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第3讲 三角变换及三角函数的图象与性质


专题2

三角函数与平面向量

湖南近三年来,本专题考查的题型、分值与难度 相对稳定,直接考查三角函数与平面向量的题有“一 大二小”,分值22分左右;与其他知识点交汇考查的 约两小题,约10分左右. 每年三角函数都有一道解答题,主要考查三角函 数图象与性质、解三角形、简单的三角恒等变换,分 值12分,难度不大,考题排序靠前.小题主要考

查三 角公式、图象与性质、平面向量或解三角形.平面向 量的考查比较广泛,主要有向量的线性运算、基本定 理、坐标运算、平行与垂直、数量积的两种形式、向 量沟通代数与几何的联系工具等.

第 3讲

三角变换及三角函数的图象与性质

1.考题展望 纵观全国各地“三角变换与三角函数图象与性 质”的综合大题,主要有三种形式:(1)已知三角函 数图象,求解析式,再求其性质,形如2014年北京卷 第16题.(2)已知三角函数表达式,要通过恒等变形 化简成f(x)=Asin(ωx+φ),再求其性质,如周期性, 单调性等,如2014年福建卷第18题.(3)已知部分三 角式的值,求相关的三角式的值,考查三角恒等变 形,如2014年江苏卷第15题.三角变换及三角函数的 图象与性质还会有一小题,考查范围较宽,但难度不 大.

2.高考真题 π 考题1(2014陕西)设0<θ< ,向量a=(sin 2θ , 2 cos θ ),b=(1,-cos θ ),若a· b=0,则tan θ = ________. 1 【解析】 2 利用向量的数量积列出关于 θ 的三角等式并利用 倍角公式、同角三角函数的基本关系式变形求解. 因为 a· b=0,所以 sin 2θ-cos2θ=0, 2sin θcos θ=cos2θ. π 因为 0<θ< ,所以 cos θ>0, 2 1 得 2sin θ=cos θ,tan θ= . 2 【命题立意】本题主要考查数量积,及三角恒等 变换.

考题2(2014安徽)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的 图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ 的最小正值是( ) π π 3π 3π A. B. C. D. 8 4 8 4 【解析】选 C 先将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 化为 f(x)=Asin(ωx +φ)的形式,再根据图象平移规律及三角函数诱导公 式求解. π f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin(2x+ ) ,将其图象 4 π 向右平移 φ 个单位得到 g(x)= 2sin[2(x+ -φ)] 8 π = 2sin2(x+ -2φ)的图象. 4

π ∵ g(x)= 2sin ( 2x+ - 2φ) 的图象关于 y 轴对 4 称,即函数 g(x)为偶函数, π π ∴ - 2φ= kπ+ ,k∈Z, 4 2 kπ π 即 φ=- - , k∈ Z, 2 8 3π 因此当 k=- 1 时,φ 有最小正值 . 8 【命题立意】本题主要考查三角函数的图象变换 与性质.

考题3(2014 四川)已知函数

? π ? f(x)=sin?3x+ ? 4

? ? ?. ?

(1)求 f(x)的单调递增区间; ? ?α ? 4 π? ? (2)若 α 是第二象限角,f? ?= cos?α + ? cos 2α ,求 ? 3 5 ? ? ? 4? cos α -sin α 的值.

π π π 【解析】(1)由- + 2kπ≤3x+ ≤ +2kπ? 2 4 2 π 2 π 2 - + kπ ≤ x≤ + kπ (k∈Z); 4 3 12 3 ? π 2 ? π 2 ? f(x)的单调递增区间为?- + kπ, + kπ? k ?, ? 4 3 12 3 ? ∈ Z. ? ? π? π? ? ? 4 ? (2)由已知,有 sin?α+ ?= cos?α+ ? cos 2α, ? ? 4? 5 ? 4? 4 即 sin α +cos α= (cos α- sin α)(cos α- 5 sin α )(sin α+cos α), 若 sin α+cos α=0, 则 cos α- sin α=- 2,

若 sin α+cos α≠0, 4 则 1= (cos α-sin α)2? 5 cos α-sin α=- 5 . 2

5 综上得,cos α-sin α的值为- 2或- . 2

【命题立意】本题主要考查三角函数的性质及求值.

