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2012年黑龙江省龙东地区中考数学试卷(1)


2012 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
一、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分) (2012?黑龙江)卫生部部长陈竺 2011 年 8 月 18 日在“第二届中国卫生论坛”上表示,中国居民 医疗参保共覆盖了 12.7 亿人,基本医疗保障制度基本实现了全覆盖.12.7 亿人用科学记数法表示为 _________ 人. 2. (3 分) (2002?南

通)函数 y= 中,自变量 x 的取值范围是 _________ .

3. (3 分) (2012?黑龙江)如图,已知点 E、F 是平行四边形 ABCD 对角线上的两点,请添加一个条件 _________ 使△ ABE≌△CDF(只填一个即可) .

4. (3 分) (2012?黑龙江)把一副普通扑克牌中的 13 张红桃洗匀后正面向下,从中任意抽取一张,抽出的 牌的点数是 3 的倍数的概率是 _________ . 5. (3 分) (2012?黑龙江)若不等式组 的解集是 x>1,则 a 的取值范围是 _________ .

6. (3 分) (2012?黑龙江)如图,已知 AB 是⊙O 的一条直径,延长 AB 至点 C,使 AC=3BC,CD 与⊙O 相切,切点为 D,若 CD= ,则线段 BC= _________ .

7. (3 分) (2012?黑龙江)已知关于 x 的分式方程

=2 有增根,则 a= _________ .

8. (3 分) (2012?黑龙江)等腰三角形一腰长为 5,一边上的高为 4,则底边长 _________ . 9. (3 分) (2012?黑龙江)某商品按进价提高 40%后标价,再打 8 折销售,售价为 2240 元,则这种电器的 进价为 _________ 元. 10. (3 分) (2012?黑龙江)如图所示,在 x 轴的正半轴上依次截取 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…,过 A1、 A2、 A3、 A4、 A5…分别作 x 轴的垂线与反比例函数 y= 的图象交于点 P1、 P2、 P3、 P4、 P5…, 并设△ OA1P1、 △ A1A2P2、 △ A2A3P3…面积分别为 S1、 S2、 S3…, 按此作法进行下去, 则 Sn 的值为 _______ (n 为正整数) .

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www.jyeoo.com 二、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 11. (3 分) (2012?黑龙江)下列各运算中,计算正确的是( ) 2 3 6 3 6 3 2 A.a ÷a =a B. + = C.(﹣2x y) =﹣6x y D. ﹣1 (﹣5) =﹣ 12. (3 分) (2012?黑龙江)下列汽车标志是中心对称图形的是( A. B. C. ) D.

13. (3 分)反比例函数

的图象,当 x>0 时,y 随 x 的真增大而增大,则 k 的取值范围是(



A.k<2 B.k≤2 C.k>2 D.k≥2 14. (3 分) (2012?黑龙江)如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在 该位置的小正方体的个数,这个几何体的主视图是( )

A.

B.

C.

D.

15. (3 分) (2012?黑龙江)某校初三 5 名学生中考体育测试成绩如下(单位:分) :12、13、14、15、14, 这组数据的众数和平均数分别为( ) A.13,14 B.14,13.5 C.14,13 D.14,13.6 16. (3 分) (2012?黑龙江)修建高速公路的过程中,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天, 暴雨过后施工队加快了施工进度,按时完成了工程任务,下面能反映该工程尚未修建的公路里程 y(千米) 与时间 x(天)的函数关系的大致图象是( ) A. B. C. D.

17. (3 分) (2012?黑龙江)若(a﹣2) +|b﹣1|=0,则(b﹣a) 的值是( ) A.﹣1 B.0 C .1 D.2012 18. (3 分) (2012?黑龙江)如图,在四边形 ABCD 中,点 P 是对角线 BD 的中点,点 E、F 分别是 AB、 CD 的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE 的度数是( )

2

2012

A.15° B.20° C.25° D.30° 19. (3 分) (2012?黑龙江)某校团委与社区联合举办“保护地球,人人有责”活动,选派 20 名学生分三组 到 120 个店铺发传单,若第一、二、三小组每人分别负责 8、6、5 个店铺,且每组至少有两人,则学生分 组方案有( ) A.6 种 B.5 种 C .4 种 D.3 种

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www.jyeoo.com 20. (3 分) (2012?黑龙江)如图,已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2AD,点 E、 F 分别是 AB、BC 边的中点,连接 AF、CE 交于点 M,连接 BM 并延长交 CD 于点 N,连接 DE 交 AF 于 点 P, 则结论: ①∠ABN=∠CBN; ②DE∥BN; ③△ CDE 是等腰三角形; ④EM: BE=
梯形 ABCD

: 3; ⑤S△ EPM= S

,正确的个数有(



A.5 个 三、解答题(满分 60 分)

B.4 个

C .3 个

D.2 个

21. (5 分) (2012?黑龙江)先化简(1+ 并求值.

