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1996年全国高中数学联赛试题及解答


1996 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1996 年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试 (10 月 13 日上午 8:00-9:20)
一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x +(y-1) =1 与椭圆 9x +(y+1) =9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形
2 2 2 2

)

1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- ,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*)最大的是 2 ( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 )

3. 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个

(B)只有一个 (D)有无穷多个

1 4. 设 x∈(- ,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是 2 ( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

1 2 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值, 那么 f(x)在该区间

x

上的最大值是(

) 53 3 (B) 4- 2+ 4 2 (D)以上答案都不对

11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 13 3 (C) 1- 2+ 4 2

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、侧面都相 切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除 球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 )

(D) 4

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x .

_ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1?z2 的实部为零,z1 的辐角主值为

π
6

,则 z2=_______. 3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转
-1-

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冯惠愚

一周,则它扫过的图形的面积是_______. 4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并 且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________. 5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每 面恰染一种颜色,每 两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种.(注:如果我们对两个相同的正 方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同, 那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同.) 6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个 数为________.

-2-

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第二试 一、 (本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1 (n=1, 2, …) , 数列{bn }满足 b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2,…).求数列{bn }的前 n 项和.

二、 (本题满分 25 分)求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0, ],恒有 2 1 2 2 (x+3+2sinθcosθ) +(x+asinθ+acosθ) ≥ . 8

?

三、 (本题满分 35 分)如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并 且 EG、FH 的延长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。 P

G H O1。 A


O2

E

B

C F

-3-

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冯惠愚

四、 (本题满分 35 分)有 n(n≥6)个人聚会,已知:

n? (1)每人至少同其中? ?2?个人互相认识; ? ? n? (2)对于其中任意? ?2?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ? ?
证明:这 n 个人中必有三人两两认识.

-4-

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冯惠愚

1996 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x +(y-1) =1 与椭圆 9x +(y+1) =9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为( (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形
2 2 2 2

)

1 2 2 2 解:9-9(y-1) =9-(y+1) ,?8y -20y+8=0,?y=2 或 ,相应的,x=0,或 x=± 3. 2 此三点连成一个正三角形.选 C. 1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=- ,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*)最大的是 2 ( ) (A)π9 (B)π11
n(n-1)
2

(C)π12

(D)π13

1 n 解:πn=1536 ?(- ) 2 又,

,故 π11<0,π9,π12,π13>0.作商比较:

π12 1 π13 1 =15363?( )66-36>1, =1536?( )78-66<1.故选 C. π9 2 π12 2
)

3. 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p ( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个

(B)只有一个 (D)有无穷多个
2

解:如果 p 为奇质数,p=2k+1,则存在 n=k (k∈N+),使 p+n+ n=2k+1.故选 D. 1 4. 设 x∈(- ,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是 2 ( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

解:α1= cos(sin|x|π)>0,α2=sin(cos|x|π)>0,α3=cos(1-|x|)π<0,排除 B、D. ∵ sin|x|π+ cos|x|π= 2sin(|x|π+ )< ,于是 cos|x|π< -sin|x|π, 4 2 2 ∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π),故 α2<α1,选 A. 1 2 2 3 π 2 π 又解:取 x=- ,则 α1=cos ,α2=sin ,α3=cos π<0.由于 < < ,故 α1>α2. 4 2 2 4 6 2 4 1 2 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 2在同一点取相同的最小值, 那么 f(x)在该区间

π π

π

x

上的最大值是(

) 11 3 3 (A) 4+ 2+ 4 2 13 3 (C) 1- 2+ 4 2
-5-

53 3 (B) 4- 2+ 4 2 (D)以上答案都不对

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3

1 1 1 1 解:g(x)= x+ 2= x+ x+ 2≥3 x 2 2 x

1 33 1 1 3 = 2.当且仅当 x= 2即 x= 2时 g(x)取得最小值. 4 2 2 x

2 p 3 4q-p 3 3 33 3 3 ∴- = 2, = 2,?p=-2 2,q= 2+ 4.

2
3

4

2

2

由于 2-1<2- 2.故在[1.2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4-

3

53 3 2+ 4.故选 B. 2

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的上底面、侧面都相 切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除 球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 )

(D) 4
O4
2 O1 O2 3 3

解 : O2 与 下 底 距 离 =3 , 与 O1 距 离

=2+3=5,与轴距离=4,问题转化为在以 4
为半径的圆周上,能放几个距离为 6 的 点?

O2 C

H
O3

H

右图中,由sin∠O2HC=3/4>0.707,即∠O2HO3>90°,即此圆上还可再放下 2 个满足要求的点.故选B.

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<- ,x∈N*}的真子集的个数是 2 x .

