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一道解析几何高考试题的题源探究与推广


第 6期 

杨苍 洲 , 等: 一道解析几何 高考试题 的题 源探 究与推广 

?3 l?  



道 解 析 几何 高考 试题 的题 源 探 究 与 推广 
●王 志 良  ( 安溪县第一中学 福建安溪 3 6 2 4 0 0 )  

●杨 苍洲  ( 泉州市第五中学 福建泉州 3 6 2 0 0 0 )  
1 问题再 现 

圆锥曲线的一些性质往往表现出统一性 , 若将  以上结论推广 , 可以得到以下命题 :  
一  

题 目 如图1 , 在正 方形  O A B C中 , 0为 坐 标 原 点 , 点  A的 坐 标 为 ( 1 0 , 0 ) , 点 c的 
坐标 为 ( 0, 1 0 ) , 分 别 将 线 段  O A和 A B十等分 , 分 点 分 别 
— — —  

命题 1   如图 3 , 矩 形 

/  
——二  B1  

A B C D 的 中心 0 为 原 点 ,  

G  
、 

C 

\ \    
、 ’~
. 

印一 一  


A B   1 %   . B C   f   Y 娥, A B:  
2 a , B C=2 b ( a>0, b>0 ) ,  

驻  
‘:  

t  

A2  



^h


  .

记为 A1 , A 2 , …,  9和  1 ,  2 ,   B 。 , 联结 O B   , 过 点  作 


E, F, G, H分 别 为 矩 形 各 边 
图 1  

/ 
E   B  



x 轴的垂线 与 O B   交于点 P  
( i ∈N , 1 ≤   ≤9 ) .  

的 中点. 点  , , A   , …, A   一  

为线段 O F的 n等分点 , 点 

图 3  

( 1 ) 求证 : 点P   (   ∈ N  , 1 ≤i ≤9 ) 都在 同一条  抛物线上 , 并求该抛物线 E的方程 ;   ( 2 ) 过 点 C作 直 线 Z 与 抛 物 线  交 于 不 同 的  点  , Ⅳ, 若 △O C M 与 AO C N 的面 积 比为 4 :1 , 求  直线 Z 的方程 .   ( 2 0 1 3 年福建省数 学高考试题 )   本 题 主要 考查 抛物线 的性 质 、 直线 与抛 物 线 的  位置关 系等基础知识 ; 考查运算求解能力、 推 理论  证能力 ; 考查化归与转化思想 、 数形结合思想、 函数  与方 程思 想.   在第 ( 1 ) 小题 中, 可以求得 P   ( i ∈ N  , 1 ≤i ≤   9 ) 都在同一条抛物线上 , 且抛物线 E的方程为  =   l O y 。 我们知道 , 圆锥曲线在某些性质方面常常呈现  出统 一性 , 那 么在 椭 圆和双 曲线 中是 否存 在 和抛 物  线一样 的性质 呢 ?请先 看本题 在教 材 中的题 源 , 结  合题 源 , 我们 将对 此性 质进行 进一 步 的探 究.  
2 题 源 探 究 

,   : , …, B   为线段 F C的 n等分点 , 过点 A   作  轴 的垂线 与直 线 O B   交 于点 P   (  ∈N  , l ≤i ≤  
r t 一1 ) , 则点 P   ( i ∈N , 1 ≤  ≤r t 一1 ) 都 在 抛 物 线 
=  

上.  

注: 若 a=b= 2 p , 则 抛物 线 的方程 为  =2 p y .   证 明  过 点 A   ( i ∈N , l ≤  ≤ 一1 ) 且与   轴 
垂直 的直 线 方程 为 
i  
= - a .  

, 口 ~ I ●   I   ● ● ‘ ● ● I I 【   眦   :   2 y =      

直线 O B   的方程 为  y:   .  
设P   (  , y ) , 则 

本题源于人教 A版《 数学( 选修 2 - 1 ) 》 第2 章  “ 圆锥 曲线 与方程 ” 后 的习题 :   如图 2 , 在矩形 A B C D     G  .   C  中, l A BI =8 , I   B CI =6 . E,   ) / 一  R   F, G , H 分 别 为 矩 形 4条  /  S   f   了 ’   边的中点 , R , . s ,   是线段  0  /   F   O F的 四等 分点 , R   , . s   , 7 1   \ \   E  B  是线段 C F 的四等 分点.   请证明 : E R与 G R   , E S与  图2   G s   , E  与 G T   的交 点  ,  


消去 i , 得 

因此点P   , P 2 , …, P   一 , 都在抛物线 F: x   =  

上.  