)÷

,再从 1、﹣1、0、2 中选择一个合适的数代入

22. (6 分) (2012?黑龙江)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1,△ ABC 的三个顶点都在格点 上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题: (1)将△ ABC 向上平移 3 个单位长度,画出平移后的△ A1B1C1; (2)写出 A1、C1 的坐标; (3) 将△ A1B1C1 绕 B1 逆时针旋转 90°, 画出旋转后的△ A2B1C2, 求线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积 (结 果保留 π) .

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www.jyeoo.com 23. (6 分) (2012?黑龙江)如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 经过坐标原点,并与 x 轴交于点 A(2,0) . (1)求此抛物线的解析式; (2)写出顶点坐标及对称轴; (3)若抛物线上有一点 B,且 S△ OAB=8,求点 B 的坐标.
2

24. (7 分) (2012?黑龙江)为了强化司机的交通安全意识,我市利用交通安全宣传月对司机进行了交通安 全知识问卷调查.关于酒驾设计了如下调查问卷: 克服酒驾﹣﹣你认为哪种方式最 好?(单选) A 加大宣传力度,增强司机的守法意识. B 在汽车上张贴温馨提示:“请勿酒驾”. C 司机上岗前签“拒接酒驾”保证书. D 加大检查力度,严厉打击酒驾. E 查出酒驾追究一同就餐人的连带责任. 随机抽取部分问卷,整理并制作了如下统计图:

根据上述信息,解答下列问题: (1)本次调查的样本容量是多少? (2)补全条形图,并计算 B 选项所对应扇形圆心角的度数; (3)若我市有 3000 名司机参与本次活动,则支持 D 选项的司机大约有多少人?

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www.jyeoo.com 25. (8 分) (2012?黑龙江)一艘轮船从甲港出发,顺流航行 3 小时到达乙港,休息 1 小时后立即返回.一 艘快艇在轮船出发 2 小时后从乙港出发,逆流航行 2 小时到甲港,立即返回(掉头时间忽略不计) .已知 轮船在静水中的速度是 22 千米/时,水流速度是 2 千米/时.下图表示轮船和快艇距甲港的距离 y(千米) 与轮船出发时间 x(小时)之间的函数关系式,结合图象解答下列问题: (顺流速度=船在静水中速度+水流速度,逆流速度=船在静水中速度﹣水流速度)

(1)甲、乙两港口的距离是 _________ 千米;快艇在静水中的速度是 _________ 千米/时; (2)求轮船返回时的解析式,写出自变量取值范围; (3)快艇出发多长时间,轮船和快艇在返回途中相距 12 千米?(直接写出结果)

26. (8 分) (2012?黑龙江)在△ ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,若点 D 在线段 BC 上,以 AD 为边长作 正方形 ADEF,如图 1,易证:∠AFC=∠ACB+∠DAC; (1)若点 D 在 BC 延长线上,其他条件不变,写出∠AFC、∠ACB、∠DAC 的关系,并结合图 2 给出证 明; (2)若点 D 在 CB 延长线上,其他条件不变,直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC 的关系式.

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www.jyeoo.com 27. (10 分) (2012?黑龙江)2011 年 11 月 6 日下午,广西第一条高速铁路﹣南宁至钦州铁路扩能改造工 程正式进入铺轨阶段.现要把 248 吨物资从某地运往南宁、钦州两地,用大、小两种货车共 20 辆,恰好 能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆,运往南宁、钦州两地的运 费如下表: 运往地 南宁(元/辆) 钦州(元/辆) 车型 620 700 大货车 400 550 小货车 (1)求这两种货车各用多少辆? (2)如果安排 9 辆货车前往南宁,其余货车前往钦州,设前往南宁的大货车为 a 辆,前往南宁、钦州两 地的总运费为 w 元,求出 w 与 a 的函数关系式(写出自变量的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,若运往南宁的物资不少于 120 吨,请你设计出使总运费最少的货车调配方案,并 求出最少总运费.

