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小学数学解题研究


小学数学解题研究
徐元根 浙江师范大学教师教育学院

小学数学解题研究
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解题研究及理论简介 归纳问题 周期问题 整除及同余问题 物不知数 砝码称重 勾股定理 鸡兔同笼

苏格拉底助产术
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关于问题解决的最早记录之一出现在柏拉图的苏格拉底谈话 录《门诺》中,在书中,苏格拉底和门诺的仆人进行了一次 典型的“苏格拉底谈话”——向仆人提出一系列诱导式的问 题,对他的回答进行细微的纠正,最终使仆人证明了一个数 学关系式。 苏格拉底提醒门诺,他并没有告诉仆人任何东西,而仆人则 完全依靠自己回答了所有的问题。仆人利用“记忆”中的重 要结果对这些问题作出了正确的回答。但是并没有人曾教给 仆人这些结果,这说明仆人原本就知道它们。也就是说,知 识存在于他们永恒的灵魂之中而非存在于身体之中。正因为 灵魂是所有知识的居住地,所以他能够想起这些知识。总之, 知识是永恒的,如同柏拉图式的,它也是完美的。知识既不 可能被生产,也不可能被发现,而只能被回忆。

笛卡儿的伟大设想
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十七世纪。笛卡儿开始他的“创造性思维”的研究, 他构造了一个伟大设想,在这个设想中:首先通过 数学化把任何问题转化为数学问题;然后把任何数 学问题转化为代数问题;再把代数问题转化为解单 个的方程。 笛卡儿希望在他的有生之年完成他的伟大事业,他 的一些成功的努力被记录在后人的纪念性文章《思 考的规则》(1952)里。其中,说明了普通人怎样 才能象笛卡儿那样思考,利用他的方法,象他那样 解决问题。

官能心理学和训练理论
在19世纪的大部分时间里,在学校课程中起统治地位的是官 能心理学和训练理论。按照官能心理学的观点,每个人的大脑是 由各种官能(或者说心理功能)所组成的,这些官能包括感觉、 记忆、想象、理解、直觉、推理等,不同的官能位于大脑的不同 部位,而且可以通过针对性的训练来发展或者强化某个特殊的官 能。在这种理论的支配下,学校的任务就是发展学生的各种基本 技能,而其中,数学,特别是高水平的数学,则是发展学生推理 技能的主要手段。 在这一阶段,数学课程中的问题解决主要以常规问题为主, 不考虑对数学结构的理解,而一味地推行训练与练习。教材中的 习题部分的普遍形式是:先给出一道例题及一条相应的解题法则, 然后提供一系列的类似问题进行练习。

20世纪中期
对于问题解决来说,1945年是标志性的一年。在 这一年里,关于问题解决的经典著作《创造性思维》 (Max. Wertheimer)和《数学领域的发明心理 学》(Jacques Hadmard)的英文版首次发行。而 最重要的是,波利亚的《怎样解题》也问世于这一 年。这本书的出版,无论对波利亚还是对问题解决 都是一个转折点:对作者本人来说,这本书成了他 的关于数学思维本质的一系列重要著作的第一本, 而数学思维则成了他此后工作的核心,并相继出版 了《数学与猜想》(1954),《数学的发现》(第 一卷,1962;第二卷,1965);而对于问题解决 来说,这本书的影响也是巨大的。

波利亚的两个例子
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前n个自然数的平方和

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? ?
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n个平面最多可以将空间分成几个部分?