命题 2 如 图 4 , 矩形 A B C D 的中心 0为原 点 ,  

A B ∥ 轴 , B C ∥Y轴 , A B= 2 a , B C= 2 b ( a> 0 , 6>  
0 ) , E , F , G , H分别为矩 形各边 的中点. 点A   , A   ,  




. .. ..  



A  


 

为线段 O F的  等 分 点 , 点  ,   , …,   一 ,  

为线段 C F的 n等分点 , 则直线 

与 佃  的交点 

2  

2  

M , Ⅳ 都 在 椭 圆  + 等 = 1 上 .  
3 问题 推广 

P i (  ∈N  , 1 ≤   ≤n一 1 ) 都在曲线 ,: - j -+     =1  
卜.  

?

3 2?  

中学教研 ( 数 学)  

2 0 1 4正 

注: ① 当 口=b 时, 曲线 厂 为 圆 ; ②当 n ≠b时 ,   曲线 , 为 椭 圆 
H  ’  

:A   ( A∈ R) , 则直线 E P与 G Q的交 点 M 的  轨迹 为 曲线 . 厂:   +   =1 .  
n  0 

)  



(  

7  百 -   _  
。  F  

E 

B 

图4  

图5  

y:   一 b,   Aa   ’  

命题 3 如图 5 , 矩形 A B C D 的 中心 0为原 点 ,  

A B  x轴 , B C ∥Y轴 , A B= 2 a , B C= 2 b ( 口> 0 , b>   0 ) } E, F, G, H 分 别 为 矩 形 各 边 的 中 点. 点 A   , A 2 ,  


v: 一— V= 一    十D +6 .  



A 




为线 段 O F的 n等分 点 , 点  ,  : , …,  
2   2  

为线段 D H的 凡 等分点 , 则直线 E A   与G B   的交点 
. 

P   ( i ∈ N  , 1 ≤i ≤凡 一1 ) 都在双曲线 ,:   一 - f  = 1  
“  u 

上.  

命 题 2与命 题 3的证 明此 处 从 略. 在上述的 3   个命 题 中 , 通过 构 造 整 数 分点 , 进 而 构 造 2个 直 线  族, 从 而得 到 了一 群 “ 离散 ” 的交 点 , 此 时, 交 点 恰 

手 +   吾   ?  
口z  

在相应 的圆锥 曲线上. 那么 , 当我们更改命题 中的   条件 , 使得 2 个直线族 的交点 “ 连续” 时, 交点的轨 
迹 是 否正 是相 应 的 圆锥 曲线 呢?通 过 探究 得 到 :   命题 4 如 图 6 , 矩形 A B C D的 中心 0为原 点 ,  


鲁 b_ 1 ,  
z   ’  

A B  x 轴, B C ∥Y 轴, A B= 2 a , B C= 2 b ( Ⅱ> 0 , b >   0 ) , E, F, G, H分 别 为矩 形 各边 的中点 . D 户=A   D  ,  
F Q   =A   ( A∈R) , 过点 P作  轴 的垂 线 z , 则 直 线  Z 与直线 O Q 的交 点  的 轨 迹 为 抛 物 线 厂:   =  
2  

-  y + 


:1 ’   ?

命题 6   如图 8 , 矩 形 
…  

G 

A B C D 的中心 0为原点 , A B ∥   轴, B C ∥y轴 , A B= 2 a , B C=  
2 b ( 口> 0 , b>0 ) , E, F, G , 日分  

劣 


‘ 

/ ?  
H l  a   产  F  
一  

注: 若 n= b= 2 p , 则 抛物 线 的方 程 为  =2 p y .   该 命 题 的证 明较 为简单 , 可 以参 考 以下 命 题 5  

别 为 矩 形 各 边 的 中 点. 0 P=  
A   D  , DQ=A   D H( A   E   R) , 贝 U  

_ /   E。 ’ 。 、 、  
图 8  

或命题 6的证明, 故此处从略.  
t   j  

直 线  与 G Q的交 点  的轨 
2  
2  


\  

G 


,  
、 

‘   / c 一  
Q 、  
F 

/  一  
0 

迹 为 双 曲线 J r:   一   =1 .  
证 明  由 已知 可 得 P( A a , 0 ) , Q(一n , ( 1一   A) b ) , 当 A≠O时 , 直线 E P 的方程 为 
:   Y   一 一 b,  



.  

/   o  P  
^  E   l  

\ I ’ . - 、
.. 

