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2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总


2007——2014 高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题
【2007 新课标卷(海南宁夏卷) 】 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有

极值之和大于 ln 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

e . 2

1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . 2 x?a

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ? 当x ??

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

1 时, f ?( x) ? 0 . 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? ∞) , f ?( x) ? (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a,
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 . 若a ?

2 , x ? (? 2,∞ ? ) , f ?( x) ?
2 时, f ?( x) ? 0 , 2

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x??

当 x ? ? ? 2, ?

? ? ?

2? ? 2 ? ?

? ? 2 ? ∞? ? ?? 2 , ? 时, ? ?

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值.
若 a ? ? 2 , x ?( 2 ,∞ ? ) , f ?( x) ? (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

2 或 a ? ? 2 ,则 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . x1 ? 2 2
当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点, 故 f ( x ) 无极值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,

由根值判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ).

f ( x) 的极值之和为
1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2
【2008 新课标卷(海南宁夏卷) 】 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定 值,并求出此定值. 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? 2a ? ? 1, a? , ? ? ?a ? 1, ? 1 2?b ? 4 于是 ? 解得 ? 或? 因 a,b ? Z ,故 f ( x ) ? x ? . x ?1 ?a ? 1 2 ? 0, ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ? (2 ? b) ? 3 ? ?
(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所 以 函 数 g ( x) ? x ?

1 都是奇函数. x

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.而 x

f ( x) ? x ? 1 ?

1 ?1 . x ?1

, 平移,即得到函数 f ( x) 的图像,故函数 f ( x) 的图 可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11)
, 为中心的中心对称图形. 像是以点 (11)
(Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 1 ? 知,过此点的 ? .由 f ?( x0 ) ? 1 ? ( x0 ? 1)2 x0 ? 1 ?

切线方程为

y?

2 x ?1 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? ?1 ? ( x ? x0 ) .令 x ? 1 得 y ? 0 2? x0 ? 1 x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

? x0 ? 1 ? ?1, ?. ? x0 ? 1 ?
令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 , 切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ?1 直线 x ? 1 与直线 y ? x , 2 x0 ?1) .

,. 的交点为 (11)
从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 【2009 新课标卷(海南宁夏卷) 】 3 2 -x 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x +3x +ax+b)e . (1)若 a=b=-3,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(-∞,α ),(2,β )单调增加,在(α ,2),(β ,+∞)单调减少,证明 β -α >6. 分析:第(1)问考查利用导数求单调区间,属容易题. 第(2)问考查极值点与导函数的关系. 3 2 -x 解:(1)当 a=b=-3 时,f(x)=(x +3x -3x-3)e ,故 3 2 -x 2 -x -x 3 -x f′(x)=-(x +3x -3x-3)e +(3x +6x-3)e =-e (x -9x)=-x(x-3)(x+3)e . 当 x<-3 或 0<x<3 时,f′(x)>0;当-3<x<0 或 x>3 时,f′(x)<0. 从而 f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)=-(x +3x +ax+b)e +(3x +6x+a)e =-e [x +(a-6)x+b-a]. 3 -x 3 由条件得 f′(2)=0,即 2 +2(a-6)+b-a=0,故 b=4-a.从而 f′(x)=-e [x +(a-6)x+4 -2a]. 3 2 因为 f′(α )=f′(β )=0,所以 x +(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α )(x-β )=(x-2)[x -(α +β )x+α β ]. 将右边展开,与左边比较系数,得 α +β =-2,α β =a-2. 故 ? ?? ?

3

2

-x

2

-x

-x

3

( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .

又(β -2)(α -2)<0,即 α β -2(α +β )+4<0.由此可得 a<-6.于是 β -α >6. 【2010 新课标卷(海南宁夏吉林黑龙江) 】 (21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. x x 21.解:(1)a=0 时,f(x)=e -1-x,f′(x)=e -1. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故 f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加. (2)f′(x)=e -1-2ax. 由(1)知 e ≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立. 故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当 1-2a≥0, 1 即 a≤ 时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0)=0,于是当 x≥0 时,f(x)≥0. 2 1 x -x 由 e >1+x(x≠0)可得 e >1-x(x≠0),从而当 a> 时, 2
x x

f′(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故当 x∈(0,ln2a)时, f′(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,综 1 合得 a 的取值范围为(-∞, ]. 2

【2011 全国新课标卷】 (21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1 处 ) )的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

? f (1) ? 1, 1 ? 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2 ?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 解得 a ? 1 , b ? 1 。

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ( x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2

(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 ' 2 (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 1? k 1 1 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 (iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得
'

1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2
综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

【2012 全国新课标卷(宁、吉、黑、晋、豫、新)】 (21)(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间;

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2 1 2 x ?1 x ?1 【解析】 (1) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ? f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x 2
(2)若 f ( x) ? 令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增

f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2 e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为 【2013 全国新课标Ⅱ卷】

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)设 (Ⅱ)当 是 . 的极值点,求 . ,并讨论 的单调性;

时,证明

解: (Ⅰ) Q f ' ( x) ? e x ? ln( x ? m)

? f ' ( x) ? e x ?
即1 ?

