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答案--圆的解题方法归纳


圆的解题方法归纳
1. 遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。 作用:①利用垂径定理; ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。 1、AB 是的直径,CD 是的一条弦,且 CE⊥AB 于 E,连结 AC,BC。若 BE=2,CD=8, 求 AB 和 AC 的长。 解:∵AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB ∴CE=ED=4 设⊙O 的半径为 r,OE=OB-BE=r-2 在 Rt△OEC 中, r=5 ∴AB=10 又 CD=8, ∴CE=DE=4, ∴AE=8 ∴AC=

2、 圆 O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E, 已知 AE=6cm, EB=2cm, ∠CEA=30 求 CD。 答案

C F A O E

B D

2. 遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。 作用:利用圆周角的性质,得到直角或直角三角形。 1、如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,弦 BC=2, ∠B=
A O B C

2、 如图, AB 为⊙O 的直径, 点 C, D 在⊙O 上, ∠BAC=50°, 则∠ADC=

3. 遇到 90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用:利用圆周角的性质,可得到直径。 1、如图,AB、AC 是⊙O 的的两条弦,∠BAC=90°, AB=6,AC=8,⊙O 的半径是
B

A

C O

2、如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D;求证:BC 是过 A,D,C 三点的圆的 切线 解: (1)作出圆心 O, 以点 O 为圆心,OA 长为半径作圆 (2)证明:∵CD⊥AC,∴∠ACD=90° ∴AD 是⊙O 的直径 连结 OC,∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°, 又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90° ∴BC⊥OC,∴BC 是⊙O 的切线.

4. 遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用:①可得等腰三角形; ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 1、如图,弦 AB 的长等于⊙O 的半径,点 C 在弧 AMB 上,则∠C 的度数是________.

2、如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AD 是⊙O 的直径,若∠ABC=50°,求 ∠CAD 的度数。 解:连接 CD,∠ADC=∠ABC=50° ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠ACD=90° ∴∠CAD+∠ADC=90° ∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40°

5. 遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点) 作用:利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦 AC 与 AB 成 30°角,CP 与⊙O 切于 C, 交 AB?的延长线于 D, (1)求证:AC=CP. (2)若 CP=6,求图中阴影部分的面积(结果精确到 0.1) 。 (参考数据: ,π=3.14)

解:(1)连结 OC ∵AO=OC ∴∠ACO=∠A=30° ∴∠COP=2∠ACO=60° ∵PC 切⊙O 于点 C ∴OC⊥PC ∴∠P=30° ∴∠A=∠P ∴AC=PC。

(2)在 Rt△OCP 中,tan∠P= ∴OC=2

∵S△OCP=

CP·OC=

×6×2

=6

且 S 扇形 COB= ∴S 阴影= S△OCP-S 扇形 COB= 。

(2)常常添加连结圆上一点和切点

作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。 2、(1)如图 OA、OB 是⊙O 的两条半径,且 OA⊥OB,点 C 是 OB 延长线上任意一点: 过点 C 作 CD 切⊙O 于点 D,连结 AD 交 DC 于点 E.求证:CD=CE (2)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动交 OA 于 F,交⊙O 于 B’,其他条件不变, 那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么? (3)若将图中的半径 OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的 CF,点 E 是 DA 的延长线与 CF 的交点, 其他条件不变,那么上述结论 CD=CE 还成立吗?为什么

解题思路:本题主要考查圆的有关知识,考查图形运动变化中的探究能力及推理能力. 解答:(1)证明:连结 OD 则 OD⊥CD,∴∠CDE+∠ODA=90° 在 Rt△AOE 中,∠AEO+∠A=90° 在⊙O 中,OA=OD∴∠A=∠ODA, 又∵∠AEO=∠CED,∠CDE=∠CED (2)CE=CD 仍然成立. ∵原来的半径 OB 所在直线向上平行移动∴CF⊥AO 于 F, 在 Rt△AFE 中,∠A+∠AEF=90° . 连结 OD,有∠ODA+∠CDE=90° ,且 OA=OD .∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED (3)CE=CD 仍然成立. ∵原来的半径 OB 所在直线向上平行移动.AO⊥CF 延长 OA 交 CF 于 G,在 Rt△AEG 中,∠AEG+∠GAE=90° 连结 OD, 有∠CDA+∠ODA=90° ,且 OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE ∴∠CDE=∠AEO ∴CD=CE
[来源:Z|xx|k.Com]

考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内 容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。

6. 遇到证明某一直线是圆的切线时
(1)若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段,再证垂足到圆心的距离等于半径。

1、如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,AC⊥L 于 C,BD⊥L 于 D,且 AC+BD=AB。
求证:直线 L 与⊙O 相切。

(2)若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径) ,再证其与直线垂直。

2、如图,四边形 ABCD 内接于⊙O, BD 是⊙O 的直径, AE ? CD ,垂足为 E , DA 平分 ?BDE . (1)求证: AE 是⊙O 的切线; A ? E (2)若 ?DBC ? 30 ,DE ? 1cm ,求 BD 的长
解题思路:运用切线的判定 (1)证明:连接 OA ,? DA 平分 ?BDE ,??BDA ? ?EDA . O B C D

?OA ? OD, ??ODA ? ?OAD .??OAD ? ?EDA . ?OA∥CE .

