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成才之路·人教A版数学选修课件2-2 2.1.1 第1课时


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
推理与证明

第二章

推理与证明

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学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-2

第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理

第二章

推理与证明

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第二章

2.1

2.1.1

第1课时

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自主预习学案

第二章

2.1

2.1.1

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1.理解合情推理的概念,掌握归纳推理的方法. 2 .掌握归纳法的步骤,体会归纳推理在数学发现中的作 用.

第二章

2.1

2.1.1

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重点:合情推理、归纳推理概念的理解.

难点:运用归纳推理进行一些简单的推理.

第二章

2.1

2.1.1

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归纳推理 思维导航 在 以 前 的数 学 学 习中 , 我 们曾 经 由 三角 形 的 内角 和 是

180°,凸四边形的内角和是360°=2×180°,凸五边形的内
角和是 540°= 3×180°,归纳出结论:凸 n(n≥3 , n∈Z) 边形 的内角和是(n-2)·180°. 这种猜想方法是否具有一般性,这样得出的结论是否一定 是正确的?这种方法在认识发现中有何作用?

第二章

2.1

2.1.1

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新知导学
1.归纳推理 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 由某类事物的__________ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由__________ 个别事实 概括出 __________ 一般结论 的推理,称为归纳推理 ( 简称归纳 ) .简言之,归纳 __________ 整体 、由_______ 部分 到_______ 个别 到_______ 一般 的推理. 推理是由_______ 2 .金导电、银导电、铜导电、铁导电,金、银、铜、铁 都是金属 ,因此可猜想所有金属都导电 ,这种推理形式为 归纳推理 . __________

第二章

2.1

2.1.1

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特殊 现象,归纳推出 ________ 3 .归纳推理是依据 _______ 一般 结
论,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的. 由归纳推理所得的结论未必是正确的,但它由特殊到一 般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用

的.通过观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规
律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.

第二章

2.1

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牛刀小试 1.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为( A.3 C.6 B.-3 D.-6 )

[答案] A

第二章

2.1

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[解析] a3=a2-a1=6-3=3, a4=a3-a2=3-6=-3, a5=a4-a3=-3-3=-6, a6=a5-a4=-6-(-3)=-3,

a7=a6-a5=-3-(-6)=3,
a8=a7-a6=6. 归纳猜想该数列为周期数列,且周期为6,所以a33=a6×5+
3=a3=3,故应选A.

第二章

2.1

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2 .如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成
的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )

[答案] A
第二章 2.1 2.1.1 第1课时

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[解析]

由前三个图形呈现出来的规律可知,下一个图形

可视作上一图形顺时针旋转 144°得到的,故由第三个图形顺 时针旋转144°得到的图形应为A.

第二章

2.1

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1 3.(2014· 胶东示范校质检)已知 x>0,由不等式 x+x≥2,x 4 x x 4 a +x2=2+2+x2≥3, …, 启发我们可以得到推广结论: x+xn≥n +1(n∈N+),则 a 等于( A.n2 C.2n
-1

) B.nn D.(2n)2

[答案] B

第二章

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1 4 x x 4 [解析] 由 x+x ≥2,x+x2=2+2+x2≥3, b x x x b 可推广 x+x3=3+3+3+x3≥4,知 b=33, a x x x a 所以对于结论 x+xn=n+n+…+n+xn≥n+1 知 a=nn, 故 应选 B.

第二章

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4 .如图是由一些小正方体摞成的.第 (1) 堆有 1 个,第 (2)
堆有4个,第(3)堆有10个…,则第n堆有________个小正方体.

[答案]

1 6n(n+1)(n+2)

第二章

2.1

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[解析] 第一堆有 1 个;第二堆有 1+(1+2)=4 个;第三 堆有 1+(1+2)+(1+2+3)=10 个;……;第 n 堆有 1+(1+2) 1 +(1+2+3)+……+(1+2+…+n)=6n(n+1)(n+2)个.

第二章

2.1

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5.(2013·泰州二中高二期中)观察下列等式:13+23=(1+
2)2,13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2,13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 , … , 根 据 上 述 规 律 , 第 四 个 等 式 为 _______________ _____________. [答案] 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2

[解析]

本小题主要考查抽象概括能力和推理能力.由前

三个式子可得出如下规律:每个式子等号的左边是从 1开始的 连续正整数的立方和,且个数依次加1,等号的右边是从1开始 的连续正整数和的完全平方,个数也依次加 1 ,因此,第四个 等式为13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.
第二章 2.1 2.1.1 第1课时

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典例探究学案

第二章

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归纳推理在数、式、数列中的应用
根据下列条件, 写出数列中的前 4 项, 并归纳猜 想它的通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1.

