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江西省新余一中2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题含解析


江西省新余一中 2015 届高中毕业年级第二次模拟考试
数学(理)试卷
第I卷 【试卷综析】本卷重点考查基本知识和基本技能,侧重通性通法 注重对基本知识和基本技 能的考查,重点考查通性通法,避免偏题、怪题,适当控制运算量,加大思考量,主要是在 集合、函数、三角、数列等章节出题,在大题中,每个题的难度按照由易到难的梯度设计, 学生入口容易,但是又不能无障碍的获得

全分;整个大题也是按照这样的梯度设计的,前面 的题容易,难度慢慢上升,使学生慢慢适应考题的难度,有利于发挥学生的最大的潜能. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 【题文】1.已知集合 M ? {x | x ? x } , N ? { y | y ?
2

2014 年 10 月

4x , x ? M } ,则 M 2

N? (

)

A、{ x |0< x <

1 } 2

B、{ x |

1 < x <1} 2

C、{ x |0< x <1}

D、{ x |1< x <2}

【知识点】集合 A1 【答案解析】B 解析:解:由题意可求出

? 1 ? ? 1 ? M ? ? x | 0 ? x ? 1? , N ? y | ? y ? 2 ? ? M ? N ? ? x | ? x ? 1? ,所以 B 正确. ? 2 ? ? 2 ?
【思路点拨】分别求出集合的取值,再求交集. 【题文】2. 下列有关命题的说法正确的是 ( ).

A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? ?1 ” 是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . 【知识点】命题及其关系;充分条件;必要条件;含量词的命题的否定.A2 【答案解析】C 解析:命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” ,故 A 不正确; 因为方程 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的解是 x=-1 或 x=6 所以 B 不正确; 因为命题 “若 x ? y , 则 sin x ? sin y ”是真命题,所以其逆否命题为真命题,所以 C 正确;命题“ ?x ? R ,使得

x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”,所以 D 不正确.

1

【思路点拨】根据命题及其关系,充分、必要条件,含量词的命题的否定,逐个判断各说法 的正误. 【题文】3.函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 4 的零点所在区间为( A、 (?1, 0) B、 (0,1) 【知识点】函数的零点. B9 C、 (1, 2) ) D、 (2,3)

【答案解析】C 解析:因为 f ?1? ? f ? 2 ? ? ?4 ? 8 ? 0 ,所以选 C. 【思路点拨】根据函数在某个区间有零点的条件确定结论. 【题文】 4. 已知各项均为正数的等比数列 {a n } 中, 3a1 , ( ) A. 27 B.3 C. 【知识点】等比数列;等差数列.D2,D3

a ? a13 1 ? 则 11 a 3 , 2a 2 成等差数列, a8 ? a10 2
D.1 或 27

?1 或 3

【答案解析】A 解析:根据题意得: a3 ? 3a1 ? 2a2 ? a1q 2 ? 3a1 ? 2a1q

? q 2 ? 2q ? 3 ? 0 ? q ? ?1 或 q=3,因为等比数列 {a n } 各项均为正数,所以 q=3,

a11 ? a13 a1q10 ? a1q12 q 3 ? q 5 ? 所以 ? ? q 3 ? 27 ,故选 A. 7 9 2 a8 ? a10 a1q ? a1q 1? q
【思路点拨】根据等差数列的定义以及等比数列的通项公式确定公比 q,代入所求即可. 【题文】5.函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,则函数 f (lg A. [?5,4] B. [?5,?2)

x2 ? x ) 的定义域为( 2

)

C. [?5,?2] ? [1,4]

D. [?5,?2) ? (1,4]

【知识点】函数的定义域.B1 【答案解析】D 解析:根据题意得: 0 ? lg

x2 ? x x2 ? x ?1?1? ? 10 ,解得 2 2

?5 ? x ? ?2,1 ? x ? 4 ,故选 D.
【思路点拨】因为函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,而函数 f (lg

x2 ? x x2 ? x ) 是用 lg 替换了 2 2

函数 f ( x) 中的 x,所以 0 ? lg

x2 ? x ? 1 ,解得 x 即可. 2
)

【题文】6.设 a ? log 2 3 , b ? log 4 6 , c ? log 8 9 ,则下列关系中正确的是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. c ? a ? b

2

【知识点】数值大小的比较;对数函数的单调性.B3 【答案解析】A 解析:因为 a ? log 2 3 , b ? log 4 6 ? log 2 而3 ?

6 , c ? log8 9 ? log 2 3 9 ,

6 ? 3 9 ,由对数函数 y ? log 2 x 单调性得 a ? b ? c ,所以选 A.