28. (10 分) (2012?黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=6 ,点 C 的坐标为(﹣9,0) . (1)求点 B 的坐标; (2)若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D,交 y 轴于点 E,且 OE=2,OD=2BD,求直线 DE 的解析式; (3)若点 P 是(2)中直线 DE 上的一个动点,是否存在点 P,使以 O、E、P 为顶点的三角形是等腰三角 形?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2012 年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分) (2012?黑龙江)1.27×10 人. 考点: 科学记数法—表示较大的数。 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. 确定 n 的值是易错点, 由于 12.7 亿有 10 位,所以可以确定 n=10﹣1=9. 9 解答: 解:12.7 亿=1 270 000 000=1.27×10 . 9 故答案为:1.27×10 . 点评: 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定 n 值是关键. 2. (3 分) (2002?南通) x≥2 . 考点: 函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件。 分析: 函数关系中主要有二次根式.根据二次根式的意义,被开方数是非负数. 解答: 解:根据题意得:3x﹣6≥0, 即 x≥2. 点评: 主要考查了函数自变量的取值范围的确定.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 3. (3 分) (2012?黑龙江) AE=CF 使△ ABE≌△CDF(只填一个即可) .
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考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定。 专题: 开放型。 分析: 根据平行四边形性质推出 AB=CD,AB∥CD,得出∠BAE=∠DCF,根据 SAS 证两三角形全等即 可. 解答: 解:添加的条件是 AE=CF, 理由是:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF, ∵在△ ABE 和△ CDF 中
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, ∴△ABE≌△CDF, 故答案为:AE=CF. 点评: 本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用, 通过做此题培养了学生的分析问题和解 决问题的能力,也培养了学生的发散思维能力,题目比较好,是一道开放性的题目,答案不唯一. 4. (3 分) (2012?黑龙江) 考点: 概率公式。
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www.jyeoo.com 分析: 抽出的牌的点数是 3 的倍数有 3,6,9,12 共 4 个,总的样本数目为 13,由此可以容易知道事件 抽出的牌的点数是 3 的倍数的概率. 解答: 解:∵把一副普通扑克牌中的 13 张红桃洗匀后正面向下,从中任意抽取一张,抽出的牌的点数是 3 的倍数的有 3,6,9,12 共 4 个, ∴抽出的牌的点数是 3 的倍数的概率是: 故答案为: . ,

点评: 本题考查了统计与概率中概率的求法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 5. (3 分) (2012?黑龙江) a≤1 . 考点: 解一元一次不等式组。 专题: 计算题。 分析: 先求出第二个不等式的解集,然后根据“同大取大”确定 a 的值即可. 解答: 解: ,
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解不等式②得,x>1, ∵不等式组的解集是 x>1, ∴a≤1. 故答案为:a≤1. 点评: 本题主要考查了一元一次不等式组解集的确定求法,根据“同大取大”的原则,a 不大于 1,从而得 解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解) . 6. (3 分) (2012?黑龙江)BC= 3 .

考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质。 分析: 如图,连接 DO,首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°,又 AC=3BC,O 为 AB 的中点,由此 可以得到∠C=30°,接着利用 30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解. 解答: 解:如图,连接 DO, ∵CD 是⊙O 切线, ∴OD⊥CD, ∴∠ODC=90°, 而 AB 是⊙O 的一条直径,AC=3BC, ∴AB=2BC=OC=2OD, ∴∠C=30°,
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∴OD=

CD,

∵CD= , ∴OD=BC=3, 故答案为:3.

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点评: 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅 助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题 7. (3 分) (2012?黑龙江)a= ﹣1 . 考点: 分式方程的增根。 专题: 计算题。 分析: 方程两边都乘以最简公分母(x﹣3) ,把分式方程化为整式方程,再根据分式方程的增根就是使最 简公分母等于 0 的未知数的值求出 x,然后代入进行计算即可得解. 解答: 解:方程两边都乘以(x﹣3)得,a+1=2(x﹣3) , ∵分式方程有增根, ∴x﹣3=0, 解得 x=3, ∴a+1=2×(3﹣3) , 解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了分式方程的增根问题,增根问题可按如下步骤进行: ①让最简公分母为 0 确定增根; ②化分式方程为整式方程; ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
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8. (3 分) (2012?黑龙江) 6 或 2 或 4 . 考点: 等腰三角形的性质;勾股定理。 专题: 分类讨论。 分析: 根据不同边上的高为 4 分类讨论,即可得到本题的答案. 解答: 解:①如图 1, 当 AB=AC=5,底边上的高 AD=4 时, 则 BD=CD=3, 故底边长为 6; ②如图 2,△ ABC 为锐角三角形, 当 AB=AC=5,腰上的高 CD=4 时, 则 AD=3, ∴BD=2,
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∴BC=

=2



∴此时底边长为 2 ; ③如图 3,△ ABC 为钝角三角形, 当 AB=AC=5,腰上的高 CD=4 时, 则 AD=3, ∴BD=8, ∴BC= =4 , . 或4

∴此时底边长为 4 故答案为:6 或 2



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点评: 本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理,解题的关键是分三种情况进行讨论. 9. (3 分) (2012?黑龙江) 2000 元. 考点: 一元一次方程的应用。 分析: 根据等量关系为:成本×(1+40%)×0.8=现售价,把相关数值代入即可求得成本价. 解答: 解:设这种商品的成本价是 x 元. x×(1+40%)×0.8=2240, 解得 x=2000, 故答案为:2000. 点评: 此题考查了一元一次方程在销售问题中的应用;得到现售价的等量关系是解决本题的关键.
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10. (3 分) (2012?黑龙江)Sn 的值为

(n 为正整数) .