考题4 (2014湖北)某实验室一天的温度(单位:℃) 随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.

【解析】(1)f(8)=10-

?π ? ?π ? ? ? ? ? 3cos? ?8?-sin? ?8? ?12 ? ?12 ?

? 1? 2π 2π 3 ? ? =10- 3cos -sin =10- 3 ? -2 - 3 3 2 ? ? =10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.

π 1 π 3 (2)因为 f(t)=10-2( cos t+ sin t) 2 12 2 12 π π =10- 2sin( t+ ) , 12 3 π π π 7π 又 0≤ t< 24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π π -1≤sin( t+ )≤ 1. 12 3 π π 当 t=2 时, sin( t+ )=1; 12 3 π π 当 t=14 时, sin( t+ )=- 1. 12 3 于是 f(t)在 [0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

【命题立意】本题主要考查三角函数的实际应用.

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性

R [-1,1] T=2π 奇函数

R [-1,1] T=2π 偶函数

? ? ? ?x x ? R, 且x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R T=π 奇函数

对称中心(kπ ,0) 对称性

对称中心(k 对称中心(kπ ,0) (k∈Z)

π π π + 2 ,0) 对称轴x=kπ + 2 对称轴x=k (k∈Z) π (k∈Z) 递增区间[2kπ - π π ,2kπ + ] 2 2 递增区间[2k π -π ,2k π] 递减区间[2k π ,2kπ + π ](k∈Z)

在每一个区间
? π π? ?kπ - ,kπ + ? 2 2? ?

单调性

递减区间[2kπ + π 3π ,2kπ + ] 2 2 (k∈Z)

(k∈Z) 内都是增函数

注意:(1)三角函数的图象包括:①y=sin x,y= cos x,y=tan x的图象;②“五点法”画出y= Asin(ωx+φ)的简图;③利用平移和伸缩变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象. (2)三角函数的性质包括:①奇偶性和对称性, ②单调性,③周期性,④最值.注意三角不等式与单 调性的联系. (3)对三角函数性质的考查总是与三角变换相结 合.一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变 换,使之转化为“三个一(一个角、一种三角函数、 一次方)”形式的三角函数(即y=Asin(ωx+φ)等)的形 式,再利用图象法或整体代换法转化为对基本三角函 数性质的研究.

2.基本公式 (1)两角和差公式 sin(α± β)= sin α ?cos β ± cos α ? sin β ; cos(α± β)= cos α ? cos β ? sin α ?sin β ; tan α ±tan β tan(α± β)= . 1? tan α ?tan β (2)二倍角公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos2α - sin2α = 2cos2α -1=1- 2sin2α ; 2tan α tan 2α = 2 . 1- tan α

3.构造辅助角 (1)辅助角公式 asin
? ?其中tan ?

α +bcos

α=

a2+b2

sin(α+φ)

b? φ = a ?. ? (2)常见的构造辅助角

? π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ? ; ? 4? ? ? π? ? ? sin α ± 3cos α =2sin?α ± ?; 3? ? ? π? ? 3sin α ±cos α =2sin?α ± ? ?. 6 ? ?

4.常用公式变形 (1)降幂、升角公式 1 sin α cos α = sin 2α ; 2 1+cos 2α 2 cos α = ; 2 1-cos 2α 2 sin α = . 2 (2)配方公式(升幂、降角公式) ? α α? ? 2; 1±sin α =?sin ±cos ? 2 2? ? ?