1 90 解 由已知,得 <logx10≤1?1≤lgx<2?10≤x<100.故该集合有 90 个元素.其真子集有 2 -1 个. 2 _ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1?z2 的实部为零,z1 的辐角主值为

π
6

,则 z2=_______. _ π 3 1 π π 解:z1 满足|z-i|=1;argz1= ,得 z1= + i,z1=cos(- )+isin(- ). 6 2 2 6 6 _ π 设 z2 的辐角为 θ(0<θ<π),则 z2=2sinθ(cosθ+isinθ).z1?z2=2sinθ[cos(θ- )+isin(θ- 6

π
6

)],若其实部为 0,则 θ-

π π 2π 3 3 = ,于是 θ= .z2=- + i.
6 2 3 2 2

3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内绕 A 旋转 一周,则它扫过的图形的面积是_______。 解:只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可. 设 P(1+cosθ,θ), 则|AP| =2 +(1+cosθ) -2?2(1+cosθ)cosθ=-3cos θ-2cosθ+5
-62 2 2 2

P
?

O

1

x

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=-3(cosθ+ )2+ ≤ .且显然|AP|2 能取遍[0, ]内的一切值,故所求面积= π.
4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并 且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________。 解:该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b. 取 CD 中点 G,则 AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的平面角.由 BD⊥AC,作平面 BDF⊥ 棱 AC 交 AC 于 F,则∠BFD 为二面角 B—AC—D 的平面角. ,AE=2 b2-( b 3 2 2 2 2 2AG -AE 2BF -BD 由 cos∠AGE=cos∠BFD,得 = . 2 2 2AG 2BF

1 3

16 16 3 3

16 3

16 3

AG=EG= b -a ,BF=DF=

2

2

2a b -a

2

2

2

3a) =2

2

b2- a2.
A
b b b

4 3

42 2 2 4(b - a ) 2 2 3 4a b 4 ∴ = 2 2 2 ?9b2=16a2,?b= a,从而 b=2,2a=3. 2 2 b -a 4a (b -a ) 3

F B
2a

D
a

C E

G

AE=2.即最远的两个顶点距离为 3.
5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,

每面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种。(注:如 果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六 个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同。) 解:至少 3 种颜色: 6 种颜色全用:上面固定用某色,下面可有 5 种选择,其余 4 面有(4-1)!=6 种方法,共计 30 种方法; 用 5 种颜色:上下用同色:6 种方法,选 4 色:C5(4-1)! =30;6?30÷2=90 种方法; . 用 4 种颜色:C6C4=90 种方法. 用 3 种颜色:C6=20 种方法. ∴共有 230 种方法.
3 2 2 4

6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个 数为________. 解:把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x +y =199 的整数解数. 显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1≤m,n≤99. 则得 4m =199 -(2n-1) =(198+2n)(200-2n).m =(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n) (mod 4)
?0,(当n?0,1(mod 4)时) 2 由于 m 为正整数,m ≡0,1 (mod 4);(n-1)(-n)≡? ?2,(当n?2,3(mod 4)时) -72 2 2 2 2 2 2

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二者矛盾,故只有(0,±199),(±199,0)这 4 解. ∴ 共有 4 个.(199,±199),(0,0),(398,0).

第二试 一、 (本题满分 25 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1,2,…) ,数列{bn }满足 b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…).求数 列{bn }的前 n 项和. 解:a1=2a1-1,a1=1;

an=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,?an=2an-1.?{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.an=2n-1. bk+1-bk=2k-1,?bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=2n-2+2n-3+…+20=2n-1-1.
∴ bn=2
n
n-1

+2.
n



Σb =2 +2n-1.
i

i=1

二、 (本题满分 25 分) 求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 θ∈[0, ],恒有 2 1 2 2 (x+3+2sinθcosθ) +(x+asinθ+acosθ) ≥ . 8 解:令 sinθ+cosθ=u,则 2sinθcosθ=u -1,当 θ∈[0, 并记 f(x)= (x+3+2sinθcosθ) +(x+asinθ+acosθ) . 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ∴ f(x)=(x+2+u ) +(x+au) =2x +2(u +au+2)x+(u +2) +(au) =2[x+ (u +au+2)] + (u -au+2) . 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ∴ x=- (u +au+2)时,f(x)取得最小值 (u -au+2) .∴ u -au+2≥ ,或 u -au+2≤- . 2 2 2 2 3 5 3 7 5 9 7 ∴ a≤u+ ,或 a≥u+ .当 u∈[1, 2]时,u+ ∈[ 6, 2];u+ ∈[ 2, ]. 2u 2u 2u 4 2u 4 2 7 ∴ a≤ 6 或 a≥ . 2
2 2 2

?

?
2

]时,u∈[1, 2].