1 x?m

Q x ? 0 是 f ( x) 的极值点
? f ' ( x) ? e x ? 1 x ?1

? f ' (0) ? 0

1 ?0 m

?m ? 1

? f '' ( x) ? e x ?
Q f ' (0) ? 0

1

? x ? 1?

2

?0

? f ' ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增

??1 ? x ? 0, f ' ( x) ? 0 ;? x ? 0, f ' ( x) ? 0 .

? f ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增.
(Ⅱ)方法一: 令 h( x) ? e x ? x ? 1

?h' ( x) ? ex ? 1

? h( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, +?) 上单调递增 ? h( x) ? h(0) ? 0
即 ex ? x ? 1

1 x ?1 ? x?2 x?2 ? g ( x) 在 (?2, ?1) 上单调递减,在 (?1, ??) 上单调递增.
令 g ( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 2)

? g ' ( x) ? 1 ?

? g ( x) ? g (?1) ? 0

即 x ? 1 ? ln( x ? 2)

?ex ? ln( x ? 2)

又 Q 当 m ? 2 时, x ? 2 ? x ? m 即 e ? ln ? x ? m? ? 0
x

?ln ? x ? 2? ? ln ? x ? m?

?ex ? ln ? x ? m?

? 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 .
1 x?2

方法二: 设 g ( x) ? e ? ln ? x ? 2?
x

? g ' ( x) ? e x ?

? g '' ( x) ? e x ?
' 而 g (?1) ?

1

? x ? 2?

2

?0

? g ' ( x) 在 (?2, ??) 单调递增. ??x0 ? (?1, 0) 使得 g ' ( x0 ) ? 0

1 1 ? 1 ? 0, g ' (0) ? 1 ? ? 0 e 2

? g ( x) 在 (?2, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , +?) 上单调递增.

? gmin ( x) ? g ( x0 ), x0 ? (?1, 0)

? g ( x) ? g ( x0 ) ? ex0 ? ln( x0 ? 2)
? h ' ( x) ? 1 ? 1 x ?1 ? x?2 x?2

令 h( x) ? x ? 1 ? ln( x ? 2), x ? (?1, 0)

? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增. 即 x ? 1 ? ln( x ? 2) ? h( x) ? h(?1) ? 0 Q ex ? x ? 1

?ex ? ln( x ? 2)

又 Q 当 m ? 2 时, x ? 2 ? x ? m 即 e ? ln ? x ? m? ? 0
x

?ln ? x ? 2? ? ln ? x ? m?

?ex ? ln ? x ? m?

? 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 .

【2014 全国新课标Ⅱ卷】 21.已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ? 2 x . (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (III)已知 1.4142 ? 【解析】 (I)

2 ? 1.4143 ,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001 ) .
1 ? 2 ? 0 当且仅当 x ? 0 时等号成立, ex

f ? ? x ? ? ex ?

? f ? x ? 在 R 上是增函数;
(II)

g ? x ? ? f ? 2 x ? ? 4bf ? x ? ? e 2 x ? e ?2 x ? 4b ? e x ? e ? x ? ? ? 8b ? 4 ? x

2x ?2 x x ?x x ?x x ?x ? ? g? ? x ? ? 2 ? ?e ? e ? 2b ? e ? e ? ? ? 4b ? 2 ?? ? 2 ? e ? e ? 2 ?? e ? e ? 2b ? 2 ?

⑴当 b ? 2 时, g? ? x ? ? 0 ,等号仅当 x ? 0 时成立, ? g ? x ? 在 R 上是增函数,而

g ? 0? ? 0 ,所以对任意 x ? 0 , g ? x ? ? 0 ;
⑵当 b ? 2 时,若 x 满足 2 ? e ? e
x ?x

? 2b ? 2 ,即 0 ? x ? ln b ? 1 ? b2 ? 2b 时,

?

?

g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? ? g ? 0? ? 0 .
综上, b 的最大值是 2. (III)由 II 知, g ln 2 ? 当 b ? 2 时, g ln 2 ?

?

?

3 ? 2 2b ? 2 ?2b ?1 ?ln 2 , 2

?

?

3 8 2 ?3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6928; 2 12

当b ?

3 2 ? 1 时, ln b ?1 ? b2 ? 2b ? ln 2 , 4

?

?

3 18 ? 2 g ln 2 ? ? ? 2 2 ? 3 2 ? 2 ln 2 ? 0 , ln 2 ? ? 0.6934 2 28 所以 ln 2 的近似值为 0.693 .

?

?

?

?


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