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新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)


新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题
(时间 120 分钟,分值 150 分) 姓名_________得分_________ 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上) 1.函数 y=x2cosx 的导数为 A. y′ =2xcosx-x2sinx B. y′ =2xcosx+x2sinx 2 C. y′ cosx-2xsinx =x D. y′ =xcosx-x2sinx

1? x2 1.设 y ? ,则 y ' ? ( sin x

) .

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x A. sin 2 x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x B. sin 2 x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) C. sin x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) D. sin x

2.下列结论中正确的是 A. 导数为零的点一定是极值点 B. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值

x f ( x0 ) 是极小值 C. 如果在 0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
2.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y= f ?(x) 的图象可能是 ( )

4.曲线 y ? x 在点 (2,8) 处的切线方程为( ) .
3

A. y ? 6 x ? 12 C. y ? 8x ? 10
2

B. y ? 12x ? 16 D. y ? 2 x ? 32 ( )?
4 3

3.设 f(x)=x (2-x),则 f(x)的单调增区间是
4 ?A.(0, ) 3 4 B.( , +∞) 3

C.(-∞,0)?

D.(-∞,0)∪( ,+∞)?

第 1 页

8.积分

?

a

?a

. a 2 ? x 2 dx ? ( ) B.

A.

1 ?a 2 4

1 ?a 2 2

C. ?a 2

D. 2?a 2

9.由双曲线 积为( A. )

x2 y2 ? ? 1 ,直线 y ? b, y ? ?b 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体 a2 b2

8 ?ab 2 3

B.

8 2 ?a b 3

C.

4 ?a 2 b 3

D.

4 ?ab 2 3

10.由抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形的面积是( ) . A. 18 B.

38 3

C.

16 3

D. 16 ) .

11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V ,则其表面积最小时,底面边长为( A. 3 V B. 3 2V C. 3 4V D. 23 V

12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 组成,其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个 纸花瓣的面积为( ) . A. 6 ? 3 3?
2

B. 12 ?

3 3 2 ? 2

C. 6 ? ?

2

D. 6 ?

3 3 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分。请将答案填在答题卷相应空格上。 ) 13.曲线 y ? x 在点 (a, a )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为
3 3

1 ,则 a ? _________ 。 6
14.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移是 S ? 为零的时刻是_______________。 15. lim(
n ??

1 4 3 3 t ? t ? 2t 2 ,那么速度 4 5

1 2 n ? 2 ??? 2 ) ? _______________. 2 n ?1 n ? 2 n ? n2
2

16.

?

4

0

(| x ? 1 | ? | x ? 3 |)dx ? ____________。

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
第 2 页

(17) (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数, 求 t 的取值范围。

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程.

(19) (本小题满分 14 分) 设 0 ? x ? a ,求函数 f ( x) ? 3x 4 ? 8x 3 ? 6 x 2 ? 24x 的最大值和最小值。

(20) (本小题满分 12 分) 用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆 心角 ? 多大时,容器的容积最大?

第 3 页

(21) (本小题满分 12 分) 直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求 k 的值.

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 。 2

(1)若 b ? 2 ,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 (2)设函数 f (x) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C 2 交于点 P, Q ,过线段 PQ 的中点作

x 轴的垂线分别交 C1 、 C 2 于点 M , N 。证明: C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的
切线不平行。

新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 C
第 4 页

7 A

8 B

9 B

10 A

11 C

12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) (13) ? 1 、 (14) 、

t?0

(15) 、

1 ln 2 2

(16) 、

10

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分) 解:由题意知: f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,则

f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2x ? t

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(3 分)

∵ f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数,∴ f ' ( x) ? 0 即 t ? 3x ? 2 x 在区间 (?1,1) 上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(5 分)

设 g ( x) ? 3x 2 ? 2 x ,则 g ( x) ? 3( x ? ) ?
2

1 3

1 ,于是有 3

t ? g ( x) max ? g (?1) ? 5
∴当 t ? 5 时, f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分)
2 2 又当 t ? 5 时, f ' ( x) ? ?3 x ? 2 x ? 5 ? ?3( x ? ) ?

1 3

14 , 3

在 (?1,1) 上,有 f ' ( x) ? 0 ,即 t ? 5 时, f (x) 在区间 (?1,1) 上是增函数 当 t ? 5 时,显然 f (x) 在区间 (?1,1) 上不是增函数 ∴t ? 5 (18) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? 3 ,依题意,
2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? 解得 a ? 1, b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
∴ f ' ( x) ? x 3 ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f (x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;

┅┅ (3 分)

, 若 x ? (?1 1) ,则 f ' ( x) ? 0
故 f (x) 在 (?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (2)曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。
3

(6 分)

设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0
3

第 5 页

由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
2 3

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2
3

所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分) (19) (本小题满分 14 分) 解: f ' ( x) ? 12x 3 ? 24x 2 ? 12x ? 24 ? 12( x ? 1)(x ? 1)(x ? 2) 令 f ' ( x) ? 0 ,得: x1 ? ?1, x2 ? 1, x3 ? 2 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表: ┅┅┅┅┅┅┅ (2 分)

x
f ' ( x) f (x)

(0,1)

1

(1,2)
- 单调递减

2

(2,??)

