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北京市西城区重点中学2015-2016学年度第二学期高一数学期末复习 讲座


北京市西城区重点中学 2015-2016 学年度第二学期高一数学期末复习
一、这个期末复习的特殊性和难点 二、了解学生的需求,明确复习的目的格外重要 1、 目的之一:落实----要点是要弄明白学生不落实的原因在哪里,对症下药; 例 1:在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 3

学生会怎么做?容易错在哪里?为什么? 我们用这道题要向学生说明解三角形的要点在哪里。

例 2: 如果执行右面的程序框图, 那么输出的 a =__

_.

很多学生都会得出

3 ,这种错误别忽视。 5

例 3:已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 0 且 an?1 ? 3an ? 6 . (Ⅰ)求证: {an ? 3} 是等比数列; (Ⅱ)若 bn?1 ? an ? bn (n ? 1,2, ?) ,且 b1 ? ?3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

例 4:已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? a ? 2 n ? b 且 a1 ? 3 . (Ⅰ)求 a , b 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . an

这种由于“看着眼熟,做着陌生”而发生的错误,要讲就彻底讲清楚。

例 5:已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? an ? 1( a 是不为 0 的实数) ,那么 {an } A.一定是等差数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 B.一定是等比数列 D.既不可能是等差数列也不可能是等比数列

? x ? y ? 0, ? 例 6: 若实数 x, y 满足 ? x ? 1, 则下列不等式恒成立的是 ? x ? y ? 0, ?
A. y ? 1 B. x ? 2 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

基础知识的复习目的是:帮助学生做到“真懂、会做和做对” 。

2、目的之二:让复习有点高度,要向前看也要先后看,最好能起到一点儿承前启后的作用。 例7:在 ?ABC 中, B ?

π ,则 sin A ? sin C 的最大值是____________. 4

学生非常不喜欢这样的题,因为它“切中要害” 。

例 8:若数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? 2? n , n ? N * ,若数列 {an } 单调递增,则实数 ? 的取值范围是 ____________. 如果能够知道使用二次函数的性质就不太容易错。

例 9:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为________. n

例 10:已知函数 f ( x) ? kx2 ? (k ? 1) x ( k 为常数) . (Ⅰ)若 k ? ?2 ,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 k ? 0 ,解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)若 k ? 0 ,且对任意 x ? [1,??) ,总有 g ( x) ?

f ( x) ? 1 ? 1 成立,求 k 的取值范围. x

解不等式和求最值的方法可以梳理、提炼、总结一下,今后太有用了。

例 11 :在 ?ABC 中, sin A : sin B ?

2 : 1 , c 2 ? b 2 ? 2bc ,将三个内角 A, B, C 按从小到大排序是

__________________(用“ ? ”号连接).

例 12:一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编 号为 n ,求 n ? m ? 2 的概率. 有点变化,不老走寻常路,也练练学生的应变能力。

3、目的之三:适当的综合和提高,给好学生一点空间。 例 13:右表给出的是一个数阵,其中每行、每列均为等差数列,且数阵从左 至右以及从上到下都有无限多个数.请回答下列两个问题: ① 第三列前 n 项和为______ ; 1 1 1 1 ② 数阵中数 100 共出现 ___ 次. 1 ? 1 2 3 4 5 ? 1 3 5 7 9 ? 1 4 7 10 13 ? 1 5 9 13 17 ? ? ? ? ? ? ?

例 14:已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,其前 n 项和为 S n .若 a n ?1

? an ? , a 是偶数 ,且 S 3 ? 29 , ??2 n ?3a n ? 1, a n 是奇数 ?

则 a1 =_________; S 3n =________.

