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江苏省苏州市五市三区2013届高三上学期期中考试数学试题


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江苏省苏州市五市三区 2013 届高三上学期期中考试试题

数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 集合 A ? {1, t } 中实数 t 的取值范围是 .

若 不 等 式 x 2 ? 3 x

? 0 的 解 集 为 M , 函 数 f ( x ) ? lg( 1 ? x ) 的 定 义 域 为 N , 则
M ? N ?

. 条

3.

如果 p 和 q 是两个命题,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的 件.

4.

将函数 f ( x ) ? 2 cos(

x 3

?

?
6

) 的图象向左平移

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函 .

数 g ( x ) 的图象,则 g ( x ) 的解析式为 5. 已知向量 a 与 b 的夹角为
2

?
3

, | a |?
2

2 ,则 a 在 b 方向上的投影为

.

6. 7. 8. 9.

若 tan ? ? 3 ,则

sin ? ? 3 cos ? sin ? ? 2 sin ? cos ? ? 5
2

?

. . .
1

设变量 x , y 满足 | x | ? | y |? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为 函数 y ?
1? x 1? x

的单调递减区间为

已知关于 x 的不等式 ( ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集是 ( ?? , ) ? ( ? 1, ?? ) ,
a

则实数 a 的取值范围是

.

10. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? bx 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3 x ? y ? 2 ? 0 平行, 若数列 {
1 f (n) } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2013 的值为

.

11. 在锐角 ? ABC 中,若 A ? 2 B ,则

a b

的取值范围是

.

12. 已 知 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 ( 0 , ?? ) 上 是 单 调 函 数 , 若 对 任 意 x ? ( 0 , ?? ) , 都 有
f [ f ( x) ? 1 1 x ]? 2,

则 f ( ) 的值是
5

.

13. ? ABC 内接于以 P 为圆心,半径为 1 的圆,且 3 PA ? 4 PB ? 5 PC ? 0 ,则 ? ABC 的面 积为
第 1 页 共 11 页

.

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14. 若已知 a , b , c ? 0 ,则
a ?b ?c
2 2 2

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的最小值为 .

ab ? 2 bc

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x ) ? log 4 x , x ? [
1 3x?a x ( ) ? 2 (a ? R ) 的 2 1 16 ,4 ] 的 值 域 为 集 合 A , 关 于 x 的 不 等 式

解集为 B ,集合 C ? { x |

5? x x ?1

? 0} ,集合 D ? { x | m ? 1 ? x ? 2 m ? 1} ( m ? 0 )

(1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 D ? C ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ? ABC 内接于圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,
AB 所在直线方程为 y ? kx ? m( k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .

(1)若 3k ?

2ac a ?c ?b
2 2 2

, 求 cos

2

A?C 2

? sin 2 B 的值;

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? 2

), 求 sin(? ? ? ) 的值。
y A

O B C

x

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17. (本小题满分 14 分)

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某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所 有员工均在此食堂用餐。 已知 A 、B 、C 中任意两点间的距离均有 1km , ? BDC ? ? , 设 所有员工从车间到食堂步行的总路程为 s . (1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少
C 第 17 题图 B D A

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x 2 ln | x | , (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x ) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 { a n } 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? b n ? 0 ( n ? N *) 的两根,
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且 a1 ? 1 . (1)求证:数列 { a n ?
1 3

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? 2 } 是等比数列;
n

(2) S n 是数列 { a n } 的前 n 项和, 设 问是否存在常数 ? , 使得 b n ? ? S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立,若存在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? ?
? x 2 ? ax ? 1 , x ? a ?4 ? 4 ? 2
x x?a

,x ? a

,

(1)若 x ? a 时, f ( x ) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ? 4 时,函数 f ( x ) 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

苏州市五市三区 2013 届高三期中考试试题

数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
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1. {t | t ? 1}
? 12 35

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4. g ( x ) ? 2 cos(
x 3 ?

2. (?? ,3]

3.充分不必要.

?
4

) ?1

5.

2 2

6.

7. 2

8. ( ?? , ? 1), ( ? 1, ?? )

9. [? 1, 0 )

10.

2013 2014

11. ( 2 , 3 )

12. 6

13.

6 5

14.

2 5 5

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为 4 ? 1 ,所以 f ( x ) 在 [ 所以 A ? [ f ( 又由 ( )
2 1
3x?a

1 16

, 4 ] 上,单调递增,

1 16

), f ( 4 )] ? [? 2 ,1] ,--------------------------2 分
x
? (3 x ? a )

? 2 ( a ? R ) 可得: 2 a 4

? 2 即: ? 3 x ? a ? x ,所以 x ? ?
x

a 4



所以 B ? ( ?? , ?