波利亚的解题四步骤
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弄清题意 制订计划 实现计划 回顾

20世纪80年代的研究热潮
1977 年 , 美 国 全 国 数 学 督 导 委 员 会 (NCSM,1977)宣布:“学习数学的根本 目的是学会问题解决”。1980年,全国数学 教师协会在《行动的议程》中提出:“问题解 决应该成为80年代学校数学教育的核心”。这 一口号很快得到了世界各国数学教育界的普遍 响应,并由此掀起了一股问题解决研究的热潮。 这股热潮一直延续到九十年代,在美国关于数 学教育的一些主要刊物1991年所发表的论文 中,问题解决占据了首要的位置,约占全部论 文的五分之一。

问题解决的四维超立方体模型(切片)
解题教学


研究性学习 小组合作 学徒式教学 专家模式 问题 理论/应用 封闭/开放 常规/非常规 情 感 与 信 念 控 制 与 调 节 表 征 与 探 索 知 识 与 经 验

解题

变式教学 题组训练

关于数学问题的研究
数学问题研究 题 数学习题研究 戴再平的习题理论 数学家的工作

奥加涅相的题系统

关于数学解题的研究
解题策略
解题方法 解题思想方法 解题技巧 解 题 解题过程 逻辑过程 心理过程

波利亚
方法论 证题术 奥加涅相 心理学

施 恩 菲 尔 德

能力类型
解题能力 能力因素

中国
克鲁切茨基

关于解题者的研究
知识经验 认知因素 个体的解题背景 元认知因素 情感因素

案例分析

常规/非常规题

优生 中等生 差生

解 题 者

实际的解题过程

封闭/开放题 理论/应用题

差 异 分 析

教学实验

题型教学 策略专项训练

针对性解题教学

小组合作学习 (专家)模型 课题活动

问题解决的心理历程
(一)认知课题 认知课题是解决问题的起始环节和基础 (二)表征课题 通过对课题的认知和理解,在对课题进行 编码的基础上,在头脑中形成课题的条件与问 题的初步印象,即为课题表征。课题表征既是 个体对面临的任务、环境信息以另一种形式在 心理活动中的表现和记载,也是个体进行问题 解决时所加工的对象。它可以反映在解题过程 和策略的选择上。课题表征的水平对问题解决 有重要影响

问题解决的心理历程
(三)联想与匹配(模式识别) 解决问题依赖于过去的知识经验。在获得某种表征信息后, 就以该表征作为一种提取线索,通过联想,激活头脑中的已有经 验,获取有关的信息,并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成 功,课题即被视作已有经验系统的一个实例或同例,产生与原经 验系统中的问题解决一致的或相平行的解法。在匹配过程中,若 已有经验不能提供现成的实例或同例,则需通过联想激活有关经 验生成一个可与之匹配的新的实例或同例。若匹配失败,则将重 新回溯到起始阶段,逐一进行检查,检查感觉信息中选用的信息 是否可靠(即审题是否正确),对课题的初步理解(课题表征) 是否有误,与长时记忆中信息建立的联系是否适宜(即联想是否 恰当),然后再一次进行匹配。如此反复进行,逐步缩小检查的 范围直到匹配成功,问题才得到解决。

问题解决的心理历程
(四)反思结果 反思结果包含两层意思。一是对获得结果的整个思 维过程进行检查。二是反思从该课题可得出的经验和 教训。反思的有效方法一般有:(1)找出问题解决过 程中的主要困难及关键,搞清楚自己是怎样寻找思路 的。(2)对解题方法重新评价,找到最优解决方法。 (3)思考解决该课题的过程中,是否有某种技巧值得 吸取,是否有某种技巧尔后在类似的场合中用得上。 (4)弄清楚当前的课题中可以得到哪些结论或吸取什 么教训。(5)概括出课题的一般结构、特点,总结出 运用该课题解法的条件范围,以便把该课题的解法推 广到同一类型的所有题

美国2000年课标中的问题
问题:一个矩形长和宽的比是4:3,它的面 积是300平方英寸,它的长和宽是多少? 解法一: 长 宽 面积
4 8 12 16 20 3 6 9 12 15 12 48 108 192 300

解法二:300÷12=25,所以每个正 方形的面积为25,边长为5。

弗赖登塔尔介绍的教学问题
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问题:一件T恤与三瓶饮料总价30元, 两件T 恤与两瓶饮料总价44元,求T恤、饮料的单价。