三、 (本题满分 35 分) 如图,圆 O1 和圆 O2 与△ABC 的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H 为切点,并且 EG、FH 的延 长线交于 P 点。求证直线 PA 与 BC 垂直。 证明 设⊿ABC 的三边分别为 a、b、c,三个角分别为 A、B、C,则
-8-

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冯惠愚

CE=BF=CG=BH= (a+b+c).
1 1 ∴BE= (a+b+c)-a= (b+c-a). 2 2 1 1 ∴EF= (a+b+c)+ (b+c-a)=b+c. 2 2 1 连 CO1,则 CO1 平分∠ECG,CO1⊥EG,?∠FEP=90?- ∠C. 2 1 1 同理∠EFP=90?- ∠B,∠EPF= (B+C). 2 2
E B C O1 P G A H O2 F

1 2



EP
1 sin(90?- B) 2

=

sin

EF ,∴EP=(b+c) B+C
2

cos 2

B


sin

B+C
2

cos 设 P、A 在 EF 上的射影分别为 M、N,则 EM=EPcos∠FEP=(b+c)

B

sin 2 2

C


sin cos sin 2 2 sin

B+C
2

B

C

又 BN=ccosB,故只须证 ccosB+

1 (b+c-a)= (b+c) 2

B+C
2

,

cos sin 2 2 1 即 sinCcosB+ (sinB+sinC-sin(B+C)) = (sinB+sinC) 就是 2 B+C sin 2 2cos

B

C

B-C
2

B C 1 1 B+C B-C cos sin =sinCcosB- sinBcosC- cosBsinC+sin cos 2 2 2 2 2 2

右边=

1 B+C B-C B-C B+C B-C sin(C-B)+sin cos =cos (sin -sin ) 2 2 2 2 2 2 2 cos

=2cos

B-C

B
2

sin

C
2

。故证。

四、 (本题满分 35 分) 有 n(n≥6)个人聚会,已知:

n? (1)每人至少同其中? ?2?个人互相认识; ? ? n? (2)对于其中任意? ?2?个人,或者其中有 2 人相识,或者余下的人中有 2 人相识. ? ?
证明:这 n 个人中必有三人两两认识. 证明:作一个图,用 n 个点表示这 n 个人,凡二人认识,则在表示此二人的点间连一条线.问题即, 在题设条件下,存在以这 n 点中的某三点为顶点的三角形.设点 a 连线条数最多, 在与 a 连线的所有点中点 b 连线最多,与 a 连线的点除 b 外的集合为 A,与 b 连线
-92k 个点 B

k -1 Φ k -1

A

a

图1

b

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冯惠愚

的点除 a 外的集合为 B. 1° 设 n=2k,则每点至少连 k 条线,A、B 中都至少有 k-1 个点. ⑴若存在一点 c,与 a、b 都连线,则 a、b、c 满足要求; ⑵若没有任何两点与此二点都连线(图 1), 则由 A∩B=?,|A∪B|≤2k-2,|A|≥k-1,|B|≥k-1, 故得 |A|=|B|=k-1,且图中每点都连 k 条线.若 A(或 B)中存在两点,这两点间 连了一条线,则此二点与 a 连出三角形,若 A 中任何两点间均未连线,B 中任两 点也未连线,则 A∪{b}中不存在两点连线,B∪{a}中也不存在两点连线.与已知 矛盾. 2° 设 n=2k+1.则每点至少连 k 条线,A、B 中都至少有 k-1 个点. ⑴若存在一点 c,与 a、b 都连线,则 a、b、c 满足要求; ⑵若没有任何两点与此二点都连线,且|A|≥k,则由|B|≥k-1 时(图 2),则由 A∩B=?,|A∪B|≤2k -1,|A|≥k,|B|≥k-1, 故得|A∪B|=2k-1,|A|=k,|B|=k-1,若 A(或 B)中存在两点,这两点间连 了一条线,则此二点与 a 连出三角形,若 A 中任何两点间均未连线,B 中任两点 也未连线,则 A∪{b}中不存在两点连线,B∪{a}中也不存在两点连线.与已知矛 盾. ⑶若没有任何两点与此二点都连线,且|A|=k-1,即每点都只连 k 条线.这 时,必有一点与 a、b 均未连线,设为 c.c 与 A 中 k1 个点连线,与 B 中 k2 个点连 线,k1+k2=k,且 1≤k1,k2≤k-1.否则若 k2=0,则 A∪{b}中各点均未连线,B∪
A c k2 B

A

B

k

Φ

k-1

2k +1个点

a
图2

b

k-1

k1

Φ

k-1

a

2k +1个点 图3

b

{a,c}中各点也未连线.矛盾.故 k1,k2≥1.且由于 n>6,即 k1,k2 中至少有一个≥2,不妨设 k1≥2,现 任取 B 中与 c 连线的一点 b1, 由于 b1 与 B 中其余各点均未连线, 若 b1 与 A 中的所有与 c 连线的点均未连线, 则 b1 连线数≤2+k-1-k1≤k-1,矛盾,故 b1 至少与此 k1 个点中的一点连线.故证.

- 10 -


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