【思路点拨】把各数化为以 2 为底的对数,然后利用对数函数的单调性得结论. 【题文】7. 已知 cos( x ?

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? ( 3 3
C. ? 1



A. ?

2 3 3

B. ?

2 3 3

D. ? 1

【知识点】两角和与差的三角函数,三角函数的求值.C5 【答案解析】C 解析:因为 cos( x ?

?
6

)??

3 3

,所以 cos x ? cos( x ?

?
3

)?

1 3 3 3 cos x ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x 2 2 2 2

? 3(

? 3 1 ?? 3? ? ,故选 C. cos x ? sin x) ? 3 cos ? x ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? ?1 2 2 6? ? ? ?

【思路点拨】根据两角和与差的三角函数,把所求用已知函数值的三角函数式表示即可. 【题文】 8. 已知函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? (?
'

? ?

, ) 满足 f ' ( x) cos x ? f ( x) sin x ? 0(其 2 2
)

中 f ( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,则下列不等式成立的是( A. 2 f ( ? C. f (0) ?

?

) ? f (? ) 3 4

?

B. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

2f( ) 4

?

3

D. f (0) ? 2 f ( )

?

4

3

【知识点】导数的应用;构造函数法.B12 【答案解析】D 解析:设 g ? x ? ? 因为 y ? f ( x) 对任意的 x ? (?

f ? x? f ? ? x ? cos x ? f ? x ? sin x ,则 g ? ? x ? ? , cos x cos 2 x

? ?

, ) 满足 f ' ( x) cos x ? f ( x) sin x ? 0 ,所以 g ? ? x ? ? 0 在 2 2

x ? (?

? ?

? ? ?? ? , ) 上恒成立,所以 g ? x ? 是 (? , ) 上的增函数,所以 g ? 0 ? ? g ? ? ,即 2 2 2 2 ?3?

f (0) ? 2 f ( ) .故选 D. 3
3

?

【思路点拨】 根据已知条件, 构造函数 g ? x ? ? 上的单调性,从而得到正确选项.

f ? x? ? ? , 利用导数确定函数在 g ? x ? (? , ) cos x 2 2

【题文】9. 若函数 f ( x) ? log a ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? 值范围是( A.[
1 ,1) 4

1 ,0)内单调递增,则 a 取 2

) B.[
3 ,1) 4 9 C. ( , ??) 4

D.(1,

9 ) 4

【知识点】函数的定义域;利用导数求极值点;复合函数的单调性.B1,B3,B11 【答案解析】B 解析:设 h ? x ? = x 3 ? ax ? 0 得 x ? ? a , 0 由 h? ? x ? ? 3 x ? a ? 0 得函数 h ? x ? 的极值点 ?
2

?

? ?

a , ?? ,其图像如下,

?

a ,因为函数 3

f ( x) ? log a ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? ,0)内单调递增,由图可知

1 2

?0 ? a ? 1 3 ? ? a 1 ? ? a ? 1 所以答案为 B. 4 ?? ?? 2 ? 3
【思路点拨】利用导数先判断函数的单调性再根据题意求出 a 的范围. 【题文】10. 如图,长方形 ABCD 的长 AD ? 2 x ,宽 AB ? x( x ? 1) ,线段 MN 的长度为 1,端点 M , N 在长方形 ABCD 的四边上滑动,当 M , N 沿长方形的四边滑动一周时,线段

MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G ,记 G 的周长与 G 围成的面积数值的差为 y ,则函数

4

y ? f ( x) 的图象大致为(



【知识点】函数的图象.B8 【答案解析】C 解析:解:解:∵线段 MN 的长度为 1,线段 MN 的中点 P, ∴AP= ,

即 P 的轨迹是分别以 A,B,C,D 为圆心,半径为 的 4 个 圆,以及线段 GH,FE,RT,LK, 部分. ∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段 GH,FE,RT,LK 的长, 即周长= =π +4x﹣2+2x﹣2=6x+π ﹣4,

面积为矩形的面积减去 4 个 圆的面积,即等于矩形的面积减去一个整圆的面积 为 ∴f(x)=6x+π ﹣4﹣ ∴对应的图象为 C, 故选:C. , = ,是一个开口向下的抛物线,

【思路点拨】根据条件确定点 P,对应的轨迹,然后求出相应的周长和面积,求出函数 f(x) 的表达式,然后根据函数表达式进行判断图象即可. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分. 【 题 文 】 11. 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , 且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? , 则 tan(a3 ? a5 ) 的 值 为 .