(1)T U U U 30 (2)T T U U 44 法 一 : T U U U T U U U =60→U U U U =16→U=4 法二:T U=22→ U U =8→U=4 法三:从(2)到(1)少14元,再到 U U U U又 少14元,即16元。

一个常见的数学教学问题
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求和

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

归纳问题(1)
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如下图所示的长方形由6个相同的小方格组成, 现在将其中的部分小方格涂上黑色,其余小 方格仍保持白色,要求任何两个相邻的小方 格都至少有一个被涂上黑色,那么共有不同 的涂色方法 种。(所有小方格均被涂上 黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜 色不同,就被认为是不同的涂色方法)
1 2 34 5 6

归纳问题(2)
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如下图所示的长方形由9个相同的小方格组成, 现在将其中的部分小方格涂上黑色,其余小 方格仍保持白色,要求任何两个相邻的小方 格都至少有一个被涂上黑色,那么共有不同 的涂色方法 种。(所有小方格均被涂上 黑色也允许。只要有一个编号的小方格的颜 色不同,就被认为是不同的涂色方法)
1 2 34 5 6 7 8 9

归纳问题(3)
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如图,一只小蜜蜂从1号蜂房到8号蜂房, 以途经哪几个蜂房区分,共有多少种不 同的路径。(蜜蜂需总体保持向右的方 向,即每次只能向右、右上或右下行进 一格)
1357
24 6 8

归纳问题(4)
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青蛙公子在练习跳台阶。台阶共有8级, 青蛙公子每一步只能往上跳一级或二级 台阶。若以每一步跳后的落脚点为哪几 个台阶来区分,青蛙公子从最下面跳到 第8级台阶的顶上共有 种不同的跳 法。

完全数
毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前572497) 完全数:正因数之和等于该数本身(因数 包括1但不包括该数自身),6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 , 496 , 8128 , 33550336 ( 1538 年 ) , 8589869056 (一个梅森素数对应一个完全数,至 2005年共发现42个完全数)
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亲和数
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亲和数:两个数中任意一个数除了它自 身以外的所有正因数的和恰好等于另一 个数。 最小的一对是220和284。 220=22×5×11,284=22×71
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 1+2+4+71+142=220

哥德巴赫猜想
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哥德巴赫猜想(1742年):每一个不小 于6的偶数都是两个奇素数的和,每一个 不小于9的奇数都是三个奇素数的和。 德国数学家哥德巴赫(Goldbach,16901764) 1966年陈景润证明了“1+2”:每一个不 小于6的偶数都可以表示成一个奇素数与 不超过两个奇素数乘积的和。

斐波那契数列
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1228年《算经》修订版中载有如下的“兔子 问题”:某人在一处有围墙的地方养了一对 兔子,假定每对兔子每月生一对小兔,而小 兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子 (假定养的时候是小兔)开始,一年内能繁 殖成多少对兔子? 其结果是著名的斐波那契数列:1,1,2,3, 5,8,13,21,……

归纳问题(5)
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悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做的袋 子和袋子里装着的一些桃子。戏法规则是:袋子 里装的桃子等于或超过1000个时,1次变化就使 3个桃子和袋子的1层布消失;袋子里装的桃子少 于1000个时,1次变化就增加5个桃子和袋子的1 层布。若袋子的每层布均消失,则袋子也不存在 了,桃子堆放在草地上。现在,有一只1层布的 袋子内装着84个桃子,那么经过若干次变化,袋 子变没后,堆放在草地上的共有 只桃子。

周期问题(1)
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今天是星期四,从明天起的第1天是星期 五,第二天是星期六,第 10100 天是星期 几?