考点: 反比例函数综合题。 分析: 根据反比例函数 y= 中 k 的几何意义再结合图象即可解答.
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解答: 解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面 积 S 是个定值,S= |k|=2. 所以 S1=2,S2= S1=1,S3= S1= ,S4= S1= ,S5= S1= .

依次类推:Sn 的值为 . 故答案是: . 点评: 主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义,即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形 面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解 k 的 几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的 关系即 S= |k|. 二、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 11. (3 分) (2012?黑龙江)选 D

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www.jyeoo.com 考点: 二次根式的加减法;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;负整数指数幂。 专题: 探究型。 分析: 分别根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方及负整数指数幂的运算法则计算岀各 数即可. 解答: 解:A、a6÷a3=a3,故本选项错误; B、 与 不是同类项不能合并,故本选项错误; 2 3 6 3 C、 (﹣2x y) =﹣8x y ,故本选项错误;
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D、 (﹣5) = ,故本选项正确. 故选 D. 点评: 本题考查的是同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方及负整数指数幂的运算法则,熟 知以上知识是解答此题的关键. 12. (3 分) (2012?黑龙江)下列汽车标志是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.

﹣1

考点: 中心对称图形。 分析: 根据中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解. 解答: 解:A、是中心对称图形,故本选项正确; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误. 故选 A. 点评: 本题考查了中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合. 13. (3 分)选 A 考点: 反比例函数的性质;解一元一次不等式。 专题: 推理填空题。 分析: 根据反比例函数的性质得出 k﹣2<0,求出即可. 解答: 解:∵当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大, ∴k﹣2<0, ∴k<2. 故选 A. 点评: 本题主要考查对解一元一次不等式,反比例函数的性质等知识点的理解和掌握,能根据反比例函数 的性质得出 k﹣2<0 是解此题的关键. 14. (3 分) (2012?黑龙江)如图是由几个相同的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在 该位置的小正方体的个数,这个几何体的主视图是( )
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A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图判断几何体;简单组合体的三视图。 分析: 先细心观察原立体图形中正方体的位置关系,由俯视图可以看出一共两列,左边有前后 2 排,每排 都是一个小正方体,右边也是前后 2 排,前面一排有一个小正方体,后面有 2 个小正方体,由此可
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www.jyeoo.com 判断出这个几何体的主视图是 C 答案. 解答: 解:由俯视图可得主视图有 2 列组成,左边一列由 1 个小正方体组成,右边一列由 2 个小正方体组 成, 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力. 15. (3 分) (2012?黑龙江) D.14,13.6 考点: 众数;算术平均数。 专题: 计算题。 分析: 观察这组数据发现 14 出现的次数最多, 进而得到这组数据的众数为 14, 将五个数据相加求出之和, 再除以 5 即可求出这组数据的平均数. 解答: 解:∵这组数据中,12 出现了 1 次,13 出现了 1 次,14 出现了 2 次,15 出现了 1 次, ∴这组数据的众数为 14, ∵这组数据分别为:12、13、14、15、14,
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∴这组数据的平均数 =

=13.6.

故选 D 点评: 此题考查了众数及算术平均数,众数即为这组数据中出现次数最多的数,算术平均数即为所有数之 和与数的个数的商. 16. (3 分) (2012?黑龙江) B.

考点: 函数的图象。 分析: 根据 y 随 x 的增大而减小,即可判断选项 A 错误;根据施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫 停工几天, 即可判断选项 B 错误; 根据施工队随后加快了施工进度得出 y 随 x 的增大减小得比开始 的快,即可判断选项 C、D 的正误. 解答: 解:∵y 表示未改造的道路里程,x 表示时间, ∴y 随 x 的增大而减小, ∴选项 A、D 错误; ∵施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,随后加快了施工进度, ∴y 随 x 的增大减小得比开始的快, ∴选项 C 错误;选项 B 确; 故选 B. 点评: 本题主要考查对函数图象的理解和掌握, 能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此 题的关键. 17. (3 分) (2012?黑龙江) C .1 考点: 非负数的性质:偶次方;非负数的性质:绝对值。 专题: 计算题。 分析: 根据非负数的性质列式求出 a、b 的值,然后代入代数式进行计算即可得解. 解答: 解:根据题意得,a﹣2=0,b﹣1=0, 解得 a=2,b=1, 2012 2012 所以, (b﹣a) =(1﹣2) =1. 故选 C.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查了绝对值非负数,平方数非负数的性质,根据几个非负数的和等于 0,则每一个算式都等 于 0 列式是解题的关键.

