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高二数学三角函数图像的变化


用图像变换法画三角函数
y ? A sin( ? x ? ? ) ? A
? 0,? ? 0 ?

的图像

樟树中学:王 艳

重点:用电脑动态演示函数图像的变换过程,让 学生形象直观地看到各参数对图像的影响, 从而发现和归纳出各种变换法则。

难点:

y ? sin ? x

y ? sin( ? x ? ? )
y ? sin( ? x ? ? )

的变换过程.

y ? sin( x ? ? )

一、提出问题
问题一: 在同一坐标系中画出
y ? sin( x ?

?
4

)



y ? sin( x ?

?
6

)

靠近原点的

一个周期内的图像,并观察它们与

y ? sin x

的图像之间的关系。

问题二: 在同一坐标系中画出 y ? sin 2 x 和 y ? sin

1 2

x

靠近原点的一个

周期内的图像,并观察它们与 y ? sin x 的图像之间的关系。

问题三: 在同一坐标系中画出

y ? 2 sin x



y ?

1 2

sin x

靠近原点的一个

周期内的图像,并观察它们与

y ? sin x

的图像之间的关系。

二、研究问题
问题一:画
y ? sin( x ?

?
4

) 和y ? sin( x ?

?
6

) 的图像,并观察与 y ? sin x

的图像关系。

y
y ? sin( x ?

?
4

y ? sin x
B1

)

1
F1

B

B2

F
G

5?
G2 C1

5? 3 E1 3? 2 7? 4

A1

A
0

A2

C

C2

4

E
2?

E2

?

?
4

? ?
6 4

? 2? 3?
2 3 4

?

7? 6

13 ? 6

x
y ? sin( x ?

-1
D1

?
6

D

D2

)

y ? sin x y ? sin x

所有的点向左平移 所有的点向右平移

?
4 ?
6

个单位 个单位

y ? sin( x ?

?
4

)

y ? sin( x ?

?
6

)

一般地, y

? sin x

? >0时,向左平行移动 ? 个单位
? <0时,向右平行移动 ? 个单位

y ? sin( x ? ? )

上所有的点向左或向右平移|? | ? 个单位而得,注意 ? 的正负决定平移方向, | |决定平移大小。

y ? sin( x ? ? ) ? x ? R ? 的图像,可看作由 y ? sin x

变式1:如何由 的图像?
y ? sin( 2 x ?

y ? sin 2 x

的图像变换得到
y ? sin 2 x

y ? sin( 2 x ?

?
4

)和

y ? sin( 2 x ?

?
6

)

y
1
7?

?
4

)

7? 8

13 ? 12

0
?

12

?
8

?
12

?
6

3? 8

?
2

?

2?

x
?
6 )

-1

y ? sin( 2 x ?
?
8

所有的点向左平移
y ? sin 2 x
y ? sin 2 x

个单位 个单位
?
6

y ? sin( 2 x ?

?
4

)

所有的点向右平移
?
8

?
12

y ? sin( 2 x ?

?
6

)

注意到: 一般地:

y ? sin( 2 x ?

?
4

) ? sin[ 2 ( x ?

)]

y ? sin( 2 x ?

) ? sin[ 2 ( x ?

?
12

)]

y ? sin ? x
? ?

向左平移

? ?

个单位
?

y ? sin( ? x ? ? )

( ? ? 0)

注意:

的正负决定平移方向, ?

的大小决定平移量

www.3edu.net

变换法则(一)
函数
y ? sin( ? x ? ? )的图像,可看作由函数 y ? sin ? x

的图像上

所有的点向左或向右平移
?

? ?

个单位而得,注意? 的正负决定

平移方向,? 决定平移大小。

问题二:画 y ? sin 2 x 和 y ? sin
y
y ? sin 2 x

1 2

x 的图像,并观察其与 y ? sin x 的图像关系

y ? sin

1 2

x

1
?
2?

0

3?

