ?1,log 2 4. ?

5? 2? ?

1 ? 5? ?1 ? 1? ? , 2? ? 2,? ?x? ? ? x ? =a 在 x∈ ? 2 ? 内有解,而 x+ x ? ? 2? , 【解析】方程 log2 ? 5? ? 1,log 2 ? 2 ? .根据图形,可得出实数a的取值范围是 ? ? 5? 2? ?.

1? ? ? ? x ? ? ?1,log 2 x?∈? 所以log2 ?

b b 2 5. (1,4) 【解析】由题意知f'(x)=1- x ,因为函数f(x)=x+ x (b∈R)的导函数在 b 2 区间(1,2)上有零点,所以当1- x =0时,b=x2,又因为x∈(1,2),所以b∈(1,
4).

6. f(log2a)<f(3)<f(2a)

【解析】由f(x)=f(4-x)得f(2+x)=f(2-x),所以函数f(x)的

图象关于x=2对称.由xf'(x)>2f'(x)得(x-2)f'(x)>0,所以x>2时,f'(x)>0,所以f(x) 在(2,+∞)上是增函数.因为2<a<4,所以2a>4,1<log2a<2,log2a关于直线x=2对称 的数是4-log2a,且2<4-log2a<3,所以4-log2a<3<2a,所以f(log2a)<f(3)<f(2a).

1 7. 5 【解析】方程2f (x)-3f(x)+1=0的解为f(x)= 2 或1.作出y=f(x)的图象,由图
2

象知零点的个数为5.

(第7题)

8.

2

?1? ? ? 【解析】由依题意知,函数f(x)是周期为2的奇函数,所以f ? 2 ? +f(1)+f

?3? ?5? ?1? ? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? +f(2)+f ? 2 ? =f ? 2 ? +f(1)+f ? 2 ? +f(0)+f ? 2 ? =f ? 2 ? +f(1)-f ? 2 ? +f(0)+f ? 2 ? =f ? 2 ?
+f(1)+f(0)= 2 -1+21-1+20-1= 2 . 9. (1) f(x)=22x+2-2x-2a(2x-2-x)+2a2=(2x-2-x)2-2a(2x-2-x)+2a2+2 ,令 t=2x-2-x ,x∈[-1,
1 2

? 3 3? ?- , ? 1], 所以t∈ ? 2 2 ? ,
? 3 3? - ,? ? 2 2 ? 所以g(t)=t -2at+2a +2,t∈ 2 2 ? . ? 3 3? ?- , ? (2) 方程f(x)=2a2有解,即方程t2-2at+2=0在 ? 2 2 ? 上有解,当t=0时,方程无解,

2 故t≠0,所以2a=t+ t .
3? ? 2 2 ? 2, ? 2 ? 上单调递增,t+ t 可由单调性的定义证明y=t+ t 在(0, 2 )上单调递减,在 ?
≥2 2 .

2 又因为y=t+ t 为奇函数,
? 3 ? 2 0? ?- , 所以当t∈ ? 2 ? 时,t+ t ≤-2 2 ,
所以实数a的取值范围是(-∞,-2 2 ]∪[2 2 ,+∞).

10. (1) 函数f(x)的定义域为R.

ex x 由已知得f'(x)= e ? 1 -a.

因为y=f(x)的导函数是奇函数, 所以f'(-x)=-f'(x),

e- x ex -x x 即 e ? 1 -a=- e ? 1 +a,

1 解得a= 2 .
ex 1 x x (2) 由(1)知f'(x)= e ? 1 -a=1- e ? 1 -a.
①当a≥1时,f'(x)<0恒成立, 所以a∈[1,+∞)时,函数y=f(x)在R上单调递减. ②当0<a<1时,由f'(x)>0得(1-a)(ex+1)>1,

1 a 即e >-1+ 1-a ,解得x>ln 1-a ;
x

当0<a<1时,由f'(x)<0得(1-a)(ex+1)<1,

1 a 即e <-1+ 1-a ,解得x<ln 1-a .
x

a ? ? a ? ? , ?? ? ? ln ? -? ,ln ? 1-a ? 上单 ? 上单调递增,在 ? 所以当a∈(0,1)时,函数y=f(x)在 ? 1-a
调递减.

x? y

11. (1) k=

x2 ? y2

=
2

2 xy x2 ? 2xy ? y 2 1? 2 2 2 x ? y2 x ?y = ,

2 xy 2 因为x2+y2≥2xy,所以 x ? y ≤1,当且仅当x=y时,取“=”,所以k≤ 2 .