18. (3 分) (2012?黑龙江) D.30° 考点: 三角形中位线定理。 分析: 根据中位线定理和已知,易证明△ EPF 是等腰三角形. 解答: 解:∵在四边形 ABCD 中,P 是对角线 BD 的中点,E,F 分别是 AB,CD 的中点, ∴FP,PE 分别是△ CDB 与△ DAB 的中位线,
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∴PF= BC,PE= AD, ∵AD=BC, ∴PF=PE, 故△ EPF 是等腰三角形. ∵∠PEF=30°, ∴∠PEF=∠PFE=30°. 故选 D. 点评: 本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质, 解题时要善于根据已知信息, 确定应用的知识. 19. (3 分) (2012?黑龙江) B.5 种 考点: 二元一次方程的应用。 分析: 可设第一小组有 x 人,第二小组有 y 人,则第三小组有(20﹣x﹣y)人,根据选派 20 名学生分三 组到 120 个店铺可列方程,再根据每组人数为≥2 的正整数求解即可. 解答: 解:设第一小组有 x 人,第二小组有 y 人,则第三小组有(20﹣x﹣y)人,则 8x+6y+5(20﹣x﹣y)=120, 3x+y=20, 当 x=2 时,y=14,20﹣x﹣y=4,符合题意; 当 x=3 时,y=11,20﹣x﹣y=6,符合题意; 当 x=4 时,y=8,20﹣x﹣y=8,符合题意; 当 x=5 时,y=5,20﹣x﹣y=10,符合题意; 当 x=6 时,y=2,20﹣x﹣y=12,符合题意. 故学生分组方案有 5 种. 故选 B. 点评: 考查了二元一次方程的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的 等量关系.注意本题的条件“每组至少有两人”.
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20. (3 分) (2012?黑龙江) B.4 个

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考点: 直角梯形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形;三角形中位线定理。 专题: 几何综合题。 分析: 连接 DF,AC,EF,如图所示,由 E、F 分别为 AB、BC 的中点,且 AB=BC,得到 EB=FB,再由 一对公共角相等,利用 SAS 可得出△ ABF 与△ CBE 全等,由确定三角形的对应角相等得到一对角 相等,再由 AE=FC,对顶角相等,利用 AAS 可得出△ AME 与△ CMF 全等,由全等三角形的对应 边相等可得出 ME=MF,再由 BE=BF,BM=BM,利用 SSS 得到△ BEM 与△ BFM 全等,根据全等 三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN, 选项①正确; 由 AD=AE, 梯形为直角梯形, 得到∠EAD 为直角,可得出△ AED 为等腰直角三角形,可得出∠AED 为 45°,由∠ABC 为直角,且 ∠ABN=∠CBN,可得出∠ABN 为 45°,根据同位角相等可得出 DE 平行于 BN,选项②正确;由
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AD=AE= AB= BC,且 CF= BC,得到 AD=FC,又 AD 与 FC 平行,根据一组对边平行且相等的 四边形为平行四边形得到 ADCF 为平行四边形,可得出 AF=DC,又 AF=CE,等量代换可得出 DC=EC,即△ DCE 为等腰三角形,选项③正确;由 EF 为△ ABC 的中位线,利用三角形中位线定 理得到 EF 平行于 AC,由两直线平行得到两对内错角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似 可得出△ EFM 与△ ACM 相似,且相似比为 1:2,可得出 EM:MC=1:2,设 EM=x,则有 MC=2x, 用 EM+MC 表示出 EC,设 EB=y,根据 BC=2EB,表示出 BC,在直角三角形 BCE 中,利用勾股 定理表示出 EC,两者相等得到 x 与 y 的比值,即为 EM 与 BE 的比值,即可判断选项④正确与否; 由 E 为 AB 的中点,利用等底同高得到△ AME 的面积与△ BME 的面积相等,由△ BME 与△ BFM 全等,得到面积相等,可得出三个三角形的面积相等都为△ ABF 面积的 ,由 E 为 AB 的中点,且 EP 平行于 BM,得到 P 为 AM 的中点,可得出△ AEP 的面积等于△ PEM 的面积,得到△ PEM 的面 积为△ ABF 面积的 ,由 ABFD 为矩形得到△ ABF 与△ ADF 全等,面积相等,由△ ADF 与△ CFD 全等得到面积相等,可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的 ,综上得到△ PEM 的面积为梯形 面积的 ,可得出选项⑤错误,综上,得到正确的个数.

