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05.线性规划


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
5、线性规划
编辑:深圳市红岭中学 一、选择题: 程武军

?x ? y ? 3 ? 1.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 4 x ? 2 y 的最大值为( ?y ?1 ?
A.12 【试题解析】 B.10 C.8 D.2

)



解析 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数 z ? 4 x ? 2 y 可转化为 y ? ?2 x ? 作出直线 y ? ?2 x 并平移,显然当其过点 A 时纵截距 解方程组 ?

z , 2

z 最大. 2

?x ? y ? 3 得 A?2,1? ,? zmax ? 10.故选 B ?y ?1

【选题意图】本题主要考查了简单的线性规划.在解决简单的线性规划问题时,考生作图和确定可行区域 一定要细心,本题考查了考生的数形结合能力和基本运算能力. 2.某企业生产甲乙两种产品均需用 A ,B 两种原料, 已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额 表所示,如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元.4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 乙 2 2 原料限额 12 8 )

A (吨)

3 1

B (吨)

A.12 万元

B.16 万元

C.17 万元

D.18 万元

【试题解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别 x , y 吨,则利润 z ? 3 x ? 4 y

? x ? 0, y ? 0 ? 由题意可列 ?3 x ? 2 y ? 12 ,其表示如图阴影部分区域: ? x ? 2y ? 8 ?

当直线 3 x ? 4 y ? z ? 0 过点 A(2,3) 时, z 取得最大值 z ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 18 ,故答案选 D 。 【选题意图】1.本题考查线性规划在实际问题中的应用,在解决线性规划的应用题时,可依据以下几个步 骤:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件和目标函数;②由约束条件画出可行域; ③分析目标函数 z 与直线截距之间的关系;④使用平移直线法求出最优解;⑤还原到现实问题中 .2. 本题属于中档题,注意运算的准确性.

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 3.在平面直角坐标系 xoy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的区域上一动点,则 OM 的最小值 ?y ? 0 ?
是( A.2 ) B. 2 C.2 D.

6 13 13

【试题解析】由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.

由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离,即 d min ? 【选题意图】本题考查线性规划及点到直线的距离公式,难度较小。 4.已知 x,y 满足的约束条件 ?

|2| ? 2. 2

1 ? 0, ? x-y当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 在该约束条件下取得最小值 ?2 x-y-3 ? 0,

2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为
(A) 5 【试题解析】 ? (B) 4 (C) 5 ( D) 2

? x ? y ?1 ? 0 求得交点为 ? 2,1? ,则 2a ? b ? 2 5 ,即圆心 ? 0, 0 ? 到直线 2a ? b ? 2 5 ? 0 ?2 x ? y ? 3 ? 0

?2 5? 2 的距离的平方 ? 。答案: B ? 5 ? ? ?2 ?4 ? ?
【选题意图】本题考查函数的图像与性质的应用,难度中等。

2

?0 ? x ? 2 ? 5.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定,若 M ? x, y ? 为 D 上的动点,点 A ? ?x ? 2 y ???? ? ??? ? 的坐标为 2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为( ).

?

?

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

【试题解析】 z ? OM ? OA ? 2 x ? y , z ?

2x ? y ,即 y ? ? 2x ? z ,画出不等式组表示的平面区域,

易知当直线 y ? ? 2x ? z 经过点 ( 2, 2) 时, z 取得最大值, zmax ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 . 【选题意图】本题考查线性规划问题及平面向量的数量积。由 z ? OM ? OA ? 2 x ? y 可将其转化为线性 规划问题,再用相关方法解决问题即可。

?x ? y ? 3 ? 0 ? 6.若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?
A. ? 1 B.1 C.