例 15: 已知函数 f ( x) ? kx ? m , 数列 ?an ? 和 ?bn ? , 当 x ? [a1 , b1 ] 时,f ( x ) 的值域是 [a2 , b2 ] ; 当 x ? [a2 , b2 ] 时,f ( x ) 的值域是 [a3 , b3 ] ,?, 当 x ?[an?1 , bn?1 ] ( n ? N? ,且 n ? 2 )时,f ( x ) 的值域是 [an , bn ] , 其中 k , m 为常数, a1 ? 0, b1 ? 1 . (Ⅰ)若 k ? 1, m ? 2 ,求 a2 , b2 以及数列 ?an ?与 ?bn ?的通项; (Ⅱ)若 k ? 2 ,且数列 ?bn ?是等比数列,求 m 的值; (Ⅲ) 若 k ? 0 ,设 ?an ?与 ?bn ?的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn , 求: (T1 ? T2 ? ... ? Tn ) ? (S1 ? S2 ? ... ? Sn ) 的值. 难度的提高也考虑适合学生的现实水平。 最后再啰嗦一句:别忽略了应用问题,这学期学的内容有很多地方都涉及到应用,如果不好出题就把书上 的问题拿出来重新练练。

另外一些学生容易错的问题 1. 已知 {a n } 为等比数列.下面结论中正确的是 B A. a 1 ? a 3 ≥ 2 a 2
2 2 B. a 1 ≥ 2a 2 ? a3 2

C.若 a1 ? a 3 ,则 a1 ? a 2 D.若 a 3 ? a1 ,则 a 4 ? a 2

2. 若 0 ? a ? b, 且a ? b ? 1 ,则在下列四个选项中,较大的是 D A.

1 2

B. a 2 ? b 2

C. 2ab

D. b

3. 已知等差数列 1, a, b ,等比数列 3, a ? 2, b ? 5 ,则该等差数列的公差为 C A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 4. 如图,程序框图所进行的求和运算是 D. ?3 C

1 1 ?? ? 2 10 1 1 1 C. ? ? ? ? 2 4 20
A. 1 ?

B.

1 1 1 ? ?? ? 2 4 18 1 1 D. 1 ? ? ? ? 3 19

5. 某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品, 由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两 车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 B A.甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 B.甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 C.甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 D.甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

6.求和: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 2 4 6 8

2n

?

4 n ?1 ? 1 . 3

7. 若对任意 x ? 0 ,

1 x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是_______. a ? 5 x ? 3x ? 1
2

8.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生 活能否自理的情况如下表所示: 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 _____人.60

9. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 a1 ? 1 ,

a n ?1 ?

1 Sn , 3

n ? 1,2,3,? ,数列 ?an ? 的通
n ?1 n≥ 2
2n ; [( ) ? 1]

? 1 项公式 an =________; a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n =__________. a ? ? ? 1 4 n?2 n ( ) ? ?3 3

3 4 7 3

?n, n为奇数时, ? 10. 我们可以利用数列 {an } 的递推公式 an ? ?a , n为偶数时 ( n ? N* )求出这个数列各项的值,使得 n ? ? 2 这个数列中的每一项都是奇数.则 a24 ? a25 ? _________; 研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那
么第 8 个 5 是该数列的第_____项.28,640

11.解不等式 ①

1 ? 1 ② ln(x ? 1) ? 2 x?2
1 ? x ? 1? e

x ? ?1, 或x ? ?2
2 12.解关于 x 的不等式 ax ? x ?

2 ? 0 ( a ? R) . a

当 a ? 0 时, x ? ? ,或 x ? 当 a ? 0 时,

1 a

2 a

2 1 ?x?? a a

2 13.解关于 x 的不等式 m x ? 1 ? 0 ( m ? R )

当 m ? 0 时,解集为空集 当 m ? 0 时, x ?

1 1 ,或x ? ? m m

14. 在△ ABC 中,已知 3sin 2 B ? 1 ? cos2 B . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC ? 2 , A ?

? 3
? 3? 3 ,求△ ABC 的面积. 4 2
*

15. 设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? na1 ? (n ?1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,n ? N ,已知 b1 ? m ,

b2 ?

3m ,其中 m ? 0 . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的首项和公比; a1 ? m, q ? ? (Ⅱ)当 m ? 1 时,求 bn ; bn ?

1 2

1 1 [6n ? 2 ? (? ) n ?1 ] 9 2

(Ⅲ)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[1,3] ,求实数 m 的取值范围

2?m?3


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