) ,--------------------------4 分

又 A ? B ? B 所以可得: A ? B ,--------------------------5 分 所以 ?
a 4 ? 1 ,所以 a ? ? 4 即实数 a 的取值范围为 ( ?? , ? 4 ) .--------------------------6 分 5? x x ?1 ? 0 ,所以有 x?5 x ?1 ? 0 ,所以 ? 1 ? x ? 2 ,所以 C ? (? 1,5 ] ,--------------------8

(2)因为 分

对于集合 D ? { x | m ? 1 ? x ? 2 m ? 1} ? C 有: ①当 m ? 1 ? 2 m ? 1 时,即 0 ? m ? 2 时 D ? ? ,满足 D ? C .--------------------10 分 ②当 m ? 1 ? 2 m ? 1 时,即 m ? 2 时 D ? ? ,所以有:
?m ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? m ? 3 ,又因为 m ? 2 ,所以 ? 2 ? m ? 3 --------------------13 分 ? ?2m ? 1 ? 5

综上:由①②可得:实数 m 的取值范围为 ( 0 ,3 ] .--------------------14 分 16.(本小题满分 14 分) 解: (1) 变式得: 3
B 2
第 5 页 共 11 页

sin B cos B

?

2 ac a ?c ?b
2 2 2

解得 sin B ?

1 3

,--------------------4 分

原式 ? sin 2

? sin 2 B ?

1 ? cos B 2

? 2 sin B cos B ?

9?2 2 18

;--------------------7 分

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(2)方法一: ? AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,
? ? xOD ? ? ?

? ??
2

?

? ??
2

, ? tan(

? ??
2

) ? kOD ? ?

1 k

??

1 2

--------------------11


2 tan( ? sin( ? ? ? ) ? 1 ? tan (
2

? ??
2

) ? ? )

4 5

? ??
2

--------------------14 分

方法二: ?

?x 2 ? y 2 ? 1 ? y ? 2x ? m

? 5 x ? 4mx ? m ? 1 ? 0 ,
2 2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), x 1 ? x 2 ? ?

4m 5

, x1 x 2 ?

m ?1
2



5

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? ( 2 x1 ? m) x 2 ? x1 ( 2 x 2 ? m)

? 4 x1 x 2 ? m ( x 1 ? x 2 ) ? ?

4 5

--------------------14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)在 ? BCD 中,?
BD sin 60
0

?

BC sin ?

?

CD sin( 120
0

??)

,--------------------2 分

3 ? BD ? 2 , CD ? sin( 120 ? ? ) ,则 AD ? 1 ? sin( 120 ? ? ) 。--------------------4 分 sin ? sin ? sin ?
0 0

3 sin( 120 ? ? ) s ? 400 ? 2 ? 100 [1 ? ] sin ? sin ?
0

? 50 ? 50 3 ?

cos ? ? 4 sin ?







?
3

?? ?

2? 3

。……..6 分
? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4 ) cos ? sin ?
2

(2) ' ? ? 50 3 ? s 分

? 50 3 ?

1 ? 4 cos ? sin ?
2

。 --------------------8

令 s ' ? 0 得 cos ? ? 当 cos ? ? 当 cos ? ?
1 4 1 4

1 4

。记 cos ? 0 ?

1 4

,? 0 ? (

? 2?
, 3 3

)

时, s ' ? 0 ,--------------------.9 分 时, s ' ? 0 ,--------------------10 分

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所以 s 在 ( 在 (? 0 ,
2? 3
1 4

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?
3

, ? 0 ) 上,单调递减,--------------------11 分

) 上,单调递增,…………..…...12 分

所以当 ? ? ? 0 ,即 cos ? ?

时, s 取得最小值。--------------------13 分
3 1 2 sin ?

此时, sin ? ?

15 4

, AD ? 1 ?

sin( 120

0

??)

cos ? ?

sin ?

sin ?

?1? 2

1
? 1 2 ? 3 2 ? cos ? sin ?

?

1 2

?

3 2

?

4 15 4

?

1 2

?

5 10

答:当 AD ?

1 2

?

5 10

时,可使总路程 s 最少。--------------------14 分

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? R 且 x ? 0} 关于坐标原点对称.--------------- 1 分
f ( ? x ) ? ( ? x ) ln | ? x |? x ln x ? f ( x ) ? f ( x ) 为偶函数.--------------- 4 分
2 2

(2)当 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 x

? x ( 2 ln x ? 1) --------------- 5 分
? 1 2

令 f ' ( x ) ? x ( 2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? x ? e 令

? x ?

e e

f ' ( x ) ? x ( 2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 0 ? x ? e

?