; 2 2α 1-cos α =2sin . 2 (3)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan β ). 5.角的灵活拼拆 2α =α+β+(α-β),θ=φ-(φ-θ),x= π - 等. 4

1+cos α =2cos



α tan

? π ? ?x+ 4 ?

? ? ? ?

1.三角变形 2sin 50° 例1计算: +tan 10°的值为________. sin 80° 【解析】 3
2sin 50° sin 10° 原式= + cos 10° cos 10° 2sin(60°- 10°)+ sin 10° = cos 10° 3cos 10°-sin 10°+ sin 10° = = 3. cos 10°

【点评】观察角度之间的联系,熟练运用诱导公 式和三角变换基本公式解题.

?π 例2(2014江苏)已知α∈? ?2 ? ?π ? ? (1)求sin? +α? ?的值; 4 ? ? ?5π ? ? (2)求cos? -2α? ?的值. 6 ? ?

,π

? ? ?,sin ?

5 α= . 5

? ? ?π ? 【解析】(1)∵α∈? ,π?, sin ?2 ?

5 α= , 5 2 5 ∴cos α=- 1- sin2α =- 5 ?π ? π π ? ? sin? + α?= sin cos α + cos sin α 4 4 ?4 ? 2 10 = (cos α +sin α )=- ; 2 10

4 (2)∵ sin 2α= 2sin α cos α=- , 5 3 2 2 cos 2α = cos α-sin α= 5 ? ? 5π 5π ?5π ? ∴cos? -2α?= cos cos 2α + sin sin 2α 6 6 ? 6 ? 3 3+ 4 3 3 1 ? 4? =- ? + ??- ?=- . 2 5 2 ? 5? 10

【点评】本题主要考查三角函数的基本关系式、 两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能力.

2.三角函数的图象与性质 例3 已 知 函 数
? ? φ) ?A>0,ω> 0, |φ ? ?π ? ? 示,则 f? ? ? 的值为( ?6?

f(x) = Asin

(ωx +

π? ? |≤ ? 在一个周期内的图象如图所 2? )

A.2

B. 3

C. 2

D. 1

【解析】选B 由图知,A=2,周期T=π,则ω=2.

因为x=

π 是f(x)=2sin(2x+φ)在(0,+∞)内的第一个零点, 3 ? π π π? ? 则2? +φ=π,得φ= .所以f(x)=2sin ?2x+ ? ?, 3 3 3 ? ? ?π? 2π ? ? 则f? ?=2sin = 3,选B. 3 ?6?

【点评】一般情形下由最值求A,观察周期求 ω,代入特殊点求φ.

例4已知函数f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+a+ b-1(a,b为常数,a<0),它的定义域为 域为[-3,1],试求a,b的值.
【解析】f(x)=2asin2x-2 3asin xcos x+a+b-1 =a(1-cos 2x)- 3asin 2x+a+b-1
? π? ? =-2asin?2x+ ? ?+2a+b-1. 6 ? ?

? π ? ?0, 2 ?

? ? ? ?

,值

π π π 7 ∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ π, 2 6 6 6 ? π? 1 ? ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1. 2 6? ?

? π? ? ∵a<0,∴a≤-2asin?2x+ ? ?≤-2a, 6 ? ? ? π? ? ∴3a+b-1≤-2asin?2x+ ? ?+2a+b-1≤b-1. 6 ? ? ? ?b-1=1, ∵值域为[-3,1],∴? ? ?3a+b-1=-3,

4 ? ?a=- , 3 ∴? ? ?b=2.

【点评】先化简,变成y=Asin(ωx+φ)型,对应 y=Asin x,再研究x的范围,得出y的最值.

? ? ? ? ? ? 例 5 x ω x + φ 【备选题】 已 知 函 数 f ? ? = Acos ? ?

? π ? ?A>0, ω>0, 0<φ< ? 2

? ? 1? ? 0, ? ,最小正周期 ?的图象过点? 2? ? ?