解答: 解:连接 DF,AC,EF,如图所示: ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点,且 AB=BC, ∴AE=EB=BF=FC, 在△ ABF 和△ CBE 中, , ∴△ABF≌△CBE(SAS) , ∴∠BAF=∠BCE,AF=CE, 在△ AME 和△ CMF 中, , ∴△AME≌△CMF(AAS) , ∴EM=FM, 在△ BEM 和△ BFM 中,

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, ∴∠ABN=∠CBN,选项①正确; ∵AE=AD,∠EAD=90°, ∴△AED 为等腰直角三角形, ∴∠AED=45°, ∵∠ABC=90°, ∴∠ABN=∠CBN=45°, ∴∠AED=∠ABN=45°, ∴ED∥BN,选项②正确; ∵AB=BC=2AD,且 BC=2FC, ∴AD=FC,又 AD∥FC, ∴四边形 AFCD 为平行四边形, ∴AF=DC,又 AF=CE, ∴DC=EC, 则△ CED 为等腰三角形,选项③正确; ∵EF 为△ ABC 的中位线, ∴EF∥AC,且 EF= AC, ∴∠MEF=∠MCA,∠EFM=∠MAC, ∴△EFM∽△CAM, ∴EM:MC=EF:AC=1:2, 设 EM=x,则有 MC=2x,EC=EM+MC=3x, 设 EB=y,则有 BC=2y, 在 Rt△ EBC 中,根据勾股定理得:EC= ∴3x= y,即 x:y= :3, ∴EM:BE= :3,选项④正确; ∵E 为 AB 的中点,EP∥BM, ∴P 为 AM 的中点, ∴S△ AEP=S△ EPM= S△ AEM, 又 S△ AEM=S△ BEM,且 S△ BEM=S△ BFM, ∴S△ AEM=S△ BEM=S△ BFM= S△ ABF, ∵四边形 ABFD 为矩形, ∴S△ ABF=S△ ADF,又 S△ ADF=S△ DFC, ∴S△ ABF=S△ ADF=S△ DFC= S 梯形 ABCD, ∴S△ EPM= S 梯形 ABCD,选项⑤错误. = y,

则正确的个数有 4 个. 故选 B

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点评: 此题考查了直角梯形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,平行 四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,以及三角形的中位线定理,熟练掌握性质与定理 是解本题的关键. 三、解答题(满分 60 分) 21. (5 分) (2012?黑龙江) 考点: 分式的化简求值。 专题: 开放型。 分析: 将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的加法法则计算, 同时利用除以一个数等于乘以这个数 的倒数将除法运算化为乘法运算,分母利用完全平方式分解因式,分子利用平方差公式分解因式, 约分后得到最简结果,然后将 x=0(注意 x 不能为 1,﹣1,﹣2)代入化简后的式子中计算,即可 得到原式的值. 解答: 解:原式= ? …(1 分)
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=

?

…(2 分)

=

,…(3 分) =﹣ .…(5 分)

当 x=0 时,原式=

点评: 此题考查了分式的化简求值,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘 除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分式的分子分母出现多项式,应先将多项式分 解因式后再约分. 22. (6 分) (2012?黑龙江)

考点: 作图-旋转变换;扇形面积的计算;作图-平移变换。 分析: (1)将△ ABC 的 A,B,C 三点绕点分别向上平移 3 个单位长度,找到它的对应点,顺次连接后 得到△ A1B1C1;
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www.jyeoo.com (2)从图中读出点 A1,C1 的坐标即可; (3)根据线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积为扇形,扇形半径为 5,圆心角为 90°,求出面积即可. 解答: 解: (1)正确画出平移后的图形,如图所示; (2)A1(5,7) ; C1(9,4) , (3)正确画出旋转后的图形,如图所示, 根据线段 B1C1 旋转过程中扫过的面积为扇形,扇形半径为 5,圆心角为 90°, 则计算扇形面积:S 扇形= = π.