2 xy 2 因为 x ? y >0,所以k>1,
2

所以k的取值范围是(1, 2 ]. (2) 由(1)得k达到最大值时,x=y.

由PA+PB=4,
?1 ? ?1 ? 2 2 ? y?t? ? y ? y-t ? ? y ? ? 得 ?2 + ?2 =4, ?1 ? 2 ? y?t? ? y ? 所以 ? 2 =42 2 2

?1 ? 2 ? y-t ? ? y ?2 ? .

2

4-t 2 2 两边平方并化简得y=4 20-t .
当H与M重合时,t=0. 当H与A重合时,有PA=AB=y, 所以y2+y2=(4-y)2, 所以y=4 2 -4,即t=2 2 -2,

1所以y=4

16 20-t 2 (0≤t≤2 2 -2).

16 1? ?4 ? ? 16 ?? , 2 2-2? 3 ? 2 2 , 2 ? 5? ?5 ? ,所以1- 20-t 2 ∈ ? ?, 因为0≤t≤2 2 -2,所以 20-t 4 5 所以ymax= 5 ,此时t=0.

B组
2

1. 0

3 【解析】由f(-2)>f(1),得 a (-2) >a,即a>0,所以偶函数f(x)在[0,+∞)上

是单调增函数,在(-∞,0]上是单调减函数,所以f(x)min=f(0)=0.

2. (-1,2)

?1? ?1? ? ? ? ? 【解析】将原不等式变形为m2-m< ? 2 ? ,因为函数y= ? 2 ? 在(-∞,x -1 x

x

x

?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? 1]上是减函数,所以 ? 2 ? ≥ ? 2 ? =2,当x∈(-∞,-1]时,m2-m< ? 2 ? 恒成立等价

于m2-m<2,解得-1<m<2.

3. (0,1]

【解析】因为f(x)有且仅有两个零点,作图分析可知0<a≤1.

? 3 4? ?4 3 ? ? ,? ? , ? 4. ? 4 5 ? ∪ ? 3 2 ?

[x] [x] 【解析】当0<x<1时,f(x)= x -a=-a;当1≤x<2时,f(x)= x -

1 [x] 2 [x] [x] a= x -a;当2≤x<3时,f(x)= x -a= x -a,?.f(x)= x -a的图象是把y= x 的图象进行
? 3 4? [x] ? ,? 纵向平移而得到的,画出y= x 的图象如图所示,通过数形结合可知a∈ ? 4 5 ? ∪ ?4 3 ? ,? ? ?3 2 ?.

(第4题)

5. [-2,2]

【解析】由函数f(x)=|x-2|-|x-a|是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,

所以a=±2,又函数不是偶函数,所以a=-2,作出函数f(x)=|x-2|-|x+2|的图象, 可得函数f(x)的减区间为[-2,2].

6. 1 【解析】因为f(x)=|2x-1|的值域为[a,b],所以b>a≥0,而函数f(x)=|2x-

?2a -1 ? a, ?a ? 0, ? b ? 1|在[0,+∞)上是单调增函数,因此有 ?2 -1 ? b,解得 ?b ? 1, 所以有
f(a)+f(b)=a+b=1.

? 9 ? -2? ?- , 4 ? ? 7.

【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的

零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,

? 9 ? ? 9 ? - , -2 ? -2? ?- , ? 结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈ ? 4 ? ,故当m∈ ? 4 ? 时,函数
y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.