3 2

D.2

【试题解析】本题考查的知识点为含参的线性规划,需要画出可行域的图形,含参的直线要能画出大致图像。

(0,3)

y ? 2x (m,3 ? m)
(3,0)

可行域如图:

3 (0, - ) 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 所以,若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 3 ? m ? 2m ,即 m ? 0 。 ?x ? m ?
【选题意图】本题考查了含参变量的线性规划问题及存在性问题,是新课标的热点题型,难度较大。

? x? y?2?0 4 ? 7.若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值为( 3 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
(A)-3 【试题解析】 (B) 1 (C)



4 3

(D)3

? x? y?2?0 4 ? 如图,由于不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域为 ?ABC ,且其面积等于 , 3 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
再注意到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 与直线 BC : x ? y ? 2m ? 0 互相垂直,所以 ?ABC 是直角三角形, 易知, A(2, 0), B (1 ? m,1 ? m) , C (

2 ? 4m 2m ? 2 , ) ;从而 3 3

S ?ABC ?

1 1 2m ? 2 4 = , 2 ? 2m ? m ? 1 ? 2 ? 2m ? 3 2 2 3

化简得: (m ? 1) 2 ? 4 ,解得 m ? ?3 ,或 m ? 1 ,检验知当 m ? ?3 时,已知不等式组不能表示一个三角形 区域,故舍去,所以 m ? 1 ;故选 B. 【选题意图】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域,利用已知条件将三角形的面积 用含 m 的代数式表示出来,从而得到关于 m 的方程来求解.本题属于中档题,注意运算的准确性及对结果 的检验.

?x ? y ? 0 ? 8.变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最大值为 2,则实数 m 等于( ?mx ? y ? 0 ?
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2



【试题解析】
3 2

C
–4 –3 –2 –1

1

B
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

将目标函数变形为 y ? 2 x ? z ,当 z 取最大值,则直线纵截距最小,故当 m ? 0 时,不满足题意;当 m ? 0

2 2m 2 2m 显然 O (0, 0) 不是最优解, 故只能 B ( , ). , ) 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 4 2m 是最优解,代入目标函数得 ? ? 2 ,解得 m ? 1 ,故选 C. 2m ? 1 2m ? 1
时, 画出可行域, 如图所示, 其中 B ( 【选题意图】本题考查含参数的线性规划问题,首先要对目标函数进行分析,什么时候目标函数取到最大 值,其次要对 m 的符号讨论,以确定可行域,解该类题目时候,往往还要将目标直线的斜率和可行域边界 的斜率比较,否则很容易出错.

?x ? 1 ? 1 ? x ? 2 y ? 4 的解集记为 D .有下面四个命题: 9.不等式组 ?
p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , P3 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 3 ,
其中真命题是

p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .

A . p2 , p3

B . p1 , p4

C . p1 , p2
1 z x ? ,当直线 2 2

D . p1 , p3

【试题解析】作出可行域如图:设 z ? x ? 2 y ,即 y ? ?

过 A(2,?1) 时, zmin ? ?2 ? 2 ? 0 ,? z ? 0 ,? 命题 p1, p2 真命题,选 C 【选题意图】 【本题考查如何作出不等式组所表示的平面区域,然后根据 简易逻辑的平台判断目标函数的最值.属中等题.

10.若 x , y 满足约束条件 ?

? ?x ? y ? a

A. ? 5

B. 3

? ? x ? y ? ?1 C . ? 5或3

,且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a

?(

)

D. 5或 - 3

【试题解析】画出不等式组对应的平面区域, 如图所示.在平面区域内,平 移直线 x ? ay ? 0 ,可知在点 A ?

? a ?1 a ?1 ? , ? 处,z 取得最值,故 2 ? ? 2

a ?1 a ?1 ?a ? 7, 解之得 a ? 3 或 a ? ?5 .但 a ? ?5 时,z 取得最大值,故 2 2
舍去,答案为 a ? 3 .选 B. 【选题意图】本题考查已知目标函数的最小值,利用可行域,分类讨论字母 a 的值和综合解决问题能力. 同时切记做线性规划题目,最关键的是不等号的处理,应考虑要求的区域是在直线的上方还是下方.

