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1996年全国高中数学联赛试题及解答


1996 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1996 年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 (10 月 13 日上午 8:00-9:20)
一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x2+(y-1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三

角形 (C)等边三角形 (D)四边形 ) )

1 2.等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- ,用 πn 表示它的前 n 项之积。 πn(n∈N*)最大的是( 则 2 (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 )

3. 存在整数 n,使 (A)不存在

p+n+ n是整数的质数 p(

(B)只有一个 (D)有无穷多个 )

(C)多于一个,但为有限个

1 4. 设 x∈(- ,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是( 2 (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

1 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 在同一点取相同的最小值,那么 f(x)在该区间上

x2

的最大值是(

) (B) 4- 53 2
3

11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 (C) 1- 13 2 2+
3

2+

4

4

(D)以上答案都不对

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、侧面 都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共 点,除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( )

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冯惠愚

(A) 1

(B ) 2

(C) 3

(D) 4

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x .

π _ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1·z2 的实部为零,z1 的辐角主值为 , 6
则 z2=_______. 3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转一 周,则它扫过的图形的面积是_______. 4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并 且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________. 5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每 面恰染一种颜色,每 两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种.(注:如果我们对两个相同的正 方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同, 那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同.) 6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个 数为________.

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冯惠愚

第二试 一、 (本题满分 25 分)设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,…) ,数列{bn }满足 b1=3,

bk+1=ak+bk(k=1,2,…).求数列{bn }的前 n 项和.

二、 (本题满分 25 分)求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0, ],恒有 2 1 (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥ . 8

?

三、 (本题满分 35 分)如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点, 并且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。
-3-

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冯惠愚

P

G H O1。 A


O2

E

B

C F

四、 (本题满分 35 分)有 n(n≥6)个人聚会,已知: (1)每人至少同其中? ?个人互相认识; ?2? (2)对于其中任意? ?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ?2? 证明:这 n 个人中必有三人两两认识.

?n?

?n?

-4-

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1996 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x2+(y-1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 3. )

1 解:9-9(y-1)2=9-(y+1)2,?8y2-20y+8=0,?y=2 或 ,相应的,x=0,或 x=± 2 此三点连成一个正三角形.选 C.

1 2.等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- , πn 表示它的前 n 项之积。 πn(n∈N*)最大的是( 用 则 2 (A)π9 (B)π11 1
n(n-1)
2

)

(C)π12

(D)π13

解:πn=1536n×(-

) 2

,故 π11<0,π9,π12,π13>0.作商比较:

又,

π12 1 π13 1 =15363?( )66-36>1, =1536?( )78-66<1.故选 C. π9 2 π12 2 p+n+ n是整数的质数 p (
(B)只有一个 (D)有无穷多个 )

3. 存在整数 n,使 (A)不存在

(C)多于一个,但为有限个

解:如果 p 为奇质数,p=2k+1,则存在 n=k2(k∈N+),使

p+n+ n=2k+1.故选 D.
)

1 4. 设 x∈(- ,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是( 2 (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

解:α1= cos(sin|x|π)>0,α2=sin(cos|x|π)>0,α3=cos(1-|x|)π<0,排除 B、D. ∵ sin|x|π+ cos|x|π= 2sin(|x|π+ )< ,于是 cos|x|π< -sin|x|π, 4 2 2

π π

π

∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π),故 α2<α1,选 A.
-5-

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冯惠愚

1 2 2 3 π 2 π 又解:取 x=- ,则 α1=cos ,α2=sin ,α3=cos π<0.由于 < < ,故 α1>α2. 4 2 2 4 6 2 4 1 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+ 在同一点取相同的最小值,那么 f(x)在该区间上

x2

的最大值是(

) (A) 4+ 11 3 2 13 2
3

2+

4

(B) 4-

53 2

2+

3

4

(C) 1-

2+

3

4

(D)以上答案都不对

1 1 解:g(x)= x+ = x+ x+ ≥3 x2 2 2 x2

1 1

3

1 33 4 2

=

1 1 3 2.当且仅当 x= 即 x= 2时 g(x)取得最小值. 2 x2

∴- = 2 由于
3

p

3

4q-p2 3 3 33 3 3 2, = 2,?p=-2 2,q= 2+ 4. 4 2 2
3

2-1<2-

53 3 2.故在[1.2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4- 2+ 4.故选 B. 2

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、侧面 都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共 点,除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B ) 2 (C) 3 (D) 4 )

O4

解: O2 与下底距离 =3,与 O1 距离
2 O1

O2 C

H
O3

=2+3=5,与轴距离=4,问题转化为在以 4
为半径的圆周上,能放几个距离为 6 的 点?

O2

3

H
3

右图中,由sin∠O2HC=3/4>0.707,即∠O2HO3>90°,即此圆上还可再放下 2 个满足要求的点.故选

B.