(第7题)

8. ②④ 【解析】因为对于任意给定的不相等实数x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,所以不等式等价为(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒 成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数.①函数y=-x3+1在定义域上单调递减;不满 足条件;②y=3x-2sin x-2cos x,y'=3-2cos x+2sin x=3+2(sin x-cos x)=3+2 2 sin

?ln|x|,x ? 0, ? π? x ? ? ? ? 4 ? >0,函数单调递增,满足条件;③f(x)=y= ?0,x ? 0, 当x>0时,函数单调

? x2 ? 4 x,x ? 0, ? 2 递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件;④y= ?- x ? x,x ? 0, 作出图象易判
断函数单调递增,满足条件.故答案为②④.

9. (1) 当x<0时,f(x)=0,无解;

1 x 当x≥0时,f(x)=2x- 2 ,

1 3 x 由2x- 2 = 2 ,
得2·22x-3·2x-2=0, 看成关于2x的一元二次方程,

1 解得2x=2或2x=- 2 .
因为2x>0,所以x=1. (2) 当t∈[1,2]时,

2

? 2t 1 ? ? 2 - 2t ? 2 ? t?

? t 1 ?2 - t +m ? 2

? ? ? ≥0,

即m(22t-1)≥-(24t-1). 因为22t-1>0, 所以m≥-(22t+1). 因为t∈[1,2], 所以-(22t+1)∈[-17,-5], 故m的取值范围是[-5,+∞).

20 ? 1? ? ? ?4? ? ?P? ? P ? P-x-6 ? P ?. 10. (1) 由题意知,y= ?

x?2 24 3 将P= 4 代入化简得y=19- x ? 2 - 2 x(0≤x≤a).
3 ? 16 16 ? ? x ? 2? ? (x ? 2) ? 2 x ? 2 x ? 2 ? ? (2) y=22≤22-3 =10,

16 当且仅当 x ? 2 =x+2,即x=2时,上式取等号.

所以当a≥2时,促销费用投入2万元时,厂家的利润最大;
? 24 ? 3 24 3 ? ? 由y=19- x ? 2 - 2 x,得y'= ? x ? 2 ? - 2 ,
2

当0<x<2时,y'>0,此时函数y在[0,2]上单调递增, 所以当0<a<2时,函数y在[0,a]上单调递增, 所以当x=a时,函数有最大值. 即促销费用投入a万元时,厂家的利润最大. 综上,当a≥2时,促销费用投入2万元,厂家的利润最大;当0<a<2时,促销费用投 入a万元,厂家的利润最大.

a 11. (1) 因为f(1)=1- 2 =0,
所以a=2, 此时f(x)=ln x-x2+x,x>0,

-2 x 2 ? x ? 1 1 x f'(x)= x -2x+1= (x>0).

1 由f'(x)<0,得2x -x-1>0,解得x<- 2 或x>1.
2

又因为x>0,所以x>1. 所以f(x)的单调减区间为(1,+∞).

1 (2) 方法一:由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x- 2 ax2+x≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,

lnx ? x ? 1 1 2 x ?x 问题等价于a≥ 2 在(0,+∞)上恒成立. lnx ? x ? 1 1 2 x ?x 令g(x)= 2 ,
只需a≥g(x)max即可.

? 1 ? (x ? 1) ? - x-lnx ? ? 2 ? 2 ?1 2 ? ? x ? x? ? 又g'(x)= ? 2 ,

1 令g'(x)=0,得- 2 x-ln x=0. 1 设h(x)=- 2 x-ln x, 1 1 因为h'(x)=- 2 - x <0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,

1 不妨设- 2 x-ln x=0的根为x0.
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0, 所以g(x)在(0,x0)上是增函数,在(x0,+∞)上是减函数,

1 1 ? x0 ln?x0 ? x0 ? 2 ? 1 ? 1 1 2 x0 ?1 ? x0 ? x0 ? x0 所以g(x)max=g(x0)= 2 = ? 2 ? = x0 .