【知识点】等差数列.D2 【答案解析】 3 解析:解:由等差数列的性质可知

2 4 a1 ? a4 ? a7 ? 3a4 ? 2? ,? a4 ? ? ? 2a4 ? ? ,而 3 3
5

4 4 1 a3 ? a5 ? 2a4 ? ? ? tan ? a3 ? a5 ? ? tan ? ? tan ? ? 3 3 3 3
【思路点拨】根据等差中项的性质可得出结果. 【 题 文 】 12. 若 函 数 f ? x ? 在 R 上 可 导 , f ? x ? ? x ? x f ? ?1? , 则
3 2

? f ? x ? dx ?
0

2

.

【知识点】导数与定积分 B13 【答案解析】-4 解析:解:由题意可知

f ? ? x ? ? 3x 2 ? 2 f ? ?1? x,? f ? ?1? ? 3 ? 2 f ? ?1? ? f ? ?1? ? ?3 ,
2 2 1 f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 f ? x ? ? ? x 3 ? 3x 2 dx ? x 4 ? x 3 | ? ?4 0 0 4
【思路点拨】由题意可求出函数的原函数,再利用积分的概念求出结果. 【题文】 13. 已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 那么 tan(? ? ) 的值是 5 4 4 4

_

.

【知识点】两角和与差的正切公式.C5 【答案解析】

3 B 解析:解:由题意可得 22

?? ? 2 1 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ?? 4 ? ? ? ? 5 4 ? 3 tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 22 ?? 4? ? ? 1 ? tan ?? ? ? ? tan ? ? ? ? 1 ? ? 5 4 4? ?
【思路点拨】利用组合角的方法表示出所求的角,再利用公式求解. 【 题 文 】 14. 已 知 映 射 f : A ? B , 其 中 A ? [0,1] , B ? R , 对 应 法 则 是

1 f : x ? log 1 (2 ? x ) ? ( )x ,对于实数 k ? B ,在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围 3 2
是 . 【知识点】映射的概念 B1 【答案解析】? ??, ?2 ? ? ? ? , ?? ? 解析: 解: f ? x ? ? log 1 ? 2 ? x ? ? ? ? 在区间 ? 0,1? 上
2

? 1 ? 3 1? ?

? ?

?1? ?3?

x

是增函数, f ? x ? ? ? ?2, ? ? ,所以 A 若不存在原象则 k ? ? ??, ?2 ? ? ? ? , ?? ? 3 3 【思路点拨】根据映射的概念可求解.

? ?

? 1 ?

? ?

?| log 3 x |,0 ? x ? 3 ? 【 题 文 】 15. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 2 10 , 若 存 在 实 数 a, b, c, d , 满 足 x ? x ? 8, x ? 3 ? 3 ?3
其中 d ? c ? b ? a ? 0 , 则 abcd 的取值范围是 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,
6

.

【知识点】对数函数图象与性质的综合应用 B7 【答案解析】 ? 21, 24 ? 解析:解解:由题意可得﹣log3a=log3b = c﹣
2

c+8= d ﹣

2

d+8,

可得 log3(ab)=0,故 ab=1. 结合函数 f(x)的图象,在区间[3,+∞)上, 令 f(x)=1 可得 c=3、d=7、cd=21. 令 f(x)=0 可得 c=4、d=6、cd=24. 故有 21<abcd<24, 故答案为(21,24) .

【思路点拨】由题意可得﹣log3a=log3b= c ﹣

2

c+8= d ﹣

2

d+8,可得 log3(ab)=0,

ab=1.结合函数 f(x)的图象,在区间[3,+∞)时,令 f(x)=1 可得 c=3、d=7、cd=21.令 f(x)=0 可得 c=4 d=6、cd=24. 由此求得 abcd 的范围. 三、解答题:本大题共六个大题,满分 75 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本小题 12 分) 已知集合 A ? {x ? R | 0 ? ax ? 1 ? 5}, B ? {x ? R | ?

1 ? x ? 2}( a ? 0) . 2

(1) A, B 能否相等?若能,求出实数 a 的值;若不能,试说明理由; (2)若命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 p 是 q 充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【知识点】集合的相等;必要条件、充分条件与充要条件的判断 A1,A2 【答案解析】(1) a=2 (2) a>2,或 a<﹣8 解析:解: (1)若 A=B 显然 a=0 时不满足题意

当 a>0 时



当 a<0 时 故 A=B 时,a=2 (2)p?q 得 A?B 且 A≠B 0<ax+1≤5?﹣1<ax≤4

显然 A≠B

7

当 a=0 时,A=R 不满足.

当 a>0 时,



解得 a>2

当 a<0 时,



综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a>2,或 a<﹣8 【思路点拨】 (1)集合相等,转化为元素间的相等关系求解 (2)p?q 得 A?B 且 A≠B,转化为集合的关系求解 【题文】17. (本小题 12 分) (1)已知 cos ? ?