? AE ? DE ,??AED ? 90?,?OAE ? ?DEA ? 90? .
? AE ? OA .? AE 是⊙O 的切线.
(2)? BD 是直径,??BCD ? ?BAD ? 90 .
?

A

E D

? ?DBC ? 30?,?BDC ? 60? ,??BDE ? 120? .

B

O

C

? DA 平分 ?BDE ,??BDA ? ?EDA ? 60? .??ABD ? ?EAD ? 30? .
在 Rt△AED 中, ?AED ? 90 ,?EAD ? 30 , ? AD ? 2DE .
? ?

在 Rt△ABD 中, ?BAD ? 90 ,?ABD ? 30 , ? BD ? 2 AD ? 4DE .
? ?

? DE 的长是 1cm,? BD 的长是 4cm.
2、PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,点 M 在 PB 上,且 OM∥AP,MN⊥AP,垂足为 N
若⊙O 的半径 R=3,PA=9,求 OM 的长 (1)求证:OM=AN(2)

答案【1】链接 OA、OB
∵AP 是切线,OA 是半径 ∴OA⊥AP ∵MN⊥AP ∴OA//MN ∴四边形 OANM 是平行四边形 ∴OM=AN 【2】 设 AN=X 所以 NP=AP-AN=9-x ∴OM=x △MNP 是直角△ 有勾股定理得出 MP? =x? -18x+90 证△OBM 与△MNP 相似(这个很简单 懒得打字了 自己证明) ∴OB/MN=OM/MP ∴(3/3)? =x? /(x? -18x+90) ∴x=5 ∴OM=5

7. 遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用:据切线长及其它性质,可得到:①角、线段的等量关系;②垂直关系;③全等、相似三角形。 【例 9】如图,P 是⊙O 外一点,PA、PB 分别和⊙O 切于 A、B,C 是弧 AB 上 任意一点,过 C 作⊙O 的切线分别交 PA、PB 于 D、E,若△PDE 的周 长为 12,则 PA 长为______________
O C B E A D P

答案

∵PA,PB 分别和⊙O 切于 A,B 两点,

∴PA=PB, ∵DE 是⊙O 的切线, ∴DA=DC,EB=EC, ∵△PDE 的周长为 12, 即 PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12, ∴PA=6.

8. 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。 作用:利用内心的性质,可得: ① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;

② 内心到三角形三条边的距离相等。 1、△ABC 的内切圆圆 O 与 AC、AB、BC 分别相切于点 D、E、F,且 AB=5cm, BC=9cm,AC=6cm,求 AE、BF 和 CD 的长。

答案解:设 AE 为 X

因为圆 O 是三角形 ABC 的内切圆 所以 AD=AE BE=BF CF=CD CD=AC-AD=6-X BF=BE=5-X CF=CD=6-X 那么 AE=1 BF=4 CD=5 解得 X=1

那么 AD=AE=X BE=AB-AE=5-X BC=CF+BF=6-X+5-X=9

2、如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC 的内切圆半径 r=________. 设△ABC 的内接圆圆心为点 O。 过点 O 作 OE 垂直 AC 于 E, 作 OF 垂直 BC 于 F,作 OG 垂直 AB 于 G。连结 AO,BO,CO。 设内接圆的半径为 X。易知四边形 OECF 为正方形。因此 EC 为 X。AE 为 6-X。 同理可得 BF 为 8-X。 易得△AEO 与△AGO 全等。因此 AG=AE=6-X。△BFO 与△BGO 全等。因此 BG=BF=8-X。 根据勾股定理,得 AB=10。即 AG BG=10。因此 6-X 8-X=10。解得 X=2。 即内接圆的半径为 2。

九. 遇到三角形的外接圆时
1、直角三角形,如果三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 已知:在△ABC 中,AB=13,BC=12,AC=5,求△ABC 的外接圆的半径. 解:∵AB=13,BC=12,AC=5, 2 2 2 ∴AB =BC +AC , ∴∠C=90°, ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径, ∴△ABC 的外接圆的半径为 6.5.

C A B

O

2、如图,已知,在△ABC 中,AB=10,∠A=70°,∠B=50°,求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析:可转化为①的情形解题. 解:作直径 AD,连结 BD. 则∠D=∠C=180°-∠CAB-∠BAC=60°,∠DBA=90°
AB 10 20 3 ∴AD= sin D = sin 60? = 3
10 3 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 3 .

十. 遇到三角形的外接圆和内切圆时
1、如图,Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I 分别切 AC,BC,AB 于 D,E,F, 求 Rt△ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离. 1、 5 (提示:连 ID,IE,IF,IB,证四边形 CEID 为正方形,求出 ID=CE=2, 证 BF=BE=4,OF=1,再在 Rt△IFO 中求 IO)

在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为( C ) A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.5


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