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2001年全国高中数学联赛试题及解答


二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分 和 0 分两档;其它各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加 其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照 本评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一

个档次,不要再增加其它中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四个结论,其中有且仅有一个 、 、 、 是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错 或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1.已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x| x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定 【答】 C ( )

【解】 方程 x2-3x-a2+2=0 的根的判别式Δ=1+4a2>0,方程有两个不相等的实数 根.由 M 有 2 个元素,得集合 M 有 22=4 个子集. 2. 命题 1 命题 2 命题 3 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 长方体中,必存在到各面距离相等的点.
联赛答案第 1 页(共 8 页)

以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 【答】 B ( 【解】 只有命题 1 对. 3.在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以 ? 为周期、在(0, 递增的偶函数是 (A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 【答】 D ( 【解】 y=sin|x|不是周期函数.y=cos|x|=cosx 以 2 ? 为周期.y=|ctgx|在(0, 上单调递减.只有 y=lg|sinx|满足全部条件. 4.如果满足∠ABC=60°,AC=12, BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A) k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12 (D) 0<k≤12 或 k= 8 3 【答】 D ( 【解】 根据题设,△ABC
k 12
60°



?
2

)上单调



?
2





C

C

共有两类如图.

12 k

60° B A

B

A

联赛答案第 2 页(共 8 页)

易得 k= 8 3 或 0<k≤12.本题也可用特殊值法,排除(A)(B)(C) 、 、 . 5.若 (1 ? x ? x )
2 1000

的展开式为 a 0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a 2000 x
2

2000



则 a 0 ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? a1998 的值为 (A) 3
333

(B) 3

666

(C) 3

999

(D) 3

2001

【答】 C ( 【解】 令 x=1 可得 3 1000 = a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2000 ; 令 x= ? 可得 0= a 0 ? a1? ? a 2? ? a 3? ? ? ? a 2000 ?
2 3 2000





3 2 (其中 ? ? ? 1 ? 3 i ,则 ? =1 且 ? + ? +1=0)

2

2

令 x= ? 可得 0= a 0 ? a1? ? a 2? ? a 3? ? ? ? a 2000 ?
2
2 4 6

4000



以上三式相加可得 3

1000

=3( a 0 ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? a1998 ) .
999

所以 a 0 ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? a1998 = 3



6. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元, 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之 而 和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是() . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 【答】 A ( 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为 x、y 元/枝. 则 6x+3y>24,4x+5y<22.令 6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出 x= 所以 2x-3y= (11 a ? 12 b ) ?
1 9 1 9 (11 ? 24 ? 12 ? 22 ) =0,即 2x>3y.
1 18 ( 5 a ? 3b ) ,y=



1 9

( 3b ? 2 a ) .

也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究.
联赛答案第 3 页(共 8 页)

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.椭圆 ? ?
1 2 ? cos ?

的短轴长等于

2 3 3



【解】 ? ( 0 ) ? a ? c ? 1,

? (? ) ? a ? c ?

1 3

.故a ?

2 3

,

c?

1 3

?b?

3 3

.从而 2 b ?
? 72 13 i.

2 3 3



8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3,3z1-2z2=
1 1 2 1 6

3 2

? i ,则 z1·z2= ?

30 13

【解】 由 3z1-2z2= z 2 ? z 2 ? z 1 ?
3

z1 ? z1 ? z 2 =

z1 z 2 ( 2 z 2 ? 3 z1 )
?i ? ? ?i

3

可得 z 1 z 2 ?

6 (3 z1 ? 2 z 2 ) 2 z 2 ? 3 z1

?

6 (3 z1 ? 2 z 2 ) 2 z 2 ? 3 z1

? ?6 ? 2 3 2

30 13

?

72 13

i .本题也可设三角形式进

行运算. 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 【解】 作正方体的截面 BB1D1D,则 A1C1⊥面 BB1D1D.设
A1 O B
1

6 6



D

1

A1C1 与 B1D1 交于点 O,在面 BB1D1D 内作 OH⊥BD1,H 为
垂足, OH 为 A1C1 与 BD1 的公垂线. 则 显然 OH 等于直角三 角形 BB1D1 斜边上高的一半,即 OH=
6 6
2 7

H

C1



A B

D C

10. 不等式

1 log
1 2

x

?2 ?