?
单调递增

0
极大值

0
极小值

?
单调递增

∴极大值为 f (1) ? 13 ,极小值为 f (2) ? 8 又 f (0) ? 0 ,故最小值为 0。 最大值与 a 有关: (1)当 a ? (0,1) 时, f (x) 在 (0, a ) 上单调递增,故最大值为: ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24a
4 3 2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(8 分)

(2)由 f ( x) ? 13 ,即: 3x ? 8x ? 6 x ? 24x ? 13 ? 0 ,得:

( x ? 1) 2 (3x 2 ? 2x ? 13) ? 0 ,∴ x ? 1 或 x ?
又 x ? 0 ,∴ x ? 1 或 x ? ∴当 a ? [1 ,

1? 2 10 3
(10 分)

1? 2 10 3

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

1 ? 2 10 ] 时,函数 f (x) 的最大值为: f (1) ? 13 3 1 ? 2 10 ,??) 时,函数 f (x) 的最大值为: 3

┅┅ (12 分)

(3)当 a ? (

f (a) ? 3a 4 ? 8a 3 ? 6a 2 ? 24a
(20) (本小题满分 12 分)

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(14 分)

解:设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,则 由 h ? r ? R ,所以
2 2 2

第 6 页

V ?

1 1 1 1 ?r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ?R 2 h ? ?h 3 , (0 ? h ? R) 3 3 3 3

∴V ' ?

1 2 3 ?R ? ?h 2 ,令 V '? 0 得 h ? R 3 3

┅┅┅┅┅┅┅ (6 分)

易知: h ? ∴当 h ? 把h ?

3 R 是函数 V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。 3
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8 分)

3 R 时,容积最大。 3

3 6 R 代入 h 2 ? r 2 ? R 2 ,得 r ? R 3 3

由 R? ? 2?r 得 即圆心角 ? ?

??

2 6 ? 3
┅┅┅┅┅┅┅ (11 分)

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

答:扇形圆心角 ? ?

2 6 ? 时,容器的容积最大。 3

┅┅┅┅

(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解:解方程组 ?

? y ? kx ?y ? x ? x
2

得:直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 2 的交点的横坐标为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4 分)

x ? 0和 x ? 1? k
2

抛物线 y ? x ? x 与 x 轴所围成图形为面积为
1 1 1 1 S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |1 ? 0 0 2 3 6

┅┅┅┅┅

(6 分)

由题设得
1? k 1? k S ? ? ( x ? x 2 )dx ? ? kxdx 0 0 2

??
又S ?

1? k

0

( x ? x 2 ? kx)dx ?

(1 ? k ) 3 6

┅┅┅┅┅┅┅

(10 分)

3 1 1 4 3 ,所以 (1 ? k ) ? ,从而得: k ? 1 ? 2 6 2

┅┅┅┅┅ (12 分)

(22) (本小题满分 14 分) 解: (1) b ? 2 时,函数 h( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ,且 2

第 7 页

h' ( x ) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? x x
(2 分)

∵函数 h(x) 存在单调递减区间,∴ h' ( x) ? 0 有解。 ┅┅┅┅
2 又∵ x ? 0 ,∴ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解。

2 ① 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, ax ? 2 x ? 1 ? 0 总有

x ? 0 的解;

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(4 分)

2 ② 当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向下的抛物线,而 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有

x ? 0 的解,则 ? ? 4a ? 4 ? 0 ,且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时, ?1 ? a ? 0
综上所述, a 的取值范围为 (?1,0) ? (0,??) 。 ┅┅┅┅┅┅┅ (7 分)

(2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,且 0 ? x1 ? x2 ,则 点 M , N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

1 2 ; | x1 ? x2 ? x x? 2 x1 ? x2
x ?x x? 1 2 2

C 2 在点 N 处的切线斜率为 k 2 ? (ax ? b) |

?

a( x1 ? x2 ) ? b 。 ┅ (9 分) 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k 2 ,即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ?b 2 x1 ? x2


2( x2 ? x1 ) a 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? b( x2 ? x1 ) x1 ? x2 2
a 2 a 2 ? ( x 2 ? bx 2 ) ? ( x1 ? bx1 ) ? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 2 2

x2 ? 1) x2 x1 所以 ln ? x x1 1? 2 x1 2(
设t ?

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅

(11 分)

x2 2(t ? 1) ,t ? 1 , ,则 ln t ? 1? t x1
2(t ? 1) , t ? 1 ,则 1? t



令 h(t ) ? ln t ?

第 8 页

1 4 (t ? 1) 2 h' (t ) ? ? ? t (1 ? t ) 2 t (t ? 1) 2
当 t ? 1 时, h' (t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 [1,??) 上单调递增。 故 h(t ) ? h(1) ? 0 ,从而 ln t ?

2(t ? 1) 这与①矛盾,假设不成立, 1? t
┅┅┅┅ (14 分)

∴ C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。

第 9 页


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