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2013深圳二模广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学(文)试题 Word版含答案


2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条

形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的, 答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:

2013.4

1 ① 体积公式: V柱体 ? S ? h,V锥体 ? S ? h ,其中 V , S , h 分别是体积、底面积和高; 3 n(ad ? bc)2 ② 独立性检验中的随机变量: K 2 ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 为样本容量.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 1. i 为虚数单位,则 i ? 等于 i A. 0 2.函数 f ( x ) ? A.(1 ,2)
1 ? C.(?? , )?(2 , ?)
lg(2 ? x ) x ?1

B. 2i 的定义域是

C. 1 ? i

D. ?1 ? i

B.[1 ,2) D.(1 ,2]

3.设 x ,y ? R ,则“ x ? 1 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 3 ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? 2 x B. y ? sin x C. y ? log 2 x D. y ? x | x |

5.如果函数 f ( x)? sin(πx ? ? )(0 ? ? ? 2π)的最小正周期为 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那 么 A. T ? 2 , ? ?

π 2

? B. T ? 1, ? π
D. T ? 1, ? ?

? C. T ? 2 , ? π
6.若抛物线 y 2 ? ax 的焦点与双曲线 A. 4 B. 8

π 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 a 的值为 12 4
C. 16 D. 8 2

7.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是 1 1 A. a3 ? b3 B. ? a b

C. a b ? 1

D. lg(b ? a)? 0

? 8.若平面向量 b 与 a ?(3 , 4)的夹角是 180? ,且 | b |? 10 ,则 b ? 4 A.(?3 , ) ? C.(6 , 8) 8 B.(?6 , ) ? D.(8 , 6)
2 1 2
正(主)视图

9.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形,则此几 何体的体积是 20 A. π 3 10 C. π 3

4
侧(左)视图

B. 6π D.

16 π 3

俯视图

(第 9 题图)

10.非空数集 A ? ?a1 ,a2 ,a3 , ,an ?( n?N* )中,所有元素的算术平均数记为 E( A) ,即 ?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .若非空数集 B 满足下列两个条件:① B? A ;② n E( B)? E( A,则称 B 为 A 的一个“保均值子集” ) .据此,集合 ?1, , , , ? 的“保 2 3 4 5 E( A)?
均值子集”有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题两部 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答

11. P( x ,y)是以 A 4 , ), B(?1,? 6), C(?3,2)为顶点的三角形及其内部上的任一点, ( 1 则 4 x ? 3 y 的最大值为 .

? 12.下图是用二分法求方程 x 2 ? 2 ? 0 近似解的程序框图,若输入 x1 ? 1,x2 ? 2 , ? 0.3 ,则
输出的 m 是 . (注:框图中的“=” ,即为“←”或为“: ) =” 开始 开始
f ( x) ? x2 ? 2
输入精确度 ? 和 x1 , x2 的初值

m?

x1 ? x2 2


x1 ? m

f (m) ? f ( x1 ) ? 0?


x2 ? m

x1 ? x2 ? ? 或 f (m) ? 0 ?




输出 m 结束
(第 12 题图)

13. 已知公比为 2 的等比数列 ?an ? 中,a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? a14 ? a17 ? a 20 ? 13 , 则该数列前 21 项的和 S21 ? .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的 得分. 14. (几何证明选讲) 如图, P 是 ? O 外一点, PA 与 ? O 相切于点 A ,割线 PC 与 ? O 相交于点 B ,C ,且 PA ? 3 , PC ? 3 3 , AB ? 则 AC ? .
A (第 14 题图)
C

3 , 2

? O

B

P

15. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知两圆 C1 : ? ? 2cos? 和 C2 : ? ? 2sin ? ,则过两圆圆心的直线的极坐 标方程是 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,已知 a ? 3 , b ? 5 , c ? 7 . (1)求角 C 的大小;

π (2)求 sin(B ? ) 的值. 3

17. (本小题满分 12 分)
2013 年 3 月 14 日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现 ......

象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 60 个 样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 25 15 40 混凝土耐久性不达标 5 15 20 总计 30 30 60

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1% 的 前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任 取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:
P( K 2≥k )
k

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , AB ? BC ? AA1 ,且 AC ? 2BC , A1 C1 点 D 是 AB 的中点. (1)证明: AC1 // 平面 B1CD ; (2)证明:平面 ABC1 ? 平面 B1CD .
B1

A

C
D
B
(第 18 题图)

19. (本小题满分 14 分) 各项为正数的数列 ?an ? 满足 an2 ? 4Sn ? 2an ? 1 ( n ? N* ) ,其中 Sn 为 ?an ? 前 n 项和. (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
m 3 (3)是否存在正整数 m 、 n ,使得向量 a ?(2an? 2 , )与向量 b ?(?an?5 , ? an )垂直?

说明理由.

20. (本小题满分 14 分)
3 x2 y 2 ,经过椭圆 E 的下顶点 A 和右焦点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率 e ? 2 2 a b y 27 F 的直线 l 与圆 C : x2 ?( y ? 2b)2 ? 相切. 4

如图,椭圆 E :

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动点 P 、 Q 分别在圆 C 与椭圆 E 上运 动,求 PQ 取得最大值时点 Q 的坐标.
?C

l
O

F
A
(第 20 题图)

x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)? ln x ? ax2 ?(1 ? 2a)x(a ? 0). (1)求函数 f ( x)的最大值; (2)求函数 f ( x)在区间(

1 ; , )上的零点的个数( e 为自然对数的底数) 2 ea

(3)设函数 y ? f ( x)图象上任意不同的两点为 A x1 ,y1 )、 B( x2 ,y2 ) ,线段 AB 的中点 (
( 为 C( x0 ,y0 ),记直线 AB 的斜率为 k ,证明: k ? f ? x0 ).


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