点评: 本题综合考查了旋转变换作图及扇形的面积公式,及扇形的形成等知识点,正确求出对应点坐标是 解题关键. 23. (6 分) (2012?黑龙江)

考点: 待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质。 专题: 计算题。 2 分析: (1)据图可知(0,0) , (2,0)在 y=﹣x +bx+c 上,可代入得到关于 b、c 的二元一次方程组,解 即可; (2)根据(1)中所求函数解析式,可把 a、b、c 的值代入顶点公式,易求顶点坐标,以及对称轴;
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(3)先设点 B 的坐标是(a,b) ,根据三角形的面积公式可得 ×2|b|=8,易求 b=±8,由于顶点纵坐 标是 1,故 b=8 舍去,那么 b=﹣8,再把 b=﹣8 代入原函数,可得﹣x +2x=﹣8,解得 x=4 或 x=﹣2, 从而可得 B 点坐标是(4,﹣8)或(﹣2,﹣8) .
2 解答: 解: (1)把(0,0) , (2,0)代入 y=﹣x +bx+c,得 2

, 解得 b=2,c=0, 2 所以解析式为 y=﹣x +2x; (2)∵a=﹣1,b=2,c=0, ∴﹣ =﹣ =1, = =1,

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www.jyeoo.com ∴顶点为(1,1) , 对称轴为直线 x=1; (3)设点 B 的坐标为(a,b) ,则 ×2|b|=8, ∴b=8 或 b=﹣8, ∵顶点纵坐标为 1,8>1(或﹣x +2x=8 中,x 无解) , ∴b=﹣8, ∴﹣x +2x=﹣8, 解得 x1=4,x2=﹣2, 所以点 B 的坐标为(﹣2,﹣8)或(4,﹣8 ) .
2 2

点评: 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式,解题的关键是会根据图象得出二次函数上 的特殊点,并能掌握顶点的计算公式. 24. (7 分) (2012?黑龙江) 考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图。 分析: (1)用 E 小组的频数除以该组所占的百分比即可求得样本容量; (2)用总人数乘以该组所占的百分比即可求得 A 组的人数,总数减去其他小组的频数即可求得 B 小组的人数; (3)总人数乘以支持 D 选项的人数占 300 人的比例即可; 解答: 解: (1)样本容量:69÷23%=300 …(2 分) (2)A 组人数为 300×30%=90(人) B 组人数:300﹣(90+21+80+69)=40(人)…(1 分) 补全条形图人数为 40 …(1 分)
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圆心角度数为 360°× (3)3000×

=48°…(1 分)

=800(人)…(2 分)

点评: 本题考查了统计图的各种知识,解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息. 25. (8 分) (2012?黑龙江) 考点: 一次函数的应用。 分析: (1)轮船的速度是:22+2=24 千米/时,乘以时间即可求得两港口之间的距离,快艇从乙港到甲港 用的时间是 2 小时, 据此即可求得快艇的速度, 即在逆水中的速度, 进而求得快艇在静水中的速度;
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www.jyeoo.com (2)轮船回来时的速度是静水中的速度与水速的差,路程是两港口之间的距离,因而可以求得会 来是所用的时间,则 C 的坐标可以求得,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式; (3)再求出函数 EF 的解析式,根据返回途中相距 12 千米,即两个函数的函数值的差是 12,则可 以列出方程,求得 x 的值. 解答: 解: (1)3×(22+2)=72 千米, 72÷2+2=38 千米/时; (2)点 C 的横坐标为:4+72÷(22﹣2)=7.6, ∴C(7.6,0) ,B(4,72) , 设直线 BC 解析式为 y=kx+b(k≠0) ,则 , 解得 .

∴y=﹣20x+152(4≤x≤7.6) ; (3)快艇出发 3 小时或 3.4 小时,两船相距 12 千米. 点评: 本题考查的是用一次函数解决实际问题,以及待定系数法求函数的解析式,注意利用数形结合可以 加深对题目的理解. 26. (8 分) (2012?黑龙江) 考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质。 专题: 几何综合题。 分析: (1)∠AFC、∠ACB、∠DAC 的关系为:∠AFC=∠ACB﹣∠DAC,理由为:由四边形 ADEF 为 正方形,得到 AD=AF,且∠FAD 为直角,得到∠BAC=∠FAD,等式左右两边都加上∠CAD 得到 ∠BAD=∠CAF,再由 AB=AC,AD=AF,利用 SAS 可得出三角形 ABD 与三角形 ACF 全等,根据 全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB,又∠ACB 为三角形 ACD 的外角,利用外角的性 质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC,变形后等量代换即可得证; (2)∠AFC、∠ACB、∠DAC 的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°,可以根据 ∠DAF=∠BAC=90°,等号两边都减去∠BAF,可得出∠DAB=∠FAC,再由 AD=AF,AB=AC,利 用 SAS 证明三角形 ABD 与三角形 AFC 全等,由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB, 根据三角形 ADC 的内角和为 180°,等量代换可得证. 解答: 解: (1)关系:∠AFC=∠ACB﹣∠DAC,…(2 分) 证明:∵四边形 ADEF 为正方形, ∴AD=AF,∠FAD=90°, ∵∠BAC=90°,∠FAD=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAF,…(3 分) 在△ ABD 和△ ACF 中,
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, ∴△ABD≌△ACF(SAS) ,…(4 分) ∴∠AFC=∠ADB, ∵∠ACB 是△ ACD 的一个外角, ∴∠ACB=∠ADB+∠DAC,…(5 分) ∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC, ∵∠ADB=∠AFC, ∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC;…(6 分) (2)∠AFC、∠ACB、∠DAC 满足的关系式为:∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°,…(8 分)

