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函数的奇偶性


函数的奇偶性 考试说明提点: 函数的奇偶性 A 函数的奇偶性应用 B

复习目标: 1.了解函数奇偶性的定义,会判断一些简单函数的奇偶性; 2.能利用函数的奇偶性解决一些其他问题; 3.关注函数奇偶性和函数其他性质相关联的问题. 重点难点:1.函数奇偶性的定义;2.判断函数奇偶性的解题步骤. 学习过程: (一)知识点再现 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如

果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ____________,那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ____________,那么函数 f(x)是奇函数 图象特点 关于____对称

奇函数

关于____对称

(二)三基自测 1 1、已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于________. x 2、已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________.

3、若函数 f(x)=

2 +m 为奇函数,则实数 m=________. 2 +1
x

4、 已知 f(x)在 R 上是奇函数, 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2)时, f(x)=2x2, 则 f(2 015)=_____.
5、设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

6、下面结论正确的有________. (1)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数; (2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称; (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称; x (4)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=2. ?x-2??x+a?

1

(三)典型例题 题型一:函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x+1)

1-x 1 ? x2 2 2 ; (2)f(x)= 9-x + x -9 ; (3) f ( x) ? . 1+x x

变式 1:判断下列函数的奇偶性:

? 4-x2 ?x ? x , x ? 0 (1)f(x)= ; (2) f ( x) ? ln( x2 ?1 ? x) ; (3) f ( x ) ? ? 2 . |x+3|-3 ? ? x ? x, x ? 0
2

?

题型二:函数奇偶性的应用 例 2 已知函数 f ( x) ?

2( x 2 ? 1) 是奇函数,求实数 p 的值. 3x ? p

变式 2: 设 a ,b ? R , 且a ? 2, 若定义在区间 (?b, b) 内的函数 f ( x) ? lg 求 a ? b 的取值范围是.

1 ? ax 是奇函数, 1? 2x

2

例 3 已知函数 f ( x ) ? x (

1 1 ? ). 2 ?1 2
x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断函数的奇偶性; (2)求证: f ( x) ? 0 .

变式 3:设 f(x)= e ? ae (a∈R,x∈R).
x

?x

(1)讨论函数 g(x)=xf(x)的奇偶性; (2)若 g(x)是偶函数,解不等式 f(x2-2) ? f(x).

方法规律小结: 1.判断函数的奇偶性, 首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上 不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

3

(四)自我完善 课堂练习 1 错误!未指定书签。 .已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 a ? b是偶函数,定义域为 [a ? 1, 2a] . 则 a= ,b= .

2. 对于下列函数: ①f(x)=x2-1;②f(x)=2x3-x; ③f(x)=2|x|+1;④f(x)=x4-x2,x∈(-3,3]. 其中是奇函数的是________,是偶函数的是________(填写序号). 1 3.函数 f(x)= -x 的图象关于________对称. x 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,且以 2 为周期, 则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) +f(7)的值是________.

5.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数 的解析式 f(x)=________.

6. 已知偶函数 y=f(x)的图象与 x 轴有五个公共点, 那么方程 f(x)=0 的所有实根之和=____.

1 7.已知 f(x)为奇函数,当 x∈(0,1)时,f(x)=lg ,那么当 x∈(-1,0)时,函数 f(x)的表达 x+1 式是________.

8.判断下列函数的奇偶性. (1) f(x)= x2-1· 1-x2; 1 (2) f(x)= x+ ; x
?x2+x+1,x>0, ? (3) f(x)=? 2 ?x -x+1,x<0. ?

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