1 2

? 0? x ?

e e

-------------------------------------------- 6 分 所以可知: x ? ( 0 , 当 7分 又因为 f ( x ) 是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得:
e e e e e e ) 时, f ( x ) 单调递减, x ? ( 当 e e , ?? ) 时, f ( x ) 单调递增, ----------

当 x ? (?

, 0 ) 时, f ( x ) 单调递增,当 x ? ( ?? , ?

) 时, f ( x ) 单调递减,---------- 8 分

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综上可得:
f ( x ) 的递增区间是: ( ?
e e e e e e

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,0 ) , (

, ?? ) ;

f ( x ) 的递减区间是: ( 0 ,

) , ( ?? , ?

e e

) --------------------------- 9 分

(3)由 f ( x ) ? kx ? 1 ,即 f ( x ) ? x 2 ln | x |? kx ? 1 ,显然, x ? 0 可得: x ln | x | ?
1 x ? k --------------------- 10 分 1 x
g ' ( x ) ? x ' ln x ? x ? 1 x ? 1 x
2

令 g ( x ) ? x ln | x | ?

,当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ln x ?
1 x
2

1 x

? ln x ? 1 ?

? ln x ?

x ?1
2

x

2

----------- 12 分

显然 g ' (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减, 当 x ? 1 时, g ' ( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,
? x ? 0 时, g ( x ) min ? g (1) ? 1 ----------- 14 分

又 g ( ? x ) ? ? g ( x ) ,所以可得 g ( x ) 为奇函数,所以 g ( x ) 图像关于坐标原点对称 所以可得:当 x ? 0 时, g ( x ) max ? g ( ? 1) ? ? 1 ----------- 15 分 ∴ g (x) 的值域为 ( ?? , ? 1] ? [1, ?? ) 分 19. (本小题满分 16 分) 解:(1) a n , a n ? 1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? b n ? 0 ( n ? N *) 的两根,
2 n

∴ k 的取值范围是 ( ?? , ? 1] ? [1, ?? ) .----------- 16

? a n ? a n ?1 ? 2 n ...................4 分。 ?? ? a n a n ?1 ? b n

由 a n ? a n ? 1 ? 2 ,得 a n ? 1 ?
n

1 3

?2

n ?1

? ?(a n ? ? 1 3

1 3

?2 ),
n

故数列 { a n ?

1 3

? 2 } 是首项为 a 1 ?
n

2 3

,公比为 ? 1 的等比数列....................6 分。
1 3 [ 2 ? ( ? 1) ] .
n n

(2)由(1)得 a n ?

1 3

?2

n

?

1 3

? ( ? 1)

n ?1

, 即an ?

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? b n ? a n a n ?1 ? 1 9 [ 2 ? ( ? 1) ][ 2
n n n ?1

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? ( ? 1)
n ?1

]

又? S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a n
? 1 3
? 1 3 [2
n ?1

{( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ) ? [( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ? ? ( ? 1) ]}
2 3 n 2 n

?2?

( ? 1) ? 1
n

] ...................9 分。

2

要使 b n ? ? S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立有: ①当 n 为正奇数时,有:
bn ? ? S n ?
1 9
n

( 2 ? 1)( 2
n

n ?1

? 1) ? ?

1 3

(2

n ?1

? 1) ? 0 ,? 2

n ?1

?1 ? 0 ,

所以有:

1 9

( 2 ? 1) ? 1

?
3

? 0 ,即 ? ?

1 3

( 2 ? 1) ,对任意正奇数 n 都成立.
n

又 因 为 { ( 2 ? 1)} 单 调 递 增 , 所 以 当 n ? 1 时 ,
n

1 3

( 2 ? 1) 有 最 小 值
n

3

1.? ? ? 1 ........................12 分。 ②当 n 为正偶数时,有:
bn ? ? S n ?
1 9
n ?1

( 2 ? 1)( 2
n

n ?1

? 1) ? ? 1 3
n ?1

1 3

(2

n ?1

? 2) ? 0 ,

即:

1 9

( 2 ? 1)( 2
n

? 1) ? ? ? 1) ? ? 2 3

(2

? 2) ? 0

即:

1 9

( 2 ? 1)( 2
n

n ?1

2 3

( 2 ? 1) ? 0 ,又因为 2 ? 1 ? 0
n

n

所以有:

1 9

(2

n ?1

? 1) ? ?