3 2

的解集为 ( 0 ,1) ? (1, 2 ) ? ( 4 , ?? ) .

【解】

1 l o g1 x
2

?2 ?

3 2

等价于

1 log
1 2

x

?2?

3 2



1 log 1 x
2

?2??

3 2



联赛答案第 4 页(共 8 页)



1 log
1 2

x

??

1 2



1 log
1 2

x

??

7 2


2 7

此时 log

1 2

x ? ? 2 或 log

1 2

x ? 0 或?
2

? log 1 x ? 0 .
2

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即解集为 ( 0 ,1) ? (1, 2 ) ? ( 4 , ?? ) . 11.函数 y ? x ?
2 x ? 3 x ? 2 的值域为 [1, ) ? [ 2 , ?? ) .
2 7

3

2

【解】 y ? x ?

x ? 3x ? 2 ?
2

x ? 3x ? 2 ? y ? x ? 0 .
2

两边平方得 ( 2 y ? 3) x ? y 2 ? 2 ,从而 y ? 由y?x ? y?
y ?2
2 2

3 2

且x ?

y ?2
2

2y ?3


3 2

2y ?3

?0?
2

y ? 3y ? 2 2y ?3

? 0 ?1? y ?

或y ? 2 .
2 x ? 3x ? 2 .

任取 y ? 2 ,令 x ? 任取1 ? y ?
3 2

y ?2 2y ?3

2 ,易知 x ? 2 ,于是 x ? 3 x ? 2 ? 0 且 y ? x ?

,同样令 x ?

y ?2
2

2y ?3

,易知 x ? 1 ,

2 于是 x ? 3 x ? 2 ? 0 且 y ? x ?

2 x ? 3x ? 2 .

因此,所求函数的值域为 [1, ) ? [ 2 , ?? ) .
2
A

3

12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) , 要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 732 种栽种方案.

F E D

B C

【解】 考虑 A、C、E 种同一种植物,此时共有 4×3×3×3=108 种方法. 考虑 A、C、E 种二种植物,此时共有 3×4×3×3×2×2=432 种方法. 考虑 A、C、E 种三种植物,此时共有 P43×2×2×2=192 种方法.
联赛答案第 5 页(共 8 页)

故总计有 108+432+192=732 种方法.

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1=a12,b2=a22,b3=a32(a1<a2) ,又
lim ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? 2 ? 1 .试求{an}的首项与公差.

n ? ??

【解】 设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得

a12(a1+2d)2=(a1+d)4
化简得 2a12+4a1d+d2=0 解得 d=( ? 2 ? 而? 2 ?
2 ) a1.………………………………………………………………5 分

2 <0,故 a1<0.

若 d=( ? 2 ? 2 ) a1,则 q ? 若 d=( ? 2 ?
2 )a1,则 q ?

a2 a1

2 2

? ( 2 ? 1) ;
2
2 2 ? ( 2 ? 1) ;…………………………………………10 分

a2 a

2 1

但 lim ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ?
n ? ??

2 2 ? 1 存在,故|q|<1.于是 q ? ( 2 ? 1) 不可能.

从而

a1

2 2

1 ? ( 2 ? 1)

?

2 ? 1 ? a 1 ? ( 2 2 ? 2 )( 2 ? 1) ? 2 .
2

所以 a1= ? 2 ,d=( ? 2 ? 2 ) a1=( ? 2 ? 2 )( ? 2 )= 2 2 ? 2 .……………………20 分

14.设曲线 C1: 个公共点 P.

x a

2 2

? y ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m) 在 x 轴上方仅有一
2

⑴ 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ;
联赛答案第 6 页(共 8 页)

⑵ O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示) .

1 2

时,试求ΔOAP 的面积的最



? x2 2 ? ? y ? 1, 【解】 由 ? a 2 消去 y 得,x2+2a2x+2a2m-a2=0. 2 ? y ? 2( x ? m ) ?



设 f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2,问题⑴转化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只须讨论以下三种情况:
2 1? Δ=0 得 m= a ? 1 .此时 xp= -a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合;

2

2? f(a)·f(-a)<0 当且仅当–a<m<a; 3? f(-a)=0 得 m=a. 此时 xp=a-2a2, 当且仅当-a< a-2a2<a, 0<a<1 时适合.(a)=0 即 f 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时,m=
a ?1
2

或-a<m≤a;

2

当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………………10 分 ⑵ 【解】 ΔOAP 的面积 S= ∵ 0<a<
1 2

ayp.

1 2

, 故 -a<m ≤ a 时 , 0 ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2 m ? a , 由 唯 一 性 得
xp a
2 2

xp= ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2 m .显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0,从而 y p ? 1 ?
值最大,此时 yp=2 a ? a ,∴S=a a ? a .
2 2



当 m=

a ?1
2

2

时,xp=-a2,yp= 1 ? a ,此时 S=
2 2

1 2

a 1? a2 .

下面比较 a a ? a 与 令a a ?a =
2

1 2

a 1 ? a 2 的大小:
1

1 2

a 1 ? a 2 ,得 a= .
3
联赛答案第 7 页(共 8 页)

1 1 故当 0<a≤ 时 , a a (1 ? a ) ? a 1 ? a 2 .此时 Smax= 1 a 1 ? a 2 . 3 2 2

1 1 1 2 2 当 <a< 时, a a (1 ? a ) ? a 1 ? a .此时 Smax= a a ? a .……………20 分 2 2 3

15.用电阻值分别为 a1、a2、

a3、 4、 5 、 6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) a a a
的电阻组装成一个如图的组件,在 组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论. 【解】 设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG.当 Ri=ai ,i=3,4,5,6,

R1,R2 是 a1,a2 的任意排列时,RFG 最小.…………………………………………5 分
证明如下 1°设当两个电阻 R1,R2 并联时,所得组件阻值为 R:则 1 ? 1 ? 1 .故交换二电阻
R R1 R2

的位置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2°设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB:
R AB ? R1 R 2 R1 ? R 2 ? R3 ? R1 R 2 ? R1 R 3 ? R 2 R 3 A . R1 ? R 2

R1 R2
图 1

R3
B

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使

R1 R3 R2
C

RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最
小的一个. 3°设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为

R4
图 2

D

RCD:
1 R CD ? 1 R AB ? 1 R4 ? R1 R 2 ? R1 R 3 ? R1 R 4 ? R 2 R 3 ? R 2 R 4 R1 R 2 R 4 ? R1 R 3 R 4 ? R 2 R 3 R 4



联赛答案第 8 页(共 8 页)

若记 S 1 ? 于是 R CD ?

1? i ? j ? 4

?RR
i

j

,S2 ?

i 1? i ? j ? k ? 4

?RR

j

R k .则 S1、S2 为定值.

S 2 ? R1 R 2 R 3 S1 ? R3 R4



只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<R1,即 得总电阻的阻值最小.……………………………………………………………………15 分 4°对于图 3, 把由 R1、 2、 3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替. R R 要使 RFG 最小, 3° 由 必需使 R6<R5;且由 1°,应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5< R4,且应使

RCD 最小.
而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4< R3 < R2 且 R4< R3 < R1. 这就说明,要证结论成立………………………………………………………20 分

E

R1 A R2 C F R4 R6
图3

R3

B D R5 E G

联赛答案第 9 页(共 8 页)

二○○一年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照 本评分标准适当划分档次评分,可以 10 分为一个档次,不要再增加其它中间档次.

一.如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交 于点 M, FD 和 AC 交于点 N. 求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE. (2)OH⊥MN. 【证明】 (1)∵A,C,D,F 四点共圆, ∴∠BDF=∠BAC. 又∵∠OBC= ∴OB⊥DF. 同理 OC⊥DE.………………………10 分 (2) ∵CF⊥MA, ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2.……① ∵BE⊥NA, ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2.……② ∵DA⊥BC,
联赛答案第 10 页(共 8 页)

A

O F H B E C D N

1 2

(180°-∠BOC)=90°-∠BAC,

M

∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2.……③ ∵OB⊥DF, ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2.……④ ∵OC⊥DE, ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2.……⑤………………………………………………30 分 ①-②+③+④-⑤,得

NH 2-MH 2=ON 2-OM 2. MO 2-MH 2=NO 2-NH 2.
所以 OH⊥MN.…………………………………………………………………………50 分 二.设 x i ? 0 (i=1,2,…,n) ,且 ? x i ? 2
2 i ?1 n

1? k ? j ? n

?

k j

x k x j ? 1 ,求 ? x i 的最大值
i ?1

n

与最小值. 【解】先求最小值,因为 ( ? x i ) ?
2 i ?1 n

?x
i ?1

n

2 i

?2

1? k ? j ? n

?x

kxj ?1?

?x
i ?1

n

i

≥1,

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi =1,xj =0,j≠i. ∴ ? x i 的最小值为 1.………………………………………………………………10 分
i ?1 n

再求最大值,令 x k ? ∴ ? ky k ? 2
2 k ?1
n

k yk ,

n

1? k ? j ? n
n

? ky
k ?1

k

y j ? 1 .…………①

设 M = ? xk = ?
k ?1

k yk .

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 , ? y2 ? ? ? yn ? a2 , ? 令? ? ? ? yn ? an . ?
联赛答案第 11 页(共 8 页)

则① ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 .………………………………………………………30 分
2 2 2

令 an+1=0,则 M= ? =?
n

n

k ( a k ? a k ?1 )

k ?1

k ?1

k ak ? ?

n

k a k ?1 ?

k ?1

?

n

k ?1

k ak ? ?

n

k ? 1a k ?

k ?1

?(
k ?1

n

k ?

k ? 1)a k .

由柯西不等式得
1 1 n 1 n 2 2? k ? 1) ? . ?
2

? M ? ?? ( k ? ? k ?1
n

? 2? 2 k ? 1) ? (? a k ) 2 ? ?? ( k ? ? k ?1 ? k ?1
2
2

等号成立 ?
?

a1 1

?? ?
2 2

ak ( k ?
2

2

k ? 1)

2

?? ? ?

an ( n? ak
2

n ? 1)

2

a1 ? a 2 ? ? ? a n
2

1 ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( n ?

n ? 1)

2

( k ?

k ? 1)

2

? ak ?

k ? ? n ?? ( k ? ? k ?1

k ?1
2 2? k ? 1) ? ? 1

. k=1,2,…,n) (

由于 a1 ? a 2 ? ? ? a n ,从而
2 k ? ( k ?1 ? ? n ?? ( k ? ? k ?1 k ? 1)
1

y k ? a k ? a k ?1 ?

2 2? k ? 1) ? ?

? 0 ,即 x k ? 0 .

1

? n 所求最大值为 ? ? ( k ? ? k ?1

2 2? k ? 1 ) ? .……………………………………………50 分 ?

D

C n

三.将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长 为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相 边.试求这些正方形边长之和的最小值.
联赛答案第 12 页(共 8 页)

均 应

A

m

B

【解】记所求最小值为 f(m,n) ,可以证明 f(m,n)=m+n-(m,n).

(*)

其中(m,n)表示 m 和 n 的最大公约数.………………………………………………10 分 事实上,不妨设 m≥n. (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为

m+n-(m,n).
当 m=1 时,命题显然成立. 假设当 m≤k 时,结论成立(k≥1) .当 m=k+1 时,若 n= k+1,则命题显然成立.若

n< k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图) ,由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种
分法使得所得正方形边长之和恰为 m-n+n-(m-n,n)= m-(m,n).
D1 D C n

A

m A1

B

于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为 m+n- (m,n).…………20 分 (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=1= m+n- (m,n). 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)= m+n- (m,n). 若 m=k+1,当 n= k+1 时显然 f(m,n)= k+1= m+n- (m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 a1,a2,…,ap, 不妨设 a1≥a2≥…≥ap.
联赛答案第 13 页(共 8 页)

显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n, 则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或 其边界) ,于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m> m+n- (m,n). 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…,

ap 的正方形,由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n)= m- (m,n).
从而 a1+a2+…+ap≥m+n-(m,n). 于是当 m=k+1 时,f(m,n)≥m+n- (m,n). 再由(1)可知 f (m,n)=m+n- (m,n).…………………………………………………50 分

联赛答案第 14 页(共 8 页)


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