  .

f   E   B  
图7  

图6  

直线 G Q 的方 程 为 
V:— :    - ' 1 - b .  
n 

命题 5 如 图 7, 矩形 A B C D 的 中心 0为原点 ,  

A B  x轴 , B C ∥Y轴 , A B= 2 a , B C= 2 b ( n> 0 , b >   0 ) ,  , F, G,   分 别 为矩 形各 边 的 中点 . O 一 P:A  
,  

设  (  , Y ) , 则 

第 6期 

王如 意 : 一道 高考模拟题 的解法探 究和溯源拓展 

?3 3?  



道 高 考 模 拟 题 的 解 法 探 究 和 溯 源 拓 展 
●王如 意  ( 惠贞书院 浙江宁波 3 1 5 0 1 6 )   3 解 法探 究 

数学 课本 中 , 很 多 习题 都 有 很 深 的 背 景 , 有 进 


步 拓展 其数 学 功能 、 发展 功能 和教 育 功能 的可 行 

平 面 向量 类 试 题基 本 上 可 以从 以 下 4个 方 面 
人手 :  

性, 教学 中应 尽力 寻找 高 考 题 、 模 拟 题 在 课 本 中 的 

“ 影子” , 充分挖掘课本 习题的潜 能, 以激发学生 的   潜 力.   本文通过对 2 0   1 4年浙江省宁波市高三数学一  模考试理科第 1 7 题 的解法探究 , 寻找 它在课本 中   的“ 影子” , 追根溯源对其解法进行探究 , 并作一些  简单拓 展.   1 考题 再 现  例1   已知 O为 AA B C的外 心 , A B =4 , A C=   2 ,  ̄B A C=1 2 0 。 , 若A O= A 1   A B +A 2   A C , 贝 0   A 1 +  
A2=  

( 1 ) 传统法( 基底法) ;   ( 2 ) 几何 意义 ;   ( 3 ) 建系 ;   ( 4 ) 其他性质.   笔 者 从 以 上这 4个 方 面 结合 三 角 形 的一 些 知 
识 对本 题解 法 进行 探究 .  

解法 1 ( 基底法) 由   A D? A B=( A l   A B+A 2   A C )? A B=  
1 6 A1 —4 A2:—   =8,  

考试结束后 , 笔者问了基础一般 的学生 , 他们  都 没 有很 好 的思路 , 感 觉不 知 所 措 , 能 做 出来 的 学  生是平 时 比较 拔尖 的.   由此可见, 这样一道高考模拟题对普通学生的  “ 杀伤力” 有多大, 同时也反映了我们在高考的复习  中对教材的挖掘之浅, 对课本习题 的研究浮于表面 
2 追根 溯源 

A D? A C=( A 1   A B+A 2   A C )? A C=  


4 A1+4 A2=  

=2 ,  

得  
从 而 

A   = 詈 ' A 2 =   ,  
A 1 +   .  

本题无 明显 的几何 意 义 , 但 我们 看 到 AA B C已  确定 , 各边 大 小 和夹角 都可 以求 出来 .  

如图 1 , 在 圆 C中 , 是 不是 只需 

知道 圆 C的半 径 或 弦 A B的长度 ,  

解法 2  ( 几何意义) 在A A B C中由余 弦定理 
得 

就可 以求船 ? A C 的值.   分析 此 题 为人 教 A 版 教 材  必修 4 第1 0 8页 B组第 4 题. 因为 
A  ? A  =l  BI?I A CI  
.   :

图1  
I   I  
,  

BC  =AC  +A B  一 2 A C ? AB ?C O S LB A C.  

即 B C=  
C  l   1.I   I C O S   <A —B A AB —C > :  


一 2× 2   x 4× c o s l 2 0 。 = 2  
BC


。   > :÷ I A BI  ,  

在 AA B C 中由正 弦定理 得 
s i n   鲋 C  
2 R =2  D ,   … 一 

所以本题 中只需要知道弦 A B的长度就可 以求出   — A B.   的值. 这个结论在最近几 年的高考模 拟题 
中 已 出现过 几次 , 由此探 究例 1的解 法.  
即 

=  

。,  

f , ,  b   l   ,  
, 

当 A= 0时 , 直线 E P与 G Q 的交 点 M 亦 满足 方 程 
一  

J 1  

【 Y   A 6  ,   ,  
2  
一  



2   b  

= l,   ’  

因此 直 线 E P与 G Q 的交 点 M 的轨 迹为 双 曲线 厂:   消 去 A, 得 
2   2  


2  
~  

2一  2=1 .  

1   2=1 .  
u 

口 


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