? 0 ,即 ? ?

1 6

(2

n ?1

? 1) 对任意正偶数 n 都成立.

1 n ?1 1 n ?1 3 3 { (2 ? 1)} 单调递增, 所以当 n ? 2 时, ( 2 ? 1) 有最小值 .? ? ? .............14 分。 6 6 2 2

综 上 所 述 , 在 常 数 ? , 使 得 bn ? ? S n ? 0 对 任 意 n ? N * 都 成 立 , ? 的 取 值 范 围 是
(?? ,1) ........16 分。

20.(本小题满分 16 分)
x x?a a 解: (1)因为 x ? a 时, f ( x ) ? 4 ? 4 ? 2 ,所以令 2 x ? t ,则有 0 ? t ? 2 ,所以

f ( x ) ? 1 当 x ? a 时恒成立,可转化为 t ? 4 ?
2

t 2
a

? 1,

第 9 页 共 11 页

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4 2
a

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?t?

1 t

在 t ? ( 0 , 2 a ) 上恒成立, --------------------------------------2 分.

1 1 令 g ( t ) ? t ? , t ? ( 0 , 2 a ) ,则 g ' ( t ) ? 1 ? 2 ? 0 ,------------------------------3 分. t t 1 所以 g ( t ) ? t ? 在 ( 0 , 2 a ) 上单调递增, -------------4 分. t 1 4 1 所以 g ( t ) ? g ( 2 a ) ? 2 a ? a ,所以有: a ? 2 a ? a . 2 2 2 5 a a 2 a ? a ? 2 ? ( 2 ) ? 5 ? 2 ? 5 -----------------------------------------5 分. 2
? a ? log
2

5 .----------------------------6 分.

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? x 2 ? ax ? 1 ,即 f ( x ) ? ( x ?
a 2

a 2

) ?1?
2

a

2

,----------7 分.

4

①当

? a ? a ? 0 时,此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 单调递增,

所以 f ( x ) min ? f ( a ) ? 1 ;-------------------------------------------------8 分. ②当
a

a 2

? a ? ? 4 ? a ? 0 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以 f ( x ) 在 [ a ,
a a
2

a 2

) 单调递减,

在 ( , ?? ) 单调递增,所以 f ( x ) min ? f ( ) ? 1 ?
2
2

.

4

所以由①②可得: 当 x ? a 时有: f ( x ) min

2 ? a ? 1? ,? 4 ? a ? 0 ? ? .---------- -----------9 分. 4 ?1 , a ? 0 ?



x? a
2


4 2
a


2 2

f ( x) ? 4 ? 4 ? 2
x

x?a

,



2 ?t
x

,

t ? (0,2 )
a





h (t ) ? t ?

t ? (t ?
a

a

) ?
2

4 4
a

,
1 2

③当 0 ? 增

2 2
a

? 2

? 2

2a

? 2? a ?

时,h (t ) 在 ( 0 ,

2 2
a

) 单调递减,在 (

2 2
a

, 2 ) 上单调递

a

h ( t ) min ? h (

2
a

)? ?
a

4 4
a

;---------------------------------------10 分.
2a





2 2
a

? 2
a

? 2

? 2? a ?
a

1 2





h (t )



(0,2 )

a







2

减, h ( t ) ? ( h ( 2 ), h ( 0 )) ? ( 4 ? 4 , 0 ) 所以,此时, h (t ) 在 ( 0 , 2 ) 上无最小值; ---------------------------------------------11 分.
第 10 页 共 11 页
a

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所以由③④可得当 x ? a 时有:当 a ? 当a ? 所以,由①②③④可得: 当a ?
1 2 1 2 1 2

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时, f ( x ) min ? h ( t ) min ? ?
4 4
a

;

时,无最小值.----------------- -------------12 分.

时,因为 ?
1 2

4 4
a

? 1 ,所以函数 f ( x ) min ? ?

4 4
a

;---------------------------13 分.

当0 ? a ?

时, 因为 4 a ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ( x ) 无最小值; --------------------------------14 分.
a
2

当 ? 4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ? 3 ? 1 ?
a

,函数 f ( x ) 无最小值.--------- ----------------15 分.
4 4
a

4

综上所述,当 a ? 小值.

1 2

时,函数 f ( x ) 有最小值为 ?

;当 ? 4 ? a ?

1 2

时,函数 f ( x ) 无最

1 所以函数 f ( x ) 在实数集 R 上有最小值时,实数 a 的取值范围为 ( , ?? ) .---------16 分. 2

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