费马小定理
P为素数,a与p互质,则 ap-1≡1(mod p) ? P为素数,a为任意整数,则 ap≡p(mod p)
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周期问题(2) 整数32008除以11的余数 是 。

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周期问题(3)
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下面这串数字从第5个数开始,每 个数都等于它前面的3个数之和: 2,0,0,8,8,16,32,56, 104,… 这串数中第2008个数除以6的余数 是 。

一个基本结论
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递归数列:an=f(a1,a2,……an-1) 值域是有限数集的递归数列必为 周期数列。

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周期问题(4)
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某段铁路共铺设2008根枕木,维 修工人从一端开始向另一端依次 按1~5进行编号,后来又从另一 端开始依次按1~6进行编号。两 次编号之和恰好等于6的枕木共 有 根。

整除和同余问题
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被3,9整除的整数特点。 被4,25整除的整数特点。 被8,125整除的整数特点。 被11整除的整数特点。 被7,13整除的整数特点。

整除和同余问题(1)
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有一个六位数,各个数位上的数 字互不相同且都不是0,如果这 个六位数能被11整除,那么将这 个六位数的六个数字重新排列, 至少还能排出 个能被11整 除的六位数。

整除和同余问题(2)
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老师在黑板上写了一个自然数。第一个 同学说:“这个数是2的倍数。”第二个 同学说:“这个数是3的倍数。”第三个 同学说:“这个数是4的倍数。”……第 十四个同学说:“这个数是15的倍数。” 最后,老师说:“在所有14个陈述中, 只有两个连续的陈述是错误的。”老师 写出的自然数最小是 。

整除和同余问题(3)
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整数A=37865422×41059362× 31678451 的各位数字之和为B,B的 各位数字之和为C,C的各位数字之 和为D。那么D= 。

整除和同余问题(4)
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整数A=44444444的各位数字 之和为B,B的各位数字之和 为C,C的各位数字之和为D。 那么D= 。

整除和同余问题(5)
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有9个小朋友围成一圈,按顺时针方向依 次编为1~9号。现在按如下的方法给他 们发糖:先给1号小朋友发一块糖,然后 顺时针方向隔过一人后给3号小朋友发一 块糖,再顺时针方向隔过两人后给6号小 朋友发一块糖,……如此依次间隔1人、 2人、3人、4人……发糖。那么拿到第 100块糖的是 号小朋友。

《孙子算经》中的物不知数
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今有物,不知其数。三三数之,剩 二;五五数之剩三;七七数之,剩 二。问物几何?答曰:二十三。 70×2+21×3+15×2-2×105=23。

孙子歌
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明代数学家程大位的《算法统宗》中所 载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不 知数问题的解法:“三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝,七子团圆整半月,除 百零五便得知。”

中国剩余定理
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物不知数问题的解法后被秦九韶(宋)推广到一般情 形,称为“孙子定理”。 秦九韶的算法非常严密,但他并没有对这一算法给出 证明。到18、19世纪欧拉(1743)和高斯(1801)分 别对一次同余式组进行了详细研究,重新独立地获得 了与秦九韶“大衍术”相同的定理,并对模数两两互 素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的, 他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人 马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的, 因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。

物不知数问题(1)
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一个整数除以5余1,除以6余 3,除以7余6,这个整数最小 是 。

物不知数问题(2)
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阿龙喜欢把电话号码作为数学练习。一 个电话号码是八位数,它被3除余1,被4 除余2,被11恰好整除。阿龙只记得前六 个数字是 257633 但是算了一下,他便知道了后两个数字。 这最后两个数字是 。

砝码称重问题(1)
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有若干个重量均为整数克的砝码。用天 平称物体的重量时,砝码可以放在物体 另一侧的称盘上,也可以放在物体同一 侧的称盘上。为了能够用最少的砝码称 出1,2,3,4,5,…,121中任一整数 克物体的重量,那么,至少需要 个 砝码。

砝码称重问题(2)
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有若干种重量均为整数克的砝码,每一 种都有两个重量相同的砝码,不同种类 的砝码重量不同。用天平称物体的重量 时,砝码可以放在物体另一侧的称盘上, 也可以放在物体同一侧的称盘上。为了 能够用最少种类的砝码称出1,2,3,4, 5,…,62中任一整数克物体的重量,那 么,至少需要 种不同的砝码。