?1? 1 1 ? ? 2 因为h ? ? =ln 2- 4 >0,h(1)=- 2 <0, 1 1 所以 2 <x0<1,此时1< x 0 <2,即g(x)max∈(1,2),
所以a≥2,即整数a的最小值为2.

1 方法二:令g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x- 2 ax2+(1-a)x+1,
-ax 2 ? (1-a)x ? 1 1 x 所以g'(x)= x -ax+(1-a)= .
当a≤0时,因为x>0, 所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上是增函数.

1 3 又因为g(1)=ln 1- 2 a×12+(1-a)+1=- 2 a+2>0,
所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.

-ax 2 ? (1-a)x ? 1 (ax-1)(x ? 1) x x 当a>0时,g'(x)= =.

1 令g'(x)=0,得x= a .
? 1? ? 0, ? 所以当x∈ ? a ? 时,g'(x)>0; ?1 ? ?? ? ? , ? 时,g'(x)<0, 当x∈ ? a ? 1? ?1 ? ?? ? ? 0, ? ? , ? 上是减函数. 因此函数g(x)在 ? a ? 上是增函数,在 ? a
?1? ?1? 1 1 1 1 ? ? ? ? a 故函数g(x)的最大值为g ? a ? =ln a - 2 a× ? ? +(1-a)× a +1= 2a -ln a.
2

1 令h(a)= 2a -ln a, 1 因为h(1)= 2 >0, 1 h(2)= 4 -ln 2<0,
又因为h(a)在(0,+∞)上是减函数,所以当a≥2时,h(a)<0, 所以整数a的最小值为2.


相关文章:
第3讲 函数的综合运用
第3讲 函数的综合运用_数学_高中教育_教育专区。第3讲 函数的综合运用 【自主学习】第 3讲 函数的综合运用 (本讲对应学生用书第39~42页) 自主学习 回归教材 ...
第3讲 数列的综合应用
第3讲 数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。第3讲 数列的综合应用 【自主.... = t ·? 1 设函数f(x)=x- x m -1 (m≥3,m∈N*). 1 m -1...
第3讲 数列的综合应用
第3讲 数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。第3讲 数列的综合应用 【自主.... = t ·? 1 设函数f(x)=x- x m -1 (m≥3,m∈N*). 1 m -1...
函数的综合运用
泗洪中学 2016 届高三艺术班二轮复习导学案 班级 姓名 第3 讲学习目标: 1、函数性质的综合应用; 2、2、函数应用题. 重、难点:函数与导数的综合应用. 一、...
专题一 第3讲 函数与方程及函数的应用
第3讲 函数与方程及函数的应用 【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点...综合知,函数 y=f(x)有三个零点. (1)函数零点(即方程的根)的确定问题,...
【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习专题检测评估 专题四 第3讲 函数的综合应用
【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习专题检测评估 专题四 第3讲 函数的综合应用_高考_高中教育_教育专区。第3 讲一、 填空题 函数的综合应用 1.某厂去年...
3第三讲 排列、组合的综合运用
6练习五 函数 8第八讲 数列的概念及其等... 7第七讲 不等式的综合运用.....数学选修2-3 16页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题...
专题三 第3讲
第3讲考情解读 平面向量 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的...平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中, 在三角函数问题中平面...
第3讲 专题:电磁感应的综合应用
第3讲 专题:电磁感应的综合应用 隐藏>> 电磁感应的综合应用 一、电磁感应中的...的函数表达式,进出磁场的转折点是解决问 题的关键. 3.“三看”、“三明确”...
第3讲 函数的表示方法
第3讲 函数的表示方法★知识梳理 一、函数的三种...( x) 是二次函数,故可应用待定系数法求解; (2)...?2 ? ? 王新敞奎屯 新疆 综合提高训练: [例 1...
更多相关标签:
二次函数的综合运用 | 综合运用 | 初中语文综合运用题 | excel函数公式运用 | 语文综合运用题及答案 | excel函数运用 | 语文综合运用 | 乘法公式的综合运用 |