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浙江省温州市龙湾区龙湾中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


龙湾中学 2015 学年第一学期期中考试 高一数学
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:金懿 审核人:梁世日
一.选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1、 设集合 M ? ?? 1,0,2,4?, N ? ?0,2,3,4?,则 M ? N 等于( A.{0,2

} B.{2, 4} C.{0,2,4} ) B. f (x) ? )

D.{-1,0,2,3,4}

2、下列四组函数,表示同一函数的是( A. f ( x) ? C. f ( x ) ?

x2 , g( x) ? x

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 x ?1
2 x

x 2 ? 4 , g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2
?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

D. f ( x) ? lg 2 ? lg x , g ( x) ? lg

3、已知函数 f ( x) ? ? A.

,则 f ( f ( )) =(

1 9



1 2

B.

1 4
2

C.

1 6

D.

1 8
) D. c ? b ? a )

4、设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 ,则 a , b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b

1 2

2

1 5

1 2

1

5、下列函数为偶函数,且在 ? ??,0 ? 上单调递增的函数是( A. f ? x ? ? x
2 3

B. f ? x ? ? x

?3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

x

D. f ? x ? ? ln x )

6、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1(a, b ? R) , f (2) ? 2 则 f (?2) ? ( A. ? 2 B、0 C 、1 D、2

7、已知函数 f ( x ) 对任意的 x1 , x2 ? ?? 1,0? 都有 下列结论正确的是( )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数.则 x1 ? x2

1 4 2 3 4 1 C、 f ( ? ) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 3 2

A、 f ( ?1) ? f (? ) ? f (? )

4 1 3 2 1 4 D、 f ( ? ) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2 3
B、 f ( ? ) ? f ( ?1) ? f (? )

8 、 对 于 函 数 y ? f ( x)( x ? I), y ? g ( x)( x ? I) , 若 对 任 意 x ? I , 存 在 x o 使 得

f ( x) ? f ( xo ), g ( x) ? g ( xo ) , 且 f ( xo ) ? g ( xo ) , 则 称 f ( x), g ( x) 为 I 上 的 “ 兄弟 函 数 ” . 已 知

f ( x) ? x 2 ? px ? q, g ( x) ?
?1 ? ? 2 ,2? 上的最大值为( ? ?
A.

x2 ? x ?1 ?1 ? 是定义在区间 ? ,2? 上的“兄弟函数” ,那么函数 f ( x ) 在区间 x ?2 ?



3 2

B.2

C.4

D.

5 4
;当

二.填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. ) 9、函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 8 ( a ? 0且a ? 1 )的图象过定点 P ,则点 P 的坐标为 幂函数 g ( x) 过点 P 时, g ( x) 的解析式为 10、已知 f ( x ? 1) ? log2 ( x ? 4) ,则 f (5) ? 11、函数 f ( x) ? log2 (? x 2 ? 2x ? 3) 的单调递增区间为 . , f ( x ) 的定义域为 ,值域为 . . ;当

12、已知 f ( x ) 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 8 ,则 x ? 0 时, f ( x) ?

f ( x ? 2) ? 0 时, x 的取值范围是
2



13、已知 lg a, lg b 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个根,则 (lg ) 2 的值是

a b



14、已知 f ( x) 是 R 上的增函数,若关于 x 的方程 f (b) ? f (| 2 x ? 1 |) 有且只有一个实根,则实数 b 的 取值范围是 15、已知函数 f ( x) ? .

M 5 ? 2 3 ? 2x ? x 2 的最大值为 M ,最小值为 N ,则 ? N x ?1 ? 3 ? x



三.解答题: (本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 14 分)计算下列各式: (要求写出必要的运算步骤) (1) 0.027
2
? 1 3

1 1 ? (? )?2 ? 2560.75 ? 3?1 ? ( )0 ; 6 2

? 4 ? 3 log27 16 ? lg 25 ? lg 4 ? 3log3 2 . (2) ? ? ? log3 4 ?9?

17、(本小题满分 15 分)已知集合 A ? x 0 ? 2 x ? a ? 3 , B ? ? ?y

?