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冯惠愚

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x .

1 解 由已知,得 <logx10≤1?1≤lgx<2?10≤x<100.故该集合有 90 个元素.其真子集有 290-1 个. 2

π _ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1·z2 的实部为零,z1 的辐角主值为 , 6
则 z2=_______.

π 3 1 _ π π 解:z1 满足|z-i|=1;argz1= ,得 z1= + i,z1=cos(- )+isin(- ). 6 2 2 6 6 π π _ 设 z2 的辐角为 θ(0<θ<π),则 z2=2sinθ(cosθ+isinθ).z1·z2=2sinθ[cos(θ- )+isin(θ- )],若其实部为 6 6 π π 2π 3 3 0,则 θ- = ,于是 θ= .z2=- + i. 6 2 3 2 2
3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在 的平面内绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______。 解:只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可. 设 P(1+cosθ,θ), 则|AP|2=22+(1+cosθ)2-2·2(1+cosθ)cosθ=-3cos2θ-2cosθ+5
P
?

O

1

x

=-3(cosθ+ )2+
3

1

16 16 16 16 ≤ .且显然|AP|2 能取遍[0, ]内的一切值,故所求面积= π. 3 3 3 3

4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并 且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________。 解:该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b. 取 CD 中点 G,则 AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的平面角.由 BD⊥AC,作平面

BDF⊥棱 AC 交 AC 于 F,则∠BFD 为二面角 B—AC—D 的平面角.

-7-

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冯惠愚

AG=EG= b2-a2,BF=DF=

2a

b2-a2 b

,AE=2

b2-(

2 3

3a)2=2

b2- a2.
3
A
b b b

4

由 cos∠AGE=cos∠BFD,得 4 3

2AG2-AE2 2BF2-BD2 = . 2AG2 2BF2
B

F D
2a a

4(b2- 2a2) ∴

b2-a2

=

4 ?9b2=16a2,?b= a,从而 b=2,2a=3. 4a2(b2-a2) 3

4a2b2

G

C E

AE=2.即最远的两个顶点距离为 3.
5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每面恰染一种颜色,每 两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种。(注:如果我们对两个相同的正 方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同, 那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同。) 解:至少 3 种颜色: 6 种颜色全用:上面固定用某色,下面可有 5 种选择,其余 4 面有(4-1)!=6 种方法,共计 30 种方法; 用 5 种颜色:上下用同色:6 种方法,选 4 色:C5(4-1)! =30;6×30÷2=90 种方法; .
2 2 4 4

用 4 种颜色:C C =90 种方法.
6

用 3 种颜色:C6=20 种方法. ∴共有 230 种方法.

3

6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个 数为________. 解:把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x2+y2=1992 的整数解数. 显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1≤m,n≤99.

-8-

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则得 4m2=1992-(2n-1)2=(198+2n)(200-2n).m2=(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n) (mod 4)

?0,(当n?0,1(mod 4)时) 由于 m 为正整数,m2≡0,1 (mod 4);(n-1)(-n)≡? ?2,(当n?2,3(mod 4)时)
二者矛盾,故只有(0,±199),(±199,0)这 4 解. ∴ 共有 4 个.(199,±199),(0,0),(398,0).

第二试 一、 (本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,…) ,数列{bn }满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…).求 数列{bn }的前 n 项和. 解:a1=2a1-1,a1=1;

an=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1, an=2an-1. an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. n=2n ? ?{ 2 a
-1.

bk+1-bk=2k-1,?bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=2n-2+2n-3+…+20=2n-1-1.
∴ bn=2n-1+2.



Σb =2 +2n-1.
i n
i=1

n

二、 (本题满分 25 分) 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0, ],恒有 2 1 (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥ . 8 解:令 sinθ+cosθ=u,则 2sinθcosθ=u2-1,当 θ∈[0, ]时,u∈[1, 2

?

?

2].

-9-

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冯惠愚

并记 f(x)= (x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2. 1 1 ∴ f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2[x+ (u2+au+2)]2+ (u2-au+2)2. 2 2 1 1 1 1 ∴ x=- (u2+au+2)时,f(x)取得最小值 (u2-au+2)2.∴ u2-au+2≥ ,或 u2-au+2≤- . 2 2 2 2 ∴ a≤u+ 5 ,或 a≥u+ .当 u∈[1, 2u 2u 3 3 2]时,u+ ∈[ 2u 7 6, 4 5 9 2];u+ ∈[ 2u 4 7 2, ]. 2

∴ a≤

7 6 或 a≥ . 2

三、 (本题满分 35 分) 如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。 证明 设⊿ABC 的三边分别为 a、b、c,三个角分别为 A、B、C,则