2π 为 ,且最小值为-1. 3 (1)求函数 f??x ??的解析式; (2)若
? ?π x∈? ?6 ? ? ? ? ? - 1,- , m?,f?x ?的值域是? ? ?

3? ? ,求 2?

m 的取值范围.

【解析】(1)由函数 f(x)的最小值为- 1, 可得 A= 1, 2π 因为最小正周期为 ,所以 ω= 3, 3 可得 f??x ??= cos??3x+ φ??,
? 1? 又因为函数的图象过点?0, ?,所以 2? ?
? ?

1 cos φ= , 2

π π 又因为 0<φ< ,所以 φ= , 2 3 ? π? ? ? ? 故 f?x ?= cos?3x+ ? . ? 3? ?

? ? 5π π π ?π ? (2)由 x∈? ,m?,可知 ≤3x+ ≤3m+ , 6 3 3 ?6 ? ?π ? 5π 3 ? ? 因为 f? ?=cos =- , 6 2 ?6?

7π 3 且 cos π=-1,cos =- , 6 2 π 7π 由余弦曲线的性质得π ≤3m+ ≤ , 3 6 2π 5π 得 ≤ m≤ , 9 18 ? ?2π 5π ? ? 即 m∈? , ?. ? 9 18 ?

1.要准确掌握最基本的三角函数图象的形状和 位置特征,它是利用数形结合思想解决三角函数问题 的关键. 注意:(1)“五点法”作图:设t=ωx+φ取0, π 3π ,π , ,2π ,求相对应的x值及y值,描点作 2 2 图. (2)给出y=Asin(ωx+φ)的图象,求它的解析式的 问题.易求A,ω,求φ是难点,常从寻找“五点法” 中的第一个零点(x0,0)作为突破口,要从图象的升降 找准第一个零点的位置,再由ωx0+φ=0得φ,得y= Asin(ωx+φ)(同理也可以找最高点等).

(3)变换作图: y=Asin x→y=Asin(x+φ),将 y= Asin x 的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 |φ |个单位;y= Asin(x+φ)→ y=Asin(ωx+φ)(ω>0),将 y= Asin(x+φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的 1 (纵坐标不变). ω 要明确上面两步的先后顺序. 函数 y=Asin(ωx+φ)图象向左平移 h(h>0)个单位 所对应的函数为 y = Asin[ω(x + h) + φ] ,不是 y = Asin[(ωx+ h)+φ]. 2.三角函数性质中最小正周期、最值、奇偶性、 对称性、单调区间是高考命题的一个热点.

注意:(1)函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+ 2π φ),最小正周期T= ;函数y=Atan(ωx+φ),最小 |ω | π 正周期T= ;特别地,y=|sin x|,y=|cos x|,最小 |ω | 正周期T=π ,但y=|tan x|,最小正周期T=π . (2)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的单调区间的确 定,其基本思想是换元法,把ωx+φ看作一个整体, π π 解不等式,比如:由2kπ - ≤ω x+φ≤2kπ + 2 2 (k∈Z)解出x的范围,所得区间即为增区间.若函数y

=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式将函数变 为y=-Asin(-ωx-φ)=-Asin(|ω|x-φ),把|ω |x- π φ看作一个整体,通过2kπ - ≤|ω |x-φ≤2kπ + 2 π (k∈Z)解出x的范围,所得区间即为原函数的减区 2 间.对于函数y=Acos(ωx+φ)的单调性的讨论与上类 似.

3.要通过恒等变形化简成 f(x)=Asin(ωx+φ), 主要变形技巧有“降次,角统一,化一 (一种三角函 数)”,如下面的变形: f(x)=sin2ω x-cos2ω x+2 3sin ω x? cos ω x+λ =-cos 2ω x+ 3sin 2ω x+λ
? π ? =2sin?2ωx- ? 6 ? ? ? + λ. ?