4?

x

-1
y ? sin x
y ? sin x
y ? sin x

纵坐标不变,横坐标变为原来的

1 2


y ? sin 2 x
y ? sin 1 2 x

纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍

y 一般地, ? sin x

ω >1时,纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1/ω倍

0<ω <1时,纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1/ω倍

y ? sin ? x

y ? sin ? x ( x ? R , ? ? 0 ) 可以看作由 y ? sin x 上所有的点的纵坐标不

变,横坐标变为原来的

1

倍而得,注意 ? 与1的大小决定是扩大还是缩小。

?

变式2:如何由 y ? sin( x ?
y

?
6

) 的图像变换得到
?
6

y ? sin( 2 x ?

?
6

) 的图像?

y ? sin( 2 x ?

)

y ? sin( x ?

?
6

)

1
?
2 7? 12 2? 3 5? 6 12 7? 3π 2 5? 3

?
13 ?

6

2?
13 ? 6

0
-1

? ?
12 6

?
3

x

y ? sin( x ?

?
6

)

纵坐标不变,横坐标变为原来的

1 2



y ? sin( 2 x ?

?
6

)

1

纵坐标不变,横坐标变为原来的 ? 倍 y ? sin( ? x ? ? ) 一般地, y ? sin( x ? ? )
(? ? 0 )

变换法则(二)
函数y
? sin( ? x ? ? )

可以看作由y ? sin(
1

x??)

上所有的点
?


纵坐标不变,横坐标变为原来的

?

倍而得,注意

与1


大小决定是扩大还是缩小。

问题三:画 y ? 2 sin x 和 y ?
y
2
A1

1 2

sin x 的图像,并观察其与 y ? sin x

的关系

y ? 2 sin x
B

1
1 2
? 1 2
0

A

B1

?
2

?

3? 2

2?

x

?1

y ?
? 2

1 2

y ? sin x
sin x

y ? sin x y ? sin x

横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍 横坐标不变,纵坐标变为原来的
1 2

y ? 2 sin x



y ?

1 2

sin x
y ? A sin x

一般地, y ? sin x

A>1时,横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍 0<A<1时, 横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A倍

可以看作由 y ? sin x 上所有的点,横坐标不变,纵坐标 变为原来的A倍而得。注意 A 与1的大小决定是扩大还是缩小。

y ? A sin x ? x ? R , A ? 0 ?

变换法则(三)
函数y
的 点,横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍而得。 注 意 A与1的大小决定是扩大还是缩小。
? A sin x

可以看作由 y

? sin x

上所有

综合题:如何由 y ? sin x 的图像变换到 y ? sin( 2 x ? 变换一:

?
4

)

的图像?

y ? sin x

向左平移 4 个单位

?

纵坐标不变,横坐标变 y ? sin( 2 x ? ? ) y ? sin( x ? ) 1 4 为原来的 倍 4
?
2
?
4

y

y ? sin( 2 x ?

)

y ? sin( x ?

?
4

)

1

y ? sin x

?

?
4

?

?
8

0

?
8

?
4

3? 8

?
2

5? 3? 8 4

7? 8

?

5? 4

3? 2

7? 4

2?

x

-1

一般地:

y ? sin x

向左平移
? 个单位

纵坐标不变,横坐标
y ? sin( x ? ? )

变为原来的

1

y ? sin( ? x ? ? )

?



综合题:如何由 y ? sin x 的图像变换到
变换二:
y ? sin x 纵坐标不变,横坐标变

y ? sin( 2 x ?

?
4

)

的图像?

为原来的

1



y ? sin 2 x

向左平移 个单位
8

?

y ? sin( 2 x ?

?
4

)

2
y ? sin( 2 x ?

y

?
4

)

y ? sin 2 x

1

y ? sin x

?

?
4

?

?
8

0

?
8

?
4

3? 8

?
2

5? 8

3? 4

7? 8

?