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www.jyeoo.com 证明:∵四边形 ADEF 为正方形, ∴∠DAF=90°,AD=AF, 又∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF,即∠DAB=∠FAC, 在△ ABD 和△ ACF 中, , ∴△ABD≌△ACF(SAS) , ∴∠ADB=∠AFC, 在△ ADC 中,∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°, 则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°. 点评: 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的内角和定理,以及三角形的外角性 质,熟练掌握判定及性质是解本题的关键. 27. (10 分) (2012?黑龙江) 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用。 分析: (1)根据大、小两种货车共 20 辆,以及两种车所运的货物的和是 248 吨,据此即可列方程或方程 组即可求解; (2)首先表示出每种车中,每条路线中的费用,总运费为 w 元就是各个费用的和,据此即可写出 函数关系式; (3)根据运往南宁的物资不少于 120 吨,即可列出不等式求得 a 的范围,再根据 a 是整数,即可 确定 a 的值,根据(2)中的函数关系,即可确定 w 的最小值,确定运输方案. 解答: 解: (1)解法一、设大货车用 x 辆,小货车用 y 辆,根据题意得
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, 解得 .

答:大货车用 8 辆,小货车用 12 辆. 解法二、设大货车用 x 辆,则小货车用(20﹣x)辆,根据题意得 16x+10(20﹣x)=248, 解得 x=8, ∴20﹣x=20﹣8=12(辆) . 答:大货车用 8 辆,小货车用 12 辆. (2)w=620a+700(8﹣a)+400(9﹣a)+550[12﹣(9﹣a)] =70a+10850, ∴w=70a+10850(0≤a≤8 且为整数) ; (3)16a+10(9﹣a)≥120, 解得 a≥5, 又∵0≤a≤8, ∴5≤a≤8 且为整数. ∵w=70a+10850, k=70>0,w 随 a 的增大而增大, ∴当 a=5 时,W 最小, 最小值为:W=70×5+10850=11200(元) . 答:使总运费最少的调配方案是:5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地;3 辆大货车、8 辆小货车前往

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www.jyeoo.com 乙地.最少运费为 11200 元. 点评: 主要考查了函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变 量的值,利用待定系数法求出函数解析式,再根据自变量的值求算对应的函数值. 28. (10 分) (2012?黑龙江) 考点: 一次函数综合题。 分析: (1)过点 B 作 BF⊥x 轴于 F,在 Rt△ BCF 中,已知∠BCO=45°,BC=6 ,解直角三角形求 CF, BF,确定 B 点坐标; (2)过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G,由平行线的性质得出△ ODG∽△OBA,利用相似比求 DG,OG, 确定 D 点坐标,由已知得 E 点坐标,利用“两点法”求直线 DE 的解析式; (3)存在.由已知的 OE=2,分别以 O、E 为圆心,2 为半径画弧,与直线 DE 相交,或作线段 OE 的垂直平分线与直线 DE 相交,交点即为所求. 解答: 解: (1)过点 B 作 BF⊥x 轴于 F,…(1 分) 在 Rt△ BCF 中, ∵∠BCO=45°,BC=6 , ∴CF=BF=6,…(1 分) ∵C 的坐标为(﹣9,0) , ∴AB=OF=3, ∴点 B 的坐标为(﹣3,6) ;…(1 分) (2)过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G,…(1 分) ∵AB∥DG, ∴△ODG∽△OBA,
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=

=

= ,AB=3,OA=6,

∴DG=2,OG=4,…(1 分) ∴D(﹣2,4) ,E(0,2) , 设直线 DE 解析式为 y=kx+b(k≠0) ∴ ∴ , ,…(1 分)

∴直线 DE 解析式为 y=﹣x+2; …(1 分) (3)存在 P1(2,0) 、P2(1,1) 、P3( ,2﹣ ) 、P4(﹣ (写对一个点得 1 分,写对两个点或三个点得 2 分)

,2+

)…(3 分)

点评: 本题考查了一次函数的综合运用.关键是通过作辅助线,解直角三角形,证明三角形相似,确定相 关线段的长和点的坐标,得出直线解析式,再根据等腰三角形的性质,分类求 P 点坐标.

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