4.给角求值:当所给的角不是特殊角时,观察它 与特殊角的关系,利用三角公式变形求值.

5.给值求值:给出某些角的三角函数值,求另 外一些相关的三角函数值,关键是“变角”,即已知 条件中的角进行变形,所求式子需要哪些“角”,再 沟通这些角的联系,如下题: (2014江西)已知函数f(x)=(a+2cos2x)· cos(2x+θ) ?π ? ? ? 为奇函数,且f? ?=0,其中a∈R,θ∈(0,π ). ?4? (1)求a,θ的值; ?α ? ?π ? ? π? 2 ? ? ? ? ? (2)若f ? ? =- ,α∈ ? ,π ? ,求sin ?α + ? ?的 5 4 2 3 ? ? ? ? ? ? 值.

【解析】(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇 函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+θ) π 为奇函数.又θ∈(0,π),得θ= , 2 所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x). ?π? ? ? 由f? ?=0得-(a+1)=0,即a=-1. ?4? 1 (2)由(1)得f(x)=- sin 4x, 2 ?α? 1 2 4 ? ? 因为f? ?=- sin α=- ,即sin α= , 2 5 5 ?4? ?π ? 3 ? ? 又α∈? ,π?,从而cos α=- , 5 ?2 ? ? π π π? ? ? 所以有sin?α+ ?=sin αcos +cos αsin 3 3 3? ? 4-3 3 = . 10

1.(2014天津)已知函数f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω>0,x∈R).在曲线y=f(x)与直线y=1的交点 π 中,若相邻交点距离的最小值为 ,则f(x)的最小正 3 周期为( ) π 2π A. B. 2 3 C.π D.2π

【解析】选C 利用辅助角公式把函数f(x)表示为正弦型函数, 解出交点的横坐标,然后根据距离求出ω. ? π? ? f(x)= 3 sin ωx+cos ωx=2sin ?ωx+ ? (ω> ? 6? ? 0). ? ? π? π? ? ? ? ? 1 由2sin?ωx+ ?=1得sin?ωx+ ?= , 6? 6? 2 ? ? π π π 5 ∴ ωx+ =2kπ+ 或ωx+ =2kπ+ π 6 6 6 6 (k∈Z). π π π 5 令k=0,得ωx1+ = ,ωx2+ = π, 6 6 6 6

2π ∴ x1=0,x2= . 3ω π 2π π 由|x1-x2|= ,得 = ,∴ ω=2. 3 3ω 3 2π 故f(x)的最小正周期T= =π. 2

2.已知函数f(x)=

3 sin x-cos x,x∈R.若

f(x)≥1,则x的取值范围为( ) ? ? ? ? ? π ? ? ? A. x?2kπ + ≤x≤2kπ +π ,k∈Z ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? π ? ? ? B. x?kπ + ≤x≤kπ +π ,k∈Z ? ? 3 ? ? ? ? ? 5π ? ? ? π ? ? ? C. x?2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z ? ? 6 6 ? ? ? ? ? 5π ? ? ? π ? ? ? D. x?kπ + ≤x≤kπ + , k∈ Z ? ? 6 6 ? ? ?

【解析】选A
? ? π? π? ? ? ? f(x)=2sin?x- ?,由f(x)=2sin?x- ? ≥ 1, ? 6? 6? ? ?

π π 5π 得2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z), 6 6 6 π 解得2kπ+ ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故选A. 3

3.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所 ?π ? 2 ? ? 示,f? ?=- ,则f(0)=( ) 3 2 ? ?

A.-

2 3

B.-

1 2

C.

2 3

D.

1 2

【解析】选C 2 由题中图象可知所求函数的周期为 π,故ω=3, 3 ?11π ? π 11 ? ? 将? ,0?代入解析式得 4 π+φ= 2 +2kπ, 12 ? ? 9π 所以φ=- +2kπ, 4 ? π π? ? 令φ=- 代入解析式得f(x)=Acos?3x- ? , ? 4 4? ? ?π? π 2 ? ? 又因为f? ?=-Asin =- , 4 3 ?2? ? π? π 2 ? ? 所以f(0)=Acos?- ?=Acos = ,故选C. 4 3 4? ?