?

?

?

1 ? y?2 2

?. ? ?

(1)当 a ? 1 时,求 ?CU B ? ? A ;.

(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

18、(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (1)求 f ( x ) 的解析式;

1 3 , x ? (0, ??), 且f (2) ? . m x 2

(2)用单调性的定义证明函数 f ( x ) 在其定义域 ?0,??? 上为增函数; (3)解关于 x 的不等式 f( 3
x-2

? 1 ) ? f( 9 ? 1 ) .

x 3

19、(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? (1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 的值域; (3)若关于 x 的方程 2 f ( x) ? b
c ?1

2x ?1 ( x ? R ) 为奇函数. 2x ? a

? 1 ? 0(0 ? b ? 1) 无实数解,求实数 c 的取值范围.

20、(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c ( x ? R , a ? 0) (Ⅰ)若 a ? ?1, c ? 0 ,且 y ? f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值为 g (b) ,求 g (b) ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调,且它的图象与 x 轴相切,求

f (1) 的最小值. b ? 2a

龙湾中学 2015 学年第一学期期中考试 高一(数学)答卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1 2 3 4 5 6 7 8

二.填空题(本大题共 7 小题, 前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分, 共 36 分. ) 9、_________________ _________________ 11、________________ _________________ 13、_________________ 10、_________________ _________________ 12、_________________ _________________ 15、_________________

14、__________________

三. 解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 14 分) (1)

(2)

17. (本小题满分 15 分)

18.(本小题满分 15 分)

19.(本小题满分 15 分)

20.(本小题满分 15 分)

龙湾中学 2015 学年第一学期高一期中考试(数学) 答案
一.选择题 1 D 2 D 3 B 4 B 5 C 6 B 7 D 8 B

二.填空题 9、 ?2, 8? , 11、

g ( x) ? x3
, ?? ?,2?

10、
3

log2 12 ,

?3,???

?? 3, ? 1?
2

12、 x ? 8 ,

x ? 4或0 ? x ? 2
15、

13、

14、

b ? 0或b ? 1

9 2 10
4

三. 解答题

16.(1)

原式 ? ? 32

10 1 ? 36 ? 64 ? ? 1 3 3

2 log 33 2 (2)原式= + ? lg100 ? 2 3 log 3 22 2 2 + +2 ? 2 3 3 16 ? 3 ?

说明:每小题 7 分,每小题每算对一项给 1 分. 17.(1) 当 a ? 1 时, A ? ? ?

? ?

1 ? , 1 ,………………….……….……….……….…2 分 2 ? ?

1? ? CU B ? ? ? ?, ? ? ?2,??? ………………….……….……….……….…4 分 2? ?

??CU B? ? A ? ?? ?,1?? ?2,??? .………………….……….……….…7 分
(2)? A ? ? ?

? a 3? a? , ? , 若A ? B , ? 2 2 ?
a 3? a ? ,? 0 ? 3 不成立, ? A ? ?. ………………….…10 分 2 2

则当A ? ?时,-

1 ? a ? ?? ? ? 2 2 ?? ? 3? a ? 2 ? ? 2

………………….……….……….………….… … 13 分

解得: ?1 ? a ? 1 , 所以,a 的取值范围是? ?1, 1 ? .………….… ……15 分 说明:不考虑空集扣 3 分

18.(1)由 f (2) ?

3 1 得 m=1? f ( x) ? x ? ……….……….……….…………3 分 2 x

(2)对任 0 ? x1 ? x2 ,有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ?