3? 2

2?

x

-1

一般地:

y ? sin x

纵坐标不变,横坐标 变为原来的
1

向左平移

y ? sin ? x

?



? ?

y ? sin( ? x ? ? )

个单位

变换法则(四)
由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 .
y ? sin( ? x ? ? )

?A

? 0,? ? 0 ?

的图像。

变换一:从参数? 入手 向左平移
? 个单位
y ? sin( x ? ? )

纵坐标不变, 横坐标变为原 来的
1

y ? sin x

y ? sin( ? x ? ? )

?



变换二:从参数? 入手 变为原来的
1

y ? sin x

?


y ? sin ? x
? ?

向左平移

纵坐标不变,横坐标

个 单 位

y ? sin( ? x ? ? )

www.aaaxk.com

三、归纳问题
由函数 y ? sin x 的图像变换得到函数 y ? A sin( ? x ? ? ) . ? A ? 0 , x ? R , ? ? 0 ? 的图像。
变换一:从参数? 入手 向左平移

y ? sin x

y ? sin( x ? ? )

? 个单位

纵坐标不变,

横坐标变为原
来的
1

横坐标不变,
纵坐标伸长到 原来的A倍
y ? A sin( ? x ? ? )

?



y ? sin( ? x ? ? )

变换二:从参数? 入手

向左平移
? ?

个 单 位
y ? sin ? x

纵坐标不变,横坐标

y ? sin x

向两边扩展

变为原来的

1

?



变换三:从参数 A 入手(口述)

四、应用举例及练习
例1、若将某函数的图像向右平移

?
2

以后得到的图像的函数解析式 A
?
2 )

是 y ? sin( x ?
A. C.

?
4

) ,则原来的函数解析式是(
3? 4 )

)。

y ? sin( x ?
y ? sin( x ?

B. D.

y ? sin( x ?

?
4

)

y ? sin( x ?

?
4

)?

?
4

例2、为了得到函数 y ? sin( x ?

?
5

) 的图像,只需将函数 y ? sin( 2 x ?

?
5

)

的图像上的每个点(

A

)。

A.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变;
1

B.横坐标伸长为原来的

2

倍,纵坐标不变;

C.纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变; D.纵坐标伸长为原来的
1 2

倍,横坐标不变。

例3:若函数

f ( x ) ? sin( x ?

?
3

)

图像上每一个点的纵坐标不变,横

坐标伸长到原来的3倍得到函数 h ( x ) 的图像,再将图像上所有的点向右
?

平移 6 个单位得到k ( x )的图像,最后将图像上每一点的横坐标不变, 纵坐标伸长到原来的3倍得到 g ( x ) 的图像 则 g ( x ) 的解析式为
g ( x ) ? 3 sin( 1 3 x ? 5? 18 )

归纳:1.函数变换前的解析式;函数变换后的解析式;变换法则三者知其二 能求第三 2.求变换法则时要注意变换方向 3. 多步变换时要按步进行

练习:课本

P52 3

P56 3

五、课堂小结
1、变换法则: y ? sin x
y ? sin ? x y ? sin x y ? sin x
y ? sin( x ? ? )

y ? sin( x ? ? )

y ? sin( ? x ? ? ) (水平平移变换) y ? A sin x

(上下伸缩变换)

y ? sin ? x
y ? sin( ? x ? ? ) y ? sin( ? x ? ? )
y ? A sin( ? x ? ? )

(水平伸缩变换)

y ? sin x

y ? sin x

2、题型:函数变换前解析式,变换后解析式及变换法则三者知其二能求第三。 注意:两函数名相同,变换方向要明确。

知识拓展
1、要得到函数 y ? cos( x ? 2、若 A
? 0

?
3

) 的图像,需将函数 y ? 3 sin 4 x 怎样变换?

? ,

? 0

呢?

请学生课后思考!!!

六、布置作业

P115.

2. 3

谢谢

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