4. 已知 α∈[0, π ], 且 =________.

? ? cos?α ?

π? ? 3 则 sin α + ?=5, 4?

2 10 ? π π π π? ? ? 3 由cos?α+ ?= ,且α∈[0,π],得 <α+ < , 4 4 2 4? 5 ? ? π? ? ? 4 则sin?α+ ?= ,得 4? 5 ? ?? ? π? ?? ? π? sin α=sin??a+ ?- ? 4? 4? ?? ? ? π π π? π? ? ? ? ? =sin?α+ ?cos -cos?α+ ?sin 4 4? 4? 4 ? ? 4 2 3 2 2 = · - · = . 5 2 5 2 10 【解析】

1 5.若cos xcos y+sin xsin y= ,则cos(2x-2y)= 3 ______.

7 【解析】- 9

6.已知cos
? ? sin?α ?

? ? ?α ?

π? ? - ? +sin 6?

α=

4 5

3 ,则

7π ? ? 的值是________. + 6 ? ?

4 【解析】- 5 ? π? 4 ? ? ∵cos?α- ?+sin α= 3, 5 6? ? 3 3 4 ∴ cos α+ sin α= 3. 2 2 5 ?1 ? 4 3 ? ∴ 3? cos α+ sin α? ?=5 3. 2 2 ? ?

? π? ? ? 4 ∴ 3sin?α+ ?= 3. 6? 5 ? ? π? ? ? 4 ∴sin?α+ ?= . 6? 5 ? ? ? ? 7π? π ? ? ? ? ∵sin?α+ = sin α + +π ? ? 6 ? 6 ? ? ? ? ?π ? ? =-sin? +α? , ? ?6 ? ? 7π? 4 ? ? ∴sin?α+ ?=-5. 6 ? ?

7.已知函数f(x)=2sin(2x+φ) 如图所示,则φ=________.

? ? ?|φ ?

π? ? |< ? 图象的一部分 2?

π 【解析】 3
? π ? ? 由图可知,?- ,0? 为正弦函数五点法作图的第 ? 6 ? ?

一个零点,
? π? π ? ? 所以2??- ?+φ=0,解得φ= . 3 6? ?

8.已知函数f ???x??? = 3 sin 2x-m· sin2x ??m∈R?? .角α
? ? 终边上一点P(1,- 3),且f??α ??=-3.

?

?

(1)求实数m的值; (2)函数f ???x??? 的图象向左平移n个单位后变成偶函数 g???x???,求正数n的最小值.
【解析】(1)依题,sin α=-
? ?

3 1 ,cos α= , 2 2

则f??α??= 3sin 2α-m· sin2α=2 3sin αcos α 3 3 -msin2α=- - m=-3, 2 4 所以m=2.

(2)由(1)知,f???x???= 3sin 2x-2sin2x
? π? ? ? =2sin?2x+ ?-1, 6? ? ? ? π ? ? ? 则g??x??=2sin?2x+2n+ ? ?-1, 6 ? ?

由g???x???为偶函数,则g???x???的图象关于y轴对称,
? π? ? 所以sin?2n+ ? 1, ?=± 6 ? ?

π π 则2n+ = +kπ, 6 2 π kπ n= + ,k∈Z 6 2 π 又n>0,所以n的最小值为 . 6

9.在某个以旅游业为主的地区,每年各个月份从 事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设 该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可 近似地用函数f(n)=100 ??Acos??ω n+2??+k?? 来刻画.其
? ? ,例如n=1时表示 1 , 12 中:正整数n表示月份且n∈ ? ? ? ? ? ? ? ?