[分析 ] 规律.

写出 a1 ,a2 , a3 ,a4 ,观察所得数与项数 n 之间的
第二章 2.1 2.1.1 第1课时

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[解析] (1)由已知有a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1.

猜测出an=2n+1-1,n∈N* (n≥2).

第二章

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(2)由已知有 a1=a, 2-a 1 1 1 a2 = = ,a3= = , 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4 = = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜测出 an= .(n≥2) n-?n-1?a

第二章

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(3)∵2 Sn=an+1, ∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1,∴a1=1. 又 2 S2=a2+1,∴2 a1+a2=a2+1, ∴a2 2-2a2-3=0. ∵对一切的 n∈N*,an>0,∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7,猜测出 an=2n-1.

第二章

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[ 方法规律总结 ]

1. 由数列的递推公式容易写出数列的前

几项,观察数列的项与序号之间的关系,分析特点发现规律, 猜想其通项公式,然后再给予证明是解答数列问题常用的方 法.

第二章

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2.归纳推理的一般步骤: (1)观察分析,发现规律:通过观察个别情况发现某些相同 性质. (2)猜想结论并检验:从已知的相同性质中推出一个明确的

一般性命题(猜想).
3.运用归纳推理解决问题的思维过程: 实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明归纳的 结论是否成立.

第二章

2.1

2.1.1

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下面各列数都依照一定规律排列, 在括号里填上适当的数: (1)1、5、9、13、17、( 2 1 1 3 (2)3、1、12、24、38、( 3 5 1 9 11 (3)4、8、2、22、32、( (4)32、31、16、26、( ); ); ); ) 、( )、4、16、2、11.

1 13 [答案] (1)21 (2)516 (3)44 (4)8 21

第二章

2.1

2.1.1

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[解析]

要在括号里填上适当的数,必须正确地判断出每

列数所具有的规律,为此必须进行仔细的观察和揣摩. (1)观察可见,各数依次构成等差数列,公差为 4,所以括 号里的数是 17+4=21. (2)像(1)那样考虑难以发现规律,改变一下角度,把各数改 2 3 9 27 写为3、1、2、4、 8 .

第二章

2.1

2.1.1

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可以发现: 2 3 3 3 1÷ 1=2, 3=2,2÷ 9 3 3 27 9 3 4÷ 2=2, 8 ÷ 4=2. 3 27 即各数构成等比数列,公比为2,因此,括号中的数应是 8 3 81 1 ×2=16=516 .

第二章

2.1

2.1.1

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(3)为探究规律,作适当变形: 3 5 7 9 11 4、8、14、22、32. 这样一来,分子部分呈现规律:自 3 起,依次递增 2,故 括号内的数的分子为 13.再看分母部分:4、8、14、22、32.相 邻两数之差得 4、6、8、10.可见括号内的数的分母应为 32+12 13 =44.故括号中应填入44.

第二章

2.1

2.1.1

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(4)分成两列数:奇数位的数为 32、16、( 16、11.

)、4、2. )、

可见前面括号中应填入 8;偶数位的数为 31、26、( 括号中的数应填入 21.所以两括号内依次填入 8、21.

第二章

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[点评] 由已知数、式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方 面的变化规律. (2) 要特别注意所给几个等式 ( 或不等式 ) 中结构形式的特 征. (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点. (4)运用归纳推理得出一般结论.

第二章

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归纳推理在图形中的应用

有两种花色的正六边形地面砖, 按下图的规律拼 成若干个图案,则第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 ( )

第二章

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A.26
C.32 [分析]

B.31
D.36 数出前三个图案中有菱形纹的正六边形个数,注

意分析规律,由此规律作出推断.