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? 的值; 7 14 2

??) 2 4 (2)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 4 cos(
【知识点】三角函数诱导公式 C2 【答案解析】(1)

?

4 3 7 ? ?? (2) ? 解析:解(1)因为 ? , ? ? ? 0, ? ,所以 0 ? ? ? ? ? ? , 7 7 ? 2? 5 3 4 3 ,sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 14 7
2 14 , 所 以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,故 4 4

故 sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ?

(2)

? 为 第 二 象 限 角 , 且 sin ? ?

?? ? cos ? ? ? ? 2 1 7 ?4 ? ? ? ?? cos 2? ? sin ? 2? ? ? ? ? 1 4 cos? 7
【思路点拨】根据三角函数的诱导公式可化简求出结果. 【题文】18. (本小题 12 分) 设数列 {a n } 是等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式: (Ⅱ)设 Tn 为数列 {S n } 的前 n 项和,求 Tn . 【知识点】通项公式,数列求和.D1,D4
8

3 (bn ? 1) 且 a 2 ? b1 , a5 ? b2 2

【答案解析】(I) ? an ? 2n ? 1 n ? N *

?

?

(II)

? Tn ?

3 1 2 1 (3 ? 3 ? ? ? ? ? 3n ? n) ? (3n ? 2 ? 6n ? 9) 解析:解 2 4 3 3 3 (I)由 S n ? ? bn ? 1? , S n ?1 ? ? bn ?1 ? 1?? n ? 2 ? ? bn ? S n ? S n ?1 ? ? bn ? bn ?1 ?? n ? 2 ? 即 2 2 2

bn ? 3bn ?1 ,又
a5 ? a2 ? 2 ? an ? 2n ? 1? n ? N * ? 5?2 3 3 (Ⅱ)? bn ? 3n ,所以数列 {bn } 其前 n 项和 S n ? (bn ? 1) ? (3n ? 1) , 2 2 3 1 2 1 (12 分) ? Tn ? (3 ? 3 ? ? ? ? ? 3n ? n) ? (3n ? 2 ? 6n ? 9) . 2 4
b1 ? 3 ? bn ? 3n ? n ? N * ? ? a2 ? b1 ? 3, a5 ? b2 ? 9, d ?
【思路点拨】利用前 n 项和与通项的关系可求出通项公式,第二步可利用分组求和法求解. 【题文】19. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b ( a, b 均为正常数) ,设函数 f ( x) 在 x ? (1)若对任意的 x ? [0,

?
3

处有极值.

?
2

] ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 总成立,求实数 b 的取值范围; m ? 1 2m ? 1 ?, ? ) 上单调递增,求实数 m 的取值范围. 3 3
解析:∵ f ( x) ? a sin x ? x ? b ,∴

(2)若函数 f ( x) 在区间 (

【知识点】导数;函数的单调性.B3,B11 【答案解析】 (1) b ? 1 (2) k ? 0 时, 0 ? m ? 1

? f ' ( x) ? a cos x ? 1 ,由题意,得 f ' ( ) ? 0 ,解得 a ? 2 . 2 分 3
(1)不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 等价于 b ? x ? cos x ? six 对于一切 x ? [0, 立. 4分

?
2

] 恒成

记 g ( x) ? x ? cos x ? sin x ,则 g ' ( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? 分 ∵ x ? [0,
'

?
4

)

5

?
2

] ,∴ x ?

?

? 3? ? ? [ , ] ,∴ 1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 , 4 4 4 4

∴ g ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 [0,

?

2

] 上是减函数.
6分

∴ g ( x) max ? g (0) ? 1 ,于是 b ? 1 . (2) f ( x) ? 2 cos x ? 1 ,由 f ' ( x) ?
'

1 ? ? ,得,即 ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z . 2 3 3

7


9

∵函数 f ( x) 在区间 ( ∴(

m ? 1 2m ? 1 ? ? ?, ? ) ? [? ? 2k? , ? 2k? ] , 3 3 3 3

m ? 1 2m ? 1 ?, ? ) 上单调递增, 3 3

? ?m ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? 2k? ? ?6k ? m ? 3k ? 1, k ? Z ? ? 2m ? 1 则有 ? 9 分, 即? , ∴ k ? 0 时,0 ? m ? 1 ? ? ? 2k? m ? 0 3 3 ? ? 2m ? 1 ?m ?1 ? 3 ? ? 3 ?,k ? Z ?
【思路点拨】根据题意可先求出 a 的值,再利用已知条件求导,确定 b 的值,再根据函数的 单调区间即可求出 m 的范围. 【题文】20. (本小题 13 分) 如图,分别过椭圆 E :
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 左右焦点 F1 、 F2 的动直线 l1 , l 2 相交于 P 点,