欧拉
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欧拉(Euler,1707—1783)瑞士数学 家、物理学家。 13岁进入巴塞尔大学学习数学,16岁获 硕士学位。 1727-1741、1766-1783:工作于彼得 堡科学院;1741-1766:工作于柏林科 学院。 28岁右眼失明,60岁前后双目失明。

欧拉直线
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三角形的垂心、重心、外 心三点共线,且重心分垂 心与外心的连线段成2:1。

勾股定理
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《周髀算经》中商高回答周公的问话时答道: “数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩 出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修 四,径隅五。” 《周髀算经》中陈子与荣方的一段对话则阐述 了勾股定理的一般形式。 陈子曰:“若求邪至 日者,以日下为勾,日高为故,勾、股各自乘, 并而开方除之,得邪至日,…”

弦图
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三国时期的赵爽(公元3世纪)为《周髀 算经》作注时,给出了“弦图”,运用 面积的出入相补原理证明了勾股定理。

勾股问题(1)
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直角三角形的两条直角边长分别 为3和4,求斜边长。

费尔马大定理
x2+y2=z 2的通解(x,y互质时) X=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2 (m,n互质且一奇一偶) ? 以下方程无正整数解
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x ? y ? z (n ? 3)
n n n

费尔马大定理的证明
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1993年在英国剑桥大学牛顿数学研究所 的一个讨论班上,美国普林斯顿大学教 授维尔斯(Wiles)宣布证明了费尔马大 定理。1994年修补了证明中的一些漏洞 后于1995年在《数学年刊》上正式发表。 为此维尔斯获得了沃尔夫奖 。

曾获菲尔兹、沃尔夫数学奖的华人科学家
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菲尔兹:丘成桐(1982年);陶哲 轩(2006年,31岁) 沃尔夫:陈省身

《孙子算经》中的鸡兔同笼
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今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九 十四足。问雉、兔各几何?答曰:雉二 十三,兔一十二。 术曰:上置头,下置足,半其足,以头 除足,以足除头,即得。

鸡兔同笼问题(1)
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商店出售大、中、小气球,大球每个3元, 中球每个1.5元,小球每个1元。张老师 用120元买了55个球,其中买中球的钱与 买小球的钱恰好一样多。问每种球各买 几个?

鸡兔同笼问题(2)
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一项工程,如果全是晴天,15天可以完 成。倘若下雨,雨天一天只能完成晴天 的4/5的工作量。现在知道在施工期间雨 天比晴天多3天。问这项工程要多少天才 能完成?

鸡兔同笼问题(3)
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甲、乙两地相距100千米。张先骑摩托 车从甲地出发,1小时后李驾驶汽车也从 甲地出发。两人同时到达乙地。摩托车 开始速度是每小时50千米,后来减速为 每小时40千米。汽车速度是每小时80千 米,但汽车在途中停了10分钟。问摩托 车是在出发后多少时间开始减速的?

角谷猜想
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二次大战前后美国一个叫叙拉古的小镇 流行一种数字游戏,无论你从什么自然 数开始,按照一个简单的运算模式(如 果是偶数则除以2,如果是奇数则乘3加 1),最终必然跌进4→2→1的怪圈。 1960年前后日本数学家角谷静夫将其带 回日本,发展成角谷猜想(3X+1现象)。

角谷猜想举例
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序列有长有短:

16→8→4→2→1共4步; 7→22→11→34→17→52→26→13→40
→20→10→5→16→8→4→2→1共16步;

27要经过111步的计算才到达1。

分油问题
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有一个10升的油筒装满了油,另有一个7 升的空油筒和一个3升的空油筒,请利用 这三个油筒(不能借助于任何其它的器 皿或称量工具)将这10升油平分后分别 装在两个油筒内。

过河问题
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三名商人各带一名仆人搬运若干财宝过 河,河中只有一条没有艄公的小舟,小 舟最多只能同时乘载两个人。商人们知 悉了仆人们的如下阴谋:一旦在河的此 岸或彼岸出现了仆人人数超过商人人数 的现象,则立即干掉商人,劫走财宝。 请为商人们设计一个安全的渡河方案。


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