第二章

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[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案 个数 1 6 2 11 3 16 … …

由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹 的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B. [答案] B

第二章

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[方法规律总结 ]

通过一组平面或空间图形的变化规律,

研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现数字之间的
规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略 是:

第二章

2.1

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如图,由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形中由n个正 方形组成:

通过观察可以发现:第 5 个图形中,火柴棒有 ________

根;第n个图形中,火柴棒有________根.
[答案] 16 3n+1
第二章 2.1 2.1.1 第1课时

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[解析]

数一数可知各图形中火柴的根数依次为:

4,7,10,13,…,可见后一个图形比前一个图形多3根火柴,它们 构成等差数列,故第五个图形中有火柴棒 16 根,第n 个图形中

有火柴棒(3n+1)根.

第二章

2.1

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数一数图中的凸多面体的面数 F、 顶点数 V 和棱 数 E,然后用归纳推理得出它们之间的关系.

第二章

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[分析]

仔细观察,通过几何图形的结构特征,找出三者

之间的关系.

第二章

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[解析] 各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示. 多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔 面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9 顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9 棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
第二章 2.1 2.1.1 第1课时

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观察其数字特征: 4+4-6=2; 5+6-9=2; 6+8-12=2; 5+5-8=2; 6+6-10=2; 8+6-12=2;

7+10-15=2;
式: V+F-E=2.

9+9-16=2.

可以发现,它们的顶点数V,棱数E及面数F有共同的关系

第二章

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[ 方法规律总结 ]

归纳常常从观察开始,通过观察、实

验、对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的猜想,是数 学研究的基本方法之一.

第二章

2.1

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平面内有 n条直线,其中任何两条都不平行,任何三条不

过同一点,试归纳它们的交点个数f(n).
[解析] n=2 时,交点个数:f(2)=1. n=3 时,交点个数:f(3)=3. n=4 时,交点个数:f(4)=6. n=5 时,交点个数:f(5)=10. 1 猜想 f(n)=2n(n-1)(n≥2).

第二章

2.1

2.1.1

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已 知 : ① tan10° tan20° + tan20° tan60° + tan60° tan10° = 1. ② tan5° tan10° + tan10° tan75° + tan75° tan5° = 1. ③tan20° tan30° +tan30° tan40° +tan40° tan20° =1 成立, 由此得到 一个由特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广.

第二章

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[解题思路探究]

第一步,审题.一审条件找信息,观察

所给出的三个三角等式可以发现①从形式特点上,都是三项的 和,每项为两个角正切的乘积;②从角上看都是三个角轮换, 且其和 90° ;二审结论定方向,将所给等式加以推广写出具有 一般性的结论,三个条件式应为该结论的特殊情形. 第二步, 建联系确定解题步骤. 由对条件和结论的分析知, 推广后的等式应为 tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1,其中 α+β +γ=90° ,然后给出证明过程. 第三步,规范解答.

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[解析] 观察到: 10° +20° +60° =90° , 5° +75° +10° =90° , 20° +30° +40° =90° .猜想此推广为 α+β+γ=90° 且 α、β、γ 都 不为 k· 180° +90° (k∈Z),则 tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1. 证明:①γ=0° 时,等式显然成立. ②当 γ≠0° 时,由 α+β+γ=90° ,得 α+β=90° -γ, 1 所以 tan(α+β)=tanγ.

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tanα+tanβ 又因为 tan(α+β)= , 1-tanαtanβ 所以 tanα+tanβ=tan(α+β)· (1-tanα· tanβ) 1 =tanγ(1-tanα· tanβ), 所以 tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα =tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ) 1 =tanαtanβ+tanγ· tanγ(1-tanαtanβ)=1. 综上所述,等式成立.

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[方法规律总结] 归纳、推理、证明题的一般解题步骤: (1)列举出几个特殊情形,条件中已给出的此步可省略. (2)观察、分析所给特殊情形找出其共性. (3)归纳猜想出一个一般性的结论,此结论应包含前面的特 殊情况. (4)对猜想的结论给出证明.

第二章

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观察下列等式,你能得到什么结论?所得结论是否成立? 2+2=4, 2×2=4, 3 1 3 1 2+3=42, 2×3=42, 4 1 4 1 3+4=53, 3×4=53.

第二章

2.1

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n+1 n+1 [解析] 结论为 n +(n+1)= n · (n+1)(n∈N*). 显然它 是成立的. n+1 n+1 1 ∵ n =1+n,两边同乘以 n+1 即得: n · (n+1)=(n+ n+1 1)+ n .

第二章

2.1

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巩固提高学案
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备选练习
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第二章

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