与椭圆 E 分别交于 A、B与C、D 不同四点, 直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1 、k 2 、k 3 、
k 4 满足 k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 .
y
l2

C

已知当 l1与x 轴重合时, | AB |? 2 3 , | CD |? (1)求椭圆 E 的方程;

4 3 . 3
B
F1

A

l1

P

O

F2

x

D

(2)是否存在定点 M、N ,使得 | PM | ? | PN | 为定值.若存在,求出

M、N 点坐标并求出此定值,若不存在,说明理由.
【知识点】椭圆的标准方程;直线与双曲线.H5,H8 【答案解析】 (1) 即 k 3 ? ?k 4 ,

(第 20 题)

x2 y2 解: (1) 当 l1 与 x 轴重合时, ? ? 1 (2)略解析: k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 ? 0 , 3 2

???2 分
2b 2 4 3 , (4 分) ? a 3

∴ l 2 垂直于 x 轴,得 | AB |? 2a ? 2 3 , | CD |? 得a ? 3 ,b ? 2 , ∴ 椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .???5 分 3 2

(2)焦点 F1 、 F2 坐标分别为(—1,0)、(1,0). 当直线 l1 或 l 2 斜率不存在时,P 点坐标为(—1,0)或(1,0).???6 分 当直线 l1 、 l 2 斜率存在时,设斜率分别为 m1 , m 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,
? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 由? 3 得: (2 ? 3m1 ) x 2 ? 6m1 x ? 3m1 ? 6 ? 0, 2 ? y ? m ( x ? 1) 1 ?
10

∴ x1 ? x 2 ? ?

2 6m1 2 2 ? 3m1

, x1 x2 ?

3m 2 ? 6 . (7 分) 2 ? 3m 2

k1 ? k 2 ?

y1 y 2 x ? 1 x2 ? 1 x ? x2 2m 2 ? 4m ? ? m1 ( 1 ? ) ? m1 (2 ? 1 ) ? m1 (2 ? 2 1 ) ? 2 1 , x1 x 2 x1 x2 x1 x 2 m1 ? 2 m1 ? 2

同理 k 3 ? k 4 ?

?4m 2
2 m2 ?2

.???9 分

∵ k1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 , ∴ 由题意知 m1 ? m 2 , 设 P( x, y ) ,则

?4m1
2 m1

?2

?

?4m 2
2 m2 ?2

,即 (m1 m 2 ? 2)(m 2 ? m1 ) ? 0 .

∴ m1 m 2 ? 2 ? 0 .

y2 y y ? x 2 ? 1 ( x ? ?1) ,???11 分 ? ? 2 ? 0 ,即 2 x ?1 x ?1

由当直线 l1 或 l 2 斜率不存在时, P 点坐标为(—1,0)或(1,0)也满足此方程,
y2 ? x 2 ? 1 上,???12 分 2 【思路点拨】根据条件可直接求出椭圆的标准方程,再由直线与曲线相交问题可判定结论. 【题文】21. (本小题 14 分)

∴ P( x, y ) 点椭圆

已 知 函 数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 【知识点】导数:函数的单调性.B3,B11 【答案解析】(I) a ? 1 (II)

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

? 3, ?? ?

(III)

15 (Ⅰ) ? 2 ln 2 解析:解: 8

∵ f ( x ) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ?

a .-----------------------1 分 x
x ?1

∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y ? 分

? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 .-----------------3

g ? x ? ? ln x ?

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 2 1 x ? ? b ? 1? x,? g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? 2 x x







11

g ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有解, x ? 0 设 u ? x ? ? x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 ,则 u ? 0 ? ? 1 ? 0 ,所以只
b ?1 ? ?0 b ?1 ? ? 2 ?? 需? 故 b 的取值范围是 ? 3, ?? ? . ?? ? ? b ? 1?2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b<-1 ?
(III)

g? ? x? ?

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 ,所以令 g ? ? x ? ? 0 ? x ? ? b ? 1? ? x x

? x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1
1 1 2 ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?

0 ? x1 ? x2 所以设

t?

x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
?x ? x ? 1 25 7 25 2 2 即 ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? t ? ? 2 ? 又b ? ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

1 ? 1 ? 15 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 ,故所求的最小值是 4 ?4? 8
15 ? 2 ln 2 8
【思路点拨】由题意利用导数可求出 a 的值,再根据题意可分别求解出 b 的取值及最小值.

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