CE=BF=CG=BH= (a+b+c).
2
P

1

1 1 ∴BE= (a+b+c)-a= (b+c-a). 2 2 1 ∴EF= (a+b+c)+ (b+c-a)=b+c. 2 2 1 连 CO1,则 CO1 平分∠ECG,CO1⊥EG,?∠FEP=90?- ∠C. 2 1 1 同理∠EFP=90?- ∠B,∠EPF= (B+C). 2 2 cos ,∴EP=(b+c) sin 1

G O1 H

A

O2 F

E

B

C

B
2 。



EP

1 sin(90?- B) 2

=

EF
sin

B+C
2

B+C
2

- 10 -

1996 年全国高中数学联赛

冯惠愚

cos 设 P、A 在 EF 上的射影分别为 M、N,则 EM=EPcos∠FEP=(b+c)

B
2

sin

C
2 .

sin

B+C
2

又 BN=ccosB,故只须证 ccosB+

1 2

cos (b+c-a)= (b+c)

B
2

sin

C
2 ,

sin

B+C
2

即 sinCcosB+

1 2

cos (sinB+sinC-sin(B+C)) =

B
2

sin

C
2 (sinB+sinC) 就是

sin

B+C
2

2cos

B-C
2 1 2

cos

B
2

sin

C
2

1 1 B+C B-C =sinCcosB- sinBcosC- cosBsinC+sin cos 2 2 2 2

右边=

sin(C-B)+sin

B+C
2

cos

B-C
2

B-C B+C B-C =cos (sin -sin )
2 2 2

=2cos

B-C
2

cos

B
2

sin

C
2

。故证。

四、 (本题满分 35 分) 有 n(n≥6)个人聚会,已知: (1)每人至少同其中? ?个人互相认识; ?2? (2)对于其中任意? ?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ?2? 证明:这 n 个人中必有三人两两认识. 证明:作一个图,用 n 个点表示这 n 个人,凡二人认识,则在表示此二人的点 间连一条线. 问题即, 在题设条件下, 存在以这 n 点中的某三点为顶点的三角形. 设 点 a 连线条数最多,在与 a 连线的所有点中点 b 连线最多,与 a 连线的点除 b 外的 集合为 A,与 b 连线的点除 a 外的集合为 B.
- 11 -

?n?

?n?

k -1 Φ k -1
2k个点

A

B

a

图1

b

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冯惠愚

1° 设 n=2k,则每点至少连 k 条线,A、B 中都至少有 k-1 个点. ⑴若存在一点 c,与 a、b 都连线,则 a、b、c 满足要求; ⑵若没有任何两点与此二点都连线(图 1), 则由 A∩B=?,|A∪B|≤2k-2,|A|≥k-1,|B|≥k-1, 故得 |A|=|B|=k-1,且图中每点都连 k 条线.若 A(或 B)中存在两点,这两点间连了一
A B

条线,则此二点与 a 连出三角形,若 A 中任何两点间均未连线,B 中任两点也未 连线,则 A∪{b}中不存在两点连线,B∪{a}中也不存在两点连线.与已知矛盾.

k

Φ

k-1

2k+1个点

a
2° 设 n=2k+1.则每点至少连 k 条线,A、B 中都至少有 k-1 个点. ⑴若存在一点 c,与 a、b 都连线,则 a、b、c 满足要求;
图2

b

⑵若没有任何两点与此二点都连线,且|A|≥k,则由|B|≥k-1 时(图 2),则由 A∩B=?,|A∪B|≤2k-1, |A|≥k,|B|≥k-1, 故得|A∪B|=2k-1,|A|=k,|B|=k-1,若 A(或 B)中存在两点,这两点间连了一条线, 则此二点与 a 连出三角形,若 A 中任何两点间均未连线,B 中任两点也未连线, 则 A∪{b}中不存在两点连线,B∪{a}中也不存在两点连线.与已知矛盾. ⑶若没有任何两点与此二点都连线,且|A|=k-1,即每点都只连 k 条线.这
2k+1个点 A c k2 B

k-1

k1

Φ

k-1

时,必有一点与 a、b 均未连线,设为 c.c 与 A 中 k1 个点连线,与 B 中 k2 个点

a
图3

b

连线,k1+k2=k,且 1≤k1,k2≤k-1.否则若 k2=0,则 A∪{b}中各点均未连线,B∪{a,c}中各点也未连线.矛 盾.故 k1,k2≥1.且由于 n>6,即 k1,k2 中至少有一个≥2,不妨设 k1≥2,现任取 B 中与 c 连线的一点 b1, 由于 b1 与 B 中其余各点均未连线,若 b1 与 A 中的所有与 c 连线的点均未连线,则 b1 连线数≤2+k-1-k1 ≤k-1,矛盾,故 b1 至少与此 k1 个点中的一点连线.故证.

- 12 -


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