?x ? y ? 1 ? 11.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0? 处取得最小值,则 a 的取值范围 ?2 x ? y ? 2 ?
是( ) A. ?- 1,2 ? B. ?- 4,2? C. ?- 4,0? D. ?- 2,4?

【试题解析】 作出可行域如图所示, 直线 ax ? 2 y ? z 仅在点 ?1,0? 处取得最小值, 由图象可知 - 1 ? ?

a ? 2, 即-4 ? a ? 2. 2

答案 B 【选题意图】本题考查已知目标函数的最小值,利用可行域,分类讨论字母 a 的值和综合解决问题能力.

?2 x ? y ? 10 ? 12.设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?

)

(A)

25 2

(B)

49 2

(C)12

(D)14

【试题解析】 由第一个条件得:y ? 2?5 ? x ? 。 于是 xy ? 2 x?5 ? x ? ? 2?

5 25 ? x ?5? x ? 当且仅当 x ? , ? ? , 2 2 2 ? ?

2

25 。本题中,对可行域的处理并不是大问题,关键是“求 xy 最大值”中, xy 已 2 k 经不是“线性”问题了,如果直接设 xy ? k , ,则转化为反比例函数 y ? 的曲线与可行域有公共点问题, x

y ? 5 , xy 取到最大值

难度较大,且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中,用基本不等式的思想,通过系数的配凑,即可得到 结论,当然,对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题. 【选题意图】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识,考查知识的整合与运用,考查学生综合运 用知识解决问题的能力. 二、填空题:

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y ?1 ? 13.已知变量 x, y 满足 ? x ? 2 ,则 的取值范围是_________. x?2 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
【试题解析】 根据题 意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示,即 ?ABC 的边界及其内部,因为 行域内一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ? 1? 连线的斜率,由图可知

y ?1 表示可 x?2

k PB ?
所以

y ?1 ? k PC ,根据原不等式组解得 B ? 2,0? , C ? 0, 2? , x?2

0 ?1 y ?1 2 ?1 1 y ?1 3 1 3 ? ? ? ? ? .答案:[ , ] 4 2 2?2 x?2 0?2 4 x?2 2

【选题意图】本小题主要考查线性规划和两点连线斜率公式。 14.若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为________ 【试题解析】 y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当 取点(-2,2)时,2x – y = - 6 取最小值。所以答案为-6. 【选题意图】本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式 组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.解题时 要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ,否则很容易出现错误.
2 15. 抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D ( 包含三角形内部和边界 ) .若点

P ( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是



【试题解析】抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线易得为 y ? 2 x ? 1 ,令 z ? x ? 2 y , y ? ? 域如下,易得过点 ?0, -1? 时, zmin ? ?2 ,过点 ? ,0 ? 时, z max ? y y=2x—1 O x 1 y=—2 x 【选题意图】本题考查导数的几何意义、线性规划、难度中等。 16.已知实数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 2 x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y 的最大值是
2 2

1 z x ? .画出可行 2 2

?1 ? ?2 ?

1 ? 1? .答案为 ?- 2, ? 2 ? 2?



【试题解析】

? 2 ? x ? 2 y, y ? 2 ? 2 x z ? 2x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3y ? ? ?10 ? 3 x ? 4 y, y ? 2 ? 2 x

由图可知当 y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 劣弧,则 z ? 2 ? x ? 2 y 在点 A(1, 0) 处取得最大值 5 ;当

y ? 2 ? 2 x 时 , 满 足 的 是 如 图 的 AB 优 弧 , 则 z ? 10 ? 3x ? 4 y 与 该 优 弧 相 切 时 取 得 最 大 值 , 故

d?

z ? 10 ? 1 ,所以 z ? 15 ,故该目标函数的最大值为15 . 5

【选题意图】本题主要考查简单的线性规划.根据条件,利用分类讨论,确定目标函数的情况,画出可行 域,根据线性规划的特点,确定取得最值的最优解,代入计算.本题属于中等题,主要考查学生数形结合 的能力以及分类讨论思想.


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