? x ? x ? ? (1 ? x2 x1 ) ? 0 ,即 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? 2 1 x2 x1 x1 x2
8分

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,故 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上为增函数;……….……….……….
(3)由(1)知, f( 3
x-2

? 1 ) ? f( 9 ? 1 ) 等价于 0 ? 3

x 3

x?2

? 1 ? 9 ? 1 …….………. 10 分

x 3

?3 x ? 2 ? 1 ? 即? x ,………………….……….……….………….… … ….……… x?2 3 ? ?3 ? 9

12 分

?x ? 2 ? 0 ? 2 x ,………………….……….……….………….… … ….……… ? x?2? ? 3 ?
? 2 ? x ? 6 .………………….……….……….………….… … ….………
19.(1)由 f ( x) 是奇函数可得: f (? x) ? ? f ( x) ,即

14 分

15 分

2? x ? 1 2x ?1 ? ? ,.………1 分 2x ? a 2x ? a
3分

化简可得: ?1 ? a ? 2 x ? 2? x ? 2 ? 0 ……….………….… … ….……… .………

?

?

? a ? 1 .……….………….…… ….……… .……………….………….……
(2) f ( x) ?

4分 6分

2x ?1 2 ? 1? x ,….……… .……………….………….… … x 2 ?1 2 ?1

? 2 x ? 0,? 2 x ? 1 ? 1,….……… .……………….………….… ….… …
?0 ?
x

7分

2 ? 2 ,….……… .……………….………….… ….… … 8分 2 ?1 2 ? ?1 ? 1 ? x ? 1 ,即 f ( x) 的值域为 ?? 1,1? .……….………….… ….… 2 ?1
(3)由 2 f ( x) ? b
c ?1

9分 10 分

?1 ? 0 无实数解可得: bc?1 ? 2 f ( x) ?1 无实数解 ….…
12 分 13 分 14 分

由(2)可得: ? 3 ? 2 f ( x) ? 1 ? 1,……………….………….… ….… …

?bc ?1 ? 1或bc ?1 ? ?3, ……………….………….… ….… … ….… …… ? bc ?1 ? 0, ? bc ?1 ? 1 ……………….………….… ….… … ….… ……
? c ? 1 ? 0 ,即 c ? 1 .……………….………….… ….… … ….… …… …… 15 分

20.(Ⅰ) a ? ?1, c ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 2bx ? ?( x ? b) ? b , ….… …… …… 1 分
2 2 2

∴对称轴是直线 x ? b ,

① b ? ?1 时, f ( x)max ? f (?1) ? ?1 ? 2b ……….… ….… … ….… …… …… 3 分 ②当 ?1 ? b ? 3 时, f ( x)max ? f (b) ? b2 ……….… ….… … ….… …… …… 5 分 ③当 b ? 3 时, f ( x)max ? f (3) ? ?9 ? 6b ……….… ….… … ….… …… …… 7 分

??1 ? 2b, (b ? ?1) ? 2 综上所述, g (b) ? ?b , ( ?1 ? b ? 3) ; ??9 ? 6b, (b ? 3) ?

……….… ….… … ….… ……

8分

2 (Ⅱ)∵函数 f ( x) 的图象和 x 轴相切,∴ ? ? b ? 4ac ? 0 ?

c 1 b 2 ? ( ) , ….… …9 分 a 4 a

∵ f ( x) 在 [?8, ?2] 上不单调, ∴对称轴 x ? ? ∴

2b b ? ? ? (?8, ?2) 2a a

b ? (2,8) ……….… ….… … ….… …… ……….… ….… … ….… …… 11 分 a 2b c 2b 1 b 1? ? 1 ? ? ( )2 f (1) a ? 2b ? c a a? a 4 a ,……….… ….… … ….… ……12 分 ? ? b b b ? 2a b ? 2a ?2 ?2 a a b 设 ? t ? (2,8) ? t ? 2 ? (0, 6) , a 2b 1 b 1 1 ? ? ( )2 1 ? 2t ? t 2 2 f (1) a 4 a ? 4 ? 1 t ? 8t ? 4 .… ….… … ….… …… ……13 分 ∴ ? b b ? 2a t ?2 4 t ?2 ?2 a

1 16 1 16 ? [(t ? 2) ? ? 8] ? [2 (t ? 2) ] ? 8] ? 4 ,……….… ….… … ….… …… 15 分 4 t ?2 4 t ?2
∴(

f (1) ) min ? 4 ,此时当且仅当 t ? 2 ? 4 ? (0,6) ? t ? 6 . b ? 2a


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