1月份;A和k是正整数,ω >0,cos
?π cos ? ?3 ?

?4π ? ? 3 ?

? ? +2? ?

≈ 1,

? ? +2? ≈-1;统计发现,该地区每年各个月份从 ?

事旅游服务工作的人数有以下规律:

①每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的 人数基本相同; ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份 和最少的2月份相差约400人; ③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100 人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的 表达式; (2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数 超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺 季”.那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺 季”?请说明理由.

【解析】(1)根据三条规律,可知该函数为周期函 数,且周期为12. π 由此可得,T= =12?ω= ; 6 ω 由规律②可知,f(n)max=f(8)=100A+100k, f(n)min=f(2)=-100A+100k, f(8)-f(2)=200A=400?A=2; ?π ? ? 又当n=2时,f(2)=200· cos ? ·2+2? ? +100k= 6 ? ? 100,所以k=3. ?π ? ? ? 综上可得,f(n)=200cos? n+2?+300符合条件. ?6 ? 2π

?π ? ? ? (2)由条件,200cos? n+2?+300>400, ?6 ? ?π ? 1 ? ? 可得cos? n+2?> ?6 ? 2

π π π ?2kπ- < n+2<2kπ+ ,k∈Z 3 6 3 ? ? π π 6? 6? ? ? ? ? ?2kπ- -2?<n< ?2kπ+ -2? ?,k∈Z 3 3 π? π ? ? ? 12 12 ?12k-2- <n<12k+2- ,k∈Z. π π 因为n∈??1,12??,n∈N*, 所以当k=1时,6.18<n<10.18, 故n=7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四 个月是该地区的旅游“旺季”.
? ?

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x1, y1),B(x2,y2)在单位圆上,∠xOA=α,∠AOB= ?π π π ? ? ? ,且α∈? , ?. 3 6 3 ? ? 2 7 (1)若x1= ,求x2的值; 7 (2)过点A,B分别作x轴的垂线,垂足为C,D, 记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2,设S1-S2 =f(α),求函数f(α)的值域.

【解析】(1)由三角函数定义, ? π ? ? ? 得x1=cos α,x2=cos?α+ ?. 3 ? ? ?π π ? 2 7 ? ? 由已知,cos α= , α∈ ? , , ? 7 3 ? ? 6 21 2 则sin α= 1-cos α= . 7
? π ? 所以x2=cos ?α+ 3 ? ? 1 ? ? = 2 cos ?

α- 2 sin

3

α=

2 7 3 7 7 - =- . 14 14 14

(2)因为y1=sin α, 1 1 1 则S1= x1y1= cos αsin α= sin 2α, 2 2 4 ?π π ? ? ? 因为α∈? , , ? 3 ? ?6 ?π ? π 2π ? π ? ? ? ? ? 则 α+ ∈? , , x = cos <0, α + 2 ? 3 3 ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? π ? ? ? y2=sin?α+ ?>0, 3 ? ? 1 所以S2= |x2|y2 2 ? ? ? π ? π ? 1? ? ? ?? ? ? = ?-cos?α+ · sin ? ?α+ 3 ? 2? 3 ? ? ?? ? ? 2π ? 1 ? ? ? =- sin?2α+ . 4 ? 3 ? ?

2π ? 1 1 ? ? ? 所以f(α)= sin 2α+ sin?2α+ 4 4 ? 3 ? ? ? ? 1 π ? 1? 3 ?1 ? ? ? = ? sin 2α+ cos 2α?= sin?2α+ ?. 4?2 4 2 3 ? ? ? ?π ?2π ? π π ? ? ? ? ? 因为α∈? , ,则 2 α + ∈ ,π ?, ? ? 3 3 ? ? 6 ? 3 ? ? ? π ? 3 3? ? ? ? ? 0<sin?2α+ < ,所以 f ( α ) ∈ . 0 , ? ? ? 